B1 – Analysis

Mate-Tee ist ein in Südamerika weit verbreitetes Getränk. Er wird durch seine anregende Wirkung auch in Europa immer beliebter und gilt als natürlichere Alternative zu Cola oder Energydrinks.

Auf einer Plantage in Brasilien wächst ein Mate-Strauch. Zu einem bestimmten Zeitpunkt Formula: t=0 ist der Strauch Formula: 1 Meter hoch. Die Wachstumsgeschwindigkeit des Strauchs (in Meter pro Jahr) lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit (in Jahren) für $Formula: 0 \leq t\leq 4$ $Formula: 0 \leq t\leq 4$ in sehr guter Näherung durch die Funktion Formula: f mit $Formula: f(t)=0{,}25 t^3-1{,}875 t^2+3 t+2$ $Formula: f(t)=0{,}25 t^3-1{,}875 t^2+3 t+2$ beschreiben. Der Graph von ist in Abbildung 1 dargestellt.

Diagramm: f(t) in m/Jahr steigt von 2 auf ~3,3 bei t≈1, dann fällt die Kurve stetig auf 0 bei t=4.

Abb.1: Wachstumsgeschwindigkeit des Mate-Strauchs

1.1

Berechne die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von Formula: f und gib jeweils an, welche Art von Extrempunkt vorliegt. Erläutere die Bedeutung des Hochpunkts des Graphen von im Sachzusammenhang unter Bezugnahme auf beide Koordinaten.

7 BE

1.2

Die Funktion Formula: h gibt die Höhe des Strauchs in Abhängigkeit von der Zeit Formula: t an. Begründe anhand des Graphen in Abbildung 1, dass für $Formula: 0 \leq t \leq 4$ $Formula: 0 \leq t \leq 4$ monoton steigend ist, und bestimme die Funktionsgleichung von Formula: h.

4 BE

Gießt man den Mate-Tee zu heiß auf, wird der Geschmack bitter. Gießt man ihn zu kalt auf, schmeckt er fad. Der optimale Temperaturbereich zum Aufgießen beträgt $Formula: 65\ ^{\circ}\mathrm{C}$ $Formula: 65\ ^{\circ}\mathrm{C}$ bis $Formula: 75\ ^{\circ} \mathrm{C}.$ $Formula: 75\ ^{\circ} \mathrm{C}.$ Zur Zubereitung von Mate-Tee wurde in einer Küche Wasser auf $Formula: 100\;^{\circ} \mathrm{C}$ $Formula: 100\;^{\circ} \mathrm{C}$ erhitzt. Dieses befindet sich nun im ausgeschalteten Wasserkocher. Die Wassertemperatur (in $Formula: ^{\circ}\mathrm{C})$ $Formula: ^{\circ}\mathrm{C})$ in Abhängigkeit von der Zeit Formula: t (in Minuten) nach dem Ausschalten des Wasserkochers zum Zeitpunkt Formula: t=0 lässt sich durch die Funktion Formula: w mit $Formula: w(t)=78 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t}+22$ $Formula: w(t)=78 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t}+22$ beschreiben, der zugehörige Graph ist in Abbildung 2 dargestellt.

Diagramm: abfallende Temperaturkurve von 100°C auf ~30°C über 22 Minuten; y-Achse w(t) in °C, x-Achse t in Minuten.

Abb. 2: Temperaturverlauf des Wassers

2.1

Begründe mithilfe der Abbildung 2, dass die Zeitspanne, in der sich das Wasser im optimalen Temperaturbereich befindet, weniger als Formula: 3 Minuten lang ist.

2 BE

2.2

Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Temperatur $Formula: 70\ ^{\circ} \mathrm{C}$ $Formula: 70\ ^{\circ} \mathrm{C}$ beträgt.

3 BE

2.3

Begründe anhand des Funktionsterms von Formula: w, wie sich die Temperatur des Wassers langfristig entwickelt.

2 BE

2.4

Der Wert des Terms $Formula: \dfrac{1}{5} \cdot \displaystyle\int_0^5 w(t)\; \mathrm dt$ $Formula: \dfrac{1}{5} \cdot \displaystyle\int_0^5 w(t)\; \mathrm dt$ beschreibt die Durchschnittstemperatur des Wassers in den ersten Formula: 5 Minuten.

Berechne diesen Wert.

