Teil B1 – Analysis

Zur Beschreibung des Wachstums einer Pflanze wird ihre Höhe gemessen. Beim Einpflanzen beträgt die Höhe der Pflanze Formula: 3 Zentimeter. Betrachtet wird im Folgenden die momentane Änderungsrate der Höhe der Pflanze, die als Wachstumsrate bezeichnet wird. Die Wachstumsrate wird für $Formula: t\geq 0$ $Formula: t\geq 0$ modellhaft durch die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: r mit

$Formula: r(t)=\dfrac{3}{4} t \cdot(t+4) \cdot \mathrm e^{-\tfrac{1}{2} t}$ $Formula: r(t)=\dfrac{3}{4} t \cdot(t+4) \cdot \mathrm e^{-\tfrac{1}{2} t}$

beschrieben. Dabei gibt Formula: t die seit dem Einpflanzen vergangene Zeit in Wochen an und Formula: r(t) die Wachstumsrate in Zentimeter pro Woche. Abbildung 1 zeigt den Graphen von Formula: r .

Koordinatensystem mit Kurve: steigt bis t≈2–3 auf y≈3,5, fällt dann langsam bis nahe 0 bei t≈13.

Abb. 1

Es gilt $Formula: r(10)\lt1.$ $Formula: r(10)\lt1.$

Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.

2 BE

Es gibt einen Zeitpunkt, zu dem die Wachstumsrate genauso groß ist wie fünf Wochen davor.

Berechne diesen Zeitpunkt und stelle den Sachverhalt in Abbildung 1 dar.

4 BE

Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Pflanze am schnellsten wächst.

2 BE

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: w, deren erste Ableitungsfunktion Formula: r ist und für die Formula: w(0)=0 gilt. Außerdem gilt

$Formula: \lim _{t \rightarrow+\infty}(w(t)+3)=27$ $Formula: \lim _{t \rightarrow+\infty}(w(t)+3)=27$

Gib die Bedeutung sowohl von Formula: w(t) als auch des Wertes Formula: 27 im Sachzusammenhang an.

3 BE

Gegeben ist die Schar der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f_a mit

$Formula: f_a(x)=\dfrac{3}{4} \cdot\left(x^2-a^2\right) \cdot \mathrm e^{1-\tfrac{x}{a}}$ $Formula: f_a(x)=\dfrac{3}{4} \cdot\left(x^2-a^2\right) \cdot \mathrm e^{1-\tfrac{x}{a}}$

und $Formula: a \in \mathbb{R}^{+}.$ $Formula: a \in \mathbb{R}^{+}.$ Der Graph von Formula: f_a wird mit Formula: G_a bezeichnet.

Gib die Nullstellen von Formula: f_a an und begründe, dass Formula: G_a für jeden Wert von Formula: a die Formula: y -Achse unterhalb der Formula: x -Achse schneidet.

3 BE

Gegeben ist außerdem die in $Formula: \mathbb{R}^{+}$ $Formula: \mathbb{R}^{+}$ definierte Funktion Formula: h mit

$Formula: h(x)=k \cdot \ln x$ $Formula: h(x)=k \cdot \ln x$

mit einer positiven reellen Zahl Formula: k. Die Graphen von Formula: f_1 und Formula: h haben im Punkt $Formula: (1 \mid 0)$ $Formula: (1 \mid 0)$ eine gemeinsame Tangente.

Berechne Formula: k und gib eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.

3 BE

Abbildung 2 zeigt die Graphen von $Formula: f_1^{\prime}$ $Formula: f_1^{\prime}$ und von $Formula: h^{\prime}.$ $Formula: h^{\prime}.$ Der einzige gemeinsame Punkt der Graphen ist $Formula: \left(1 \mid f_1^{\prime}(1)\right).$ $Formula: \left(1 \mid f_1^{\prime}(1)\right).$

Gib die Anzahl der gemeinsamen Punkte der Graphen von Formula: f_1 und Formula: h an. Begründe deine Angabe ohne weitere Rechnung mithilfe der Abbildung 2.

Koordinatensystem mit zwei Kurven, gestrichelt (Graph von h') und durchgezogen (Graph von f₁'), x- und y-Achse sichtbar.

Abb. 2

5 BE

Für jeden Wert von Formula: a besitzt der Graph Formula: G_a einen Tiefpunkt Formula: T_a und einen Hochpunkt Formula: H_a. Es gibt einen Wert von Formula: a, für den die Punkte und gegenüberliegende Eckpunkte eines Quadrats sind, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen.

Bestimme diesen Wert von Formula: a auf Hundertstel gerundet.

4 BE

Im vierten Quadranten schließt Formula: G_a mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein. Der Inhalt dieser Fläche stimmt näherungsweise mit dem Inhalt des Dreiecks überein, dessen Eckpunkte der Koordinatenursprung, der Schnittpunkt von mit der Formula: y -Achse und der Schnittpunkt von mit der positiven Formula: x -Achse sind.