3 BE

2.5

Zur näherungsweisen Berechnung der Durchschnittstemperatur aus Aufgabe 2.4 wird der folgende Ansatz vorgeschlagen: $Formula: \dfrac{1}{5} \cdot \displaystyle\int_0^5 w(t)\; \mathrm dt \approx \dfrac{1}{5} \cdot A_{\text {Trapez}}$ $Formula: \dfrac{1}{5} \cdot \displaystyle\int_0^5 w(t)\; \mathrm dt \approx \dfrac{1}{5} \cdot A_{\text {Trapez}}$

$Formula: A_{\text {Trapez}}$ $Formula: A_{\text {Trapez}}$ bezeichnet dabei den Flächeninhalt des Trapezes mit den Eckpunkten $Formula: P_1(0 \mid 0),$ $Formula: P_1(0 \mid 0),$ $Formula: P_2(5 \mid 0),$ $Formula: P_2(5 \mid 0),$ $Formula: P_3(5 \mid w(5))$ $Formula: P_3(5 \mid w(5))$ und $Formula: P_4(0 \mid w(0)).$ $Formula: P_4(0 \mid w(0)).$ Diese Eckpunkte sind in Abbildung 3 dargestellt.

Abfallende Temperaturkurve w(t) in °C über Zeit in Minuten mit markierten Punkten P1–P4

Abb. 3: Eckpunkte des Trapezes

2.5.1

Berechne $Formula: \tfrac{1}{5} \cdot A_{\text {Trapez}}$ $Formula: \tfrac{1}{5} \cdot A_{\text {Trapez}}$ auf zwei Nachkommastellen genau.

2 BE

2.5.2

Begründe ohne Verwendung einer Rechnung mithilfe von Abbildung 3, warum der Näherungswert $Formula: \tfrac{1}{5} \cdot A_{\text {Trapez}}$ $Formula: \tfrac{1}{5} \cdot A_{\text {Trapez}}$ größer ist als der exakte Wert des Terms $Formula: \dfrac{1}{5} \cdot \displaystyle\int_0^5 w(t) \;\mathrm dt.$ $Formula: \dfrac{1}{5} \cdot \displaystyle\int_0^5 w(t) \;\mathrm dt.$

2 BE

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1.1

Extrempunkte berechnen

Für die ersten beiden Ableitungen von Formula: f gilt:

$Formula: f'(t)=0{,}75t^2-3{,}75t+3$ $Formula: f'(t)=0{,}75t^2-3{,}75t+3$
Formula: f''(t)=1{,}5t-3{,}75

Anwenden der hinreichenden Bedingung für Extremstellen Formula: f'(t)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(t)&=&0 \\[5pt] 0{,}75 t^2-3{,}75 t+3&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;:0{,}75 \\[5pt] t^2-5t+4&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(t)&=&0 \\[5pt] 0{,}75 t^2-3{,}75 t+3&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;:0{,}75 \\[5pt] t^2-5t+4&=&0 \end{array}$

Mit der $Formula: pq\text{-}$ $Formula: pq\text{-}$ Formel ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} t_{1;2}&=&\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2-4} \\[5pt] t_{1;2}&=&\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}} \\[5pt] t_1&=&1 \\[5pt] t_2&=&4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} t_{1;2}&=&\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2-4} \\[5pt] t_{1;2}&=&\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}} \\[5pt] t_1&=&1 \\[5pt] t_2&=&4 \end{array}$

Überprüfen der hinreichenden Bedingung liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(1)&=&1{,}5\cdot1-3{,}75 \\[5pt] &=&-2{,}25\lt0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(1)&=&1{,}5\cdot1-3{,}75 \\[5pt] &=&-2{,}25\lt0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(4)&=&1{,}5\cdot4-3{,}75 \\[5pt] &=&2{,}25\gt0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(4)&=&1{,}5\cdot4-3{,}75 \\[5pt] &=&2{,}25\gt0 \end{array}$

Somit ist Formula: t=1 eine Hochstelle und Formula: t=4 eine Tiefstelle von Formula: f. Für die Funktionswerte ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(1)&=&0{,}25\cdot1^3-1{,}875\cdot1^2+3\cdot1+2 \\[5pt] &=&3{,}375 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(1)&=&0{,}25\cdot1^3-1{,}875\cdot1^2+3\cdot1+2 \\[5pt] &=&3{,}375 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(4)&=&0{,}25\cdot4^3-1{,}875\cdot4^2+3\cdot4+2 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(4)&=&0{,}25\cdot4^3-1{,}875\cdot4^2+3\cdot4+2 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Der Graph von Formula: f besitzt somit den Hochpunkt $Formula: H(1\mid3{,}375)$ $Formula: H(1\mid3{,}375)$ und den Tiefpunkt $Formula: T(4\mid0).$ $Formula: T(4\mid0).$

Bedeutung im Sachzusammenhang erläutern

Nach einem Jahr Formula: (t=1) ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten. Sie beträgt zu diesem Zeitpunkt Formula: 3{,}375 Meter pro Jahr.

1.2

Die Funktion Formula: h ist eine Stammfunktion von Formula: f. Da im betrachteten Intervall der Graph der Funktion nicht unterhalb der $Formula: t\text{-}$ $Formula: t\text{-}$ Achse verläuft, ist die Funktion monoton steigend. Mit Formula: C=h(0)=1 folgt:

$Formula: h(t)=0{,}0625 t^4-0{,}625 t^3+1{,}5t^2+2t+1.$ $Formula: h(t)=0{,}0625 t^4-0{,}625 t^3+1{,}5t^2+2t+1.$

2.1

Die Temperatur sinkt nach etwa Formula: 4 Minuten unter $Formula: 75^{\circ}\,\mathrm{C}$ $Formula: 75^{\circ}\,\mathrm{C}$ und nach etwa Formula: 6 Minuten unter $Formula: 65^{\circ}\,\mathrm{C.}$ $Formula: 65^{\circ}\,\mathrm{C.}$ Somit ist die entsprechende Zeitspanne weniger als Formula: 3 Minuten lang.

2.2

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} w(t)&=&70 \\[5pt] 78 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t}+22&=&70 &\quad\scriptsize\mid\;-22\\[5pt] 78 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t}&=&48 &\quad\scriptsize\mid\;:78 \\[5pt] \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t}&=&\dfrac{48}{78} &\quad\scriptsize\mid\;\ln \\[5pt] -0{,}1 \cdot t&=&\ln\left(\dfrac{48}{78}\right) &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\,(-10) \\[5pt] t&\approx&4{,}86 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} w(t)&=&70 \\[5pt] 78 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t}+22&=&70 &\quad\scriptsize\mid\;-22\\[5pt] 78 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t}&=&48 &\quad\scriptsize\mid\;:78 \\[5pt] \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t}&=&\dfrac{48}{78} &\quad\scriptsize\mid\;\ln \\[5pt] -0{,}1 \cdot t&=&\ln\left(\dfrac{48}{78}\right) &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\,(-10) \\[5pt] t&\approx&4{,}86 \end{array}$

Die Temperatur beträgt somit nach ca. Formula: 4{,}86 Minuten $Formula: 70\;^\circ\text{C}.$ $Formula: 70\;^\circ\text{C}.$

2.3

Der Term $Formula: \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t},$ $Formula: \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t},$ und somit auch der Term $Formula: 78 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t},$ $Formula: 78 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t},$ strebt wegen des negativen Exponenten für große Formula: t gegen Formula: 0, somit nähert sich die Temperatur langfristig dem Wert $Formula: 22\;^{\circ}\mathrm{C}$ $Formula: 22\;^{\circ}\mathrm{C}$ an.

2.4

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{5} \cdot \displaystyle\int_0^5 w(t)\; \mathrm dt&=&\dfrac{1}{5} \cdot \displaystyle\int_0^5 78 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t}+22 \;\mathrm dt \\[5pt] &=&\dfrac{1}{5} \cdot\left[-780 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t}+22t\right]_0^5 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{5} \cdot\left(-780 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot 5}+22 \cdot 5-(-780)\right) \\[5pt] &\approx&83{,}38 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{5} \cdot \displaystyle\int_0^5 w(t)\; \mathrm dt&=&\dfrac{1}{5} \cdot \displaystyle\int_0^5 78 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t}+22 \;\mathrm dt \\[5pt] &=&\dfrac{1}{5} \cdot\left[-780 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t}+22t\right]_0^5 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{5} \cdot\left(-780 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot 5}+22 \cdot 5-(-780)\right) \\[5pt] &\approx&83{,}38 \end{array}$

2.5

2.5.1

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{5} \cdot A_{\text{Trapez}}&=&\dfrac{1}{5} \cdot 5 \cdot \dfrac{w(0)+w(5)}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{5} \cdot 5 \cdot \dfrac{78 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot 0}+22+78 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot 5}+22}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{5} \cdot 5 \cdot \dfrac{100+78 \cdot \mathrm{e}^{-0,5}+22}{2} \\[5pt] &\approx&84{,}65 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{5} \cdot A_{\text{Trapez}}&=&\dfrac{1}{5} \cdot 5 \cdot \dfrac{w(0)+w(5)}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{5} \cdot 5 \cdot \dfrac{78 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot 0}+22+78 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot 5}+22}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{5} \cdot 5 \cdot \dfrac{100+78 \cdot \mathrm{e}^{-0,5}+22}{2} \\[5pt] &\approx&84{,}65 \end{array}$

2.5.2

Da die Strecke $Formula: \overline{P_3P_4}$ $Formula: \overline{P_3P_4}$ oberhalb des linksgekrümmten Graphen von Formula: w verläuft, ist der Flächeninhalt des Trapezes größer als der Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion im Intervall Formula: [0;5] mit der $Formula: t\text{-}$ $Formula: t\text{-}$ Achse einschließt. Somit ist der Näherungswert $Formula: \tfrac{1}{5} \cdot A_{\text {Trapez}}$ $Formula: \tfrac{1}{5} \cdot A_{\text {Trapez}}$ größer als der exakte Wert des Terms $Formula: \tfrac{1}{5} \cdot \displaystyle\int_0^5 w(t)\; \mathrm dt.$ $Formula: \tfrac{1}{5} \cdot \displaystyle\int_0^5 w(t)\; \mathrm dt.$

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