Zeige, dass die prozentuale Abweichung des Inhalts der Dreiecksfläche vom Inhalt der eingeschlossenen Fläche unabhängig von Formula: a ist, und gib diese prozentuale Abweichung an.

4 BE

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Zehn Wochen nach dem Einpflanzen ist die Wachstumsrate der Pflanze kleiner als Formula: 1 Zentimeter pro Woche.

Sachverhalt darstellen

Graph: Kurve auf t-y-Achsen, Peak bei t≈3, fällt bis t≈13 ab; gestrichelte horizontale Linie bei y≈2.2 von t≈1 bis t≈6

Zeitpunkt berechnen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} r(t)&=&r(t-5) \\[5pt] \dfrac{3}{4} t \cdot(t+4) \cdot \mathrm e^{-\tfrac{1}{2} t}&=&\dfrac{3}{4}\cdot(t-5) \cdot(t-5+4) \cdot \mathrm e^{-\tfrac{1}{2}\cdot(t-5)} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} r(t)&=&r(t-5) \\[5pt] \dfrac{3}{4} t \cdot(t+4) \cdot \mathrm e^{-\tfrac{1}{2} t}&=&\dfrac{3}{4}\cdot(t-5) \cdot(t-5+4) \cdot \mathrm e^{-\tfrac{1}{2}\cdot(t-5)} \end{array}$

Auflösen nach Formula: t mit dem CAS liefert $Formula: t\approx6,0.$ $Formula: t\approx6,0.$ Der gesuchte Zeitpunkt ist somit ungefähr sechs Wochen nach dem Einpflanzen.

Mit dem CAS folgt für die erste Ableitung von Formula: r:

$Formula: r'(t)=-\dfrac{1}{8}\cdot\left(3t^{2} - 24\right) \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{2}}$ $Formula: r'(t)=-\dfrac{1}{8}\cdot\left(3t^{2} - 24\right) \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{2}}$

Nullsetzen und Auflösen nach Formula: t mit dem CAS liefert:

$Formula: t=2\sqrt{2}$ $Formula: t=2\sqrt{2}$

Mit Hilfe der Abbildung ergibt sich, dass es sich um die Hochstelle handelt. Die Pflanze wächst somit $Formula: 2\sqrt{2}\approx2,8$ $Formula: 2\sqrt{2}\approx2,8$ Wochen nach dem Einpflanzen am schnellsten.

Formula: w(t) gibt die Zunahme der Höhe der Pflanze seit dem Einpflanzen in Zentimetern an.

Der Wert Formula: 27 gibt an, dass die Höhe der Pflanze auf lange Sicht gegen $Formula: 27\;\text{cm}$ $Formula: 27\;\text{cm}$ strebt.

Nullstellen angeben

Nach dem Satz des Nullprodukts sind die Nullstellen von Formula: f_a gegeben durch Formula: -a and Formula: a.

$Formula: \boldsymbol{y}$ $Formula: \boldsymbol{y}$ -Achsenabschnitt begründen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(0)&=&\dfrac{3}{4} \cdot\left(0^2-a^2\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\tfrac{0}{a}} \\[5pt] &=&-\dfrac{3}{4} a^2 \cdot \mathrm e \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(0)&=&\dfrac{3}{4} \cdot\left(0^2-a^2\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\tfrac{0}{a}} \\[5pt] &=&-\dfrac{3}{4} a^2 \cdot \mathrm e \end{array}$

Da stets $Formula: a^2\gt0$ $Formula: a^2\gt0$ gilt, folgt somit $Formula: f_a(0)\lt0$ $Formula: f_a(0)\lt0$ für alle Werte von Formula: a.

Für die ersten Ableitungen von Formula: h und Formula: f_1 folgt mit dem CAS:

$Formula: h'(x)=\dfrac{k}{x}$ $Formula: h'(x)=\dfrac{k}{x}$

$Formula: f_a'(x)=\dfrac{3}{4} \cdot\left(-\dfrac{x^2}{a}+2x+a\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\tfrac{x}{a}}$ $Formula: f_a'(x)=\dfrac{3}{4} \cdot\left(-\dfrac{x^2}{a}+2x+a\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\tfrac{x}{a}}$

Gleichsetzen der beiden Ableitungen für Formula: a=1 an der Stelle Formula: x=1 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h'(1)&=&f_1'(1) \\[5pt] \dfrac{k}{1}&=&\dfrac{3}{4} \cdot\left(-1^2+2\cdot1+1\right) \cdot \mathrm{e}^{1-1} \\[5pt] k&=&\dfrac{3}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h'(1)&=&f_1'(1) \\[5pt] \dfrac{k}{1}&=&\dfrac{3}{4} \cdot\left(-1^2+2\cdot1+1\right) \cdot \mathrm{e}^{1-1} \\[5pt] k&=&\dfrac{3}{2} \end{array}$

Einsetzen des Punktes mit den Koordinaten $Formula: (1\mid0)$ $Formula: (1\mid0)$ in die Tangentengleichung $Formula: y=\tfrac{3}{2}x-n$ $Formula: y=\tfrac{3}{2}x-n$ liefert $Formula: n=\tfrac{3}{2}.$ $Formula: n=\tfrac{3}{2}.$ Damit folgt:

$Formula: y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$ $Formula: y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$

Für $Formula: x\gt1$ $Formula: x\gt1$ gilt: Die Differenz Formula: h(x)-f_1(x) wird wegen $Formula: h^{\prime}(x)\gt f_1^{\prime}(x)$ $Formula: h^{\prime}(x)\gt f_1^{\prime}(x)$ für zunehmende Werte von kontinuierlich größer und ist damit wegen Formula: h(1)-f_1(1)=0 positiv.

Für $Formula: x\lt 1$ $Formula: x\lt 1$ gilt: Die Differenz Formula: f_1(x)-h(x) wird wegen $Formula: h^{\prime}(x)>f_1^{\prime}(x)$ $Formula: h^{\prime}(x)>f_1^{\prime}(x)$ für abnehmende Werte von kontinuierlich größer und ist damit wegen Formula: h(1)-f_1(1)=0 positiv.

Die Graphen besitzen somit genau einen gemeinsamen Punkt.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] \dfrac{3}{4} \cdot\left(-\dfrac{x^2}{a}+2x+a\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\tfrac{x}{a}}&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] \dfrac{3}{4} \cdot\left(-\dfrac{x^2}{a}+2x+a\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\tfrac{x}{a}}&=&0 \end{array}$

Auflösen nach Formula: x mit dem CAS liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_1&=&a-a\sqrt{2} \\[5pt] x_2&=&a+a\sqrt{2} \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_1&=&a-a\sqrt{2} \\[5pt] x_2&=&a+a\sqrt{2} \\[5pt] \end{array}$

Da nach Aufgabenstellung jeder Graph einen Tiefpunkt und einen Hochpunkt hat, ist die Überprüfung der hinreichenden Bedingung für Extremstellen nicht nötig um festzustellen, dass diese beiden Werte Extremstellen sind. Die Extrempunkte haben genau dann die gesuchte Lage, wenn gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} a+a \sqrt{2}-(a-a \sqrt{2})&=&f_a(a+a \sqrt{2})-f_a(a-a \sqrt{2}) \\[5pt] 2a \sqrt{2}&=&\dfrac{3}{4} \cdot\left((a+a \sqrt{2})^2-a^2\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\frac{a+a \sqrt{2}}{a}}-\dfrac{3}{4} \cdot\left((a-a \sqrt{2})^2-a^2\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\frac{a-a \sqrt{2}}{a}} \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} a+a \sqrt{2}-(a-a \sqrt{2})&=&f_a(a+a \sqrt{2})-f_a(a-a \sqrt{2}) \\[5pt] 2a \sqrt{2}&=&\dfrac{3}{4} \cdot\left((a+a \sqrt{2})^2-a^2\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\frac{a+a \sqrt{2}}{a}}-\dfrac{3}{4} \cdot\left((a-a \sqrt{2})^2-a^2\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\frac{a-a \sqrt{2}}{a}} \\[5pt] \end{array}$

Auflösen nach Formula: a mit dem CAS liefert $Formula: a\approx 0,82.$ $Formula: a\approx 0,82.$

Aus der Teilaufgabe 2a) sind bereits die Nullstellen und der Formula: y -Achsenabschnitt von Formula: f_a bekannt. Damit folgt für den Flächeninhalt des Dreiecks:

$Formula: A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot \dfrac{3}{4} a^2 \cdot \mathrm{e}= \dfrac{3}{8}a^3\mathrm e$ $Formula: A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot \dfrac{3}{4} a^2 \cdot \mathrm{e}= \dfrac{3}{8}a^3\mathrm e$

Für das Integral ergibt sich mit dem CAS:

$Formula: \displaystyle\int_0^a f_a(x)\;\mathrm dx=-\dfrac{3}{4}a^3\cdot(4-\mathrm e)$ $Formula: \displaystyle\int_0^a f_a(x)\;\mathrm dx=-\dfrac{3}{4}a^3\cdot(4-\mathrm e)$

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{A}{-\displaystyle\int_0^a f_a(x)\;\mathrm d x}&=&\dfrac{\tfrac{3}{8}a^3\mathrm e}{\tfrac{3}{4}a^3\cdot(4-\mathrm e)} \\[5pt] &\approx&1,06 \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{A}{-\displaystyle\int_0^a f_a(x)\;\mathrm d x}&=&\dfrac{\tfrac{3}{8}a^3\mathrm e}{\tfrac{3}{4}a^3\cdot(4-\mathrm e)} \\[5pt] &\approx&1,06 \\[5pt] \end{array}$

Die prozentuale Abweichung beträgt somit ca. $Formula: 0,06=6\,\%$ $Formula: 0,06=6\,\%$ und ist unabhängig von Formula: a.

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