C – Lineare Algebra / Analytische Geometrie

Bei der Modernisierung eines Hotelkomplexes soll im Wellness- und Erholungsbereich eine Ruhezone gestaltet werden. Die Überdachung der Ruhezone soll an ein vorhandenes Gebäude angrenzen. Ein Modell dieses Gebäudes ist in der Abbildung dargestellt.

Die Überdachung hat die Form eines gleichschenkligen Trapezes, somit haben die beiden nicht parallel zueinander verlaufenden Seiten die gleiche Länge. Die Eckpunkte des Trapezes werden im Modell durch $Formula: A(2\mid-1{,}5\mid 2{,}5),\,$ $Formula: A(2\mid-1{,}5\mid 2{,}5),\,$ $Formula: B(x_b\mid y_b\mid z_b),\,$ $Formula: B(x_b\mid y_b\mid z_b),\,$ $Formula: C(0\mid9\mid3)$ $Formula: C(0\mid9\mid3)$ und $Formula: D(0\mid0\mid 3)$ $Formula: D(0\mid0\mid 3)$ beschrieben.

3D-Quader auf Gitternetz mit x-, y- und z-Achsen sowie markierten Punkten B, C, D

1.1

Gib die Koordinaten des Eckpunktes Formula: B der Überdachung an und zeichne die Überdachung in das Material ein.

3 BE

1.2

Gib für die Ebene Formula: E, in der die Überdachung liegt, eine Parametergleichung an und bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene Formula: E.

[zur Kontrolle: $Formula: E\text{:}\;x+4 z=12$ $Formula: E\text{:}\;x+4 z=12$ ist eine mögliche Koordinatengleichung.]

4 BE

1.3

An einem sonnigen Tag fallen die Sonnenstrahlen in Richtung des Vektors $Formula: \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 5 \\ -8\end{array}\right)$ $Formula: \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 5 \\ -8\end{array}\right)$ auf die Überdachung.

Berechne den Winkel $Formula: \alpha,$ $Formula: \alpha,$ unter dem das Sonnenlicht auf die Überdachung trifft.

3 BE

Die Überdachung des Gebäudes soll begrünt werden.

Das verwendete Saatgut soll sich aus Sedumspflanzen, Moosen und Gräsern zusammensetzen und $Formula: 45\,\%$ $Formula: 45\,\%$ Sedumspflanzen enthalten.

Um das gewünschte Saatgut zu erhalten, werden zwei vorgefertigte Saatmischungen kombiniert. Mischung 1 enthält $Formula: 45\,\%$ $Formula: 45\,\%$ Gräser, $Formula: 25\,\%$ $Formula: 25\,\%$ Moose und $Formula: 30\,\%$ $Formula: 30\,\%$ Sedumspflanzen, Mischung 2 enthält $Formula: 10\,\%$ $Formula: 10\,\%$ Gräser, $Formula: 40\,\%$ $Formula: 40\,\%$ Moose und $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ Sedumspflanzen.

Im Sachzusammenhang wird das folgende Gleichungssystem aufgestellt:

$Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&a&=& 45x + 10y &\quad\\ \text{II}\quad&55-a&=&25x+40y &\quad\\ \text{III}\quad&45&=&30x+50y &\quad\\ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&a&=& 45x + 10y &\quad\\ \text{II}\quad&55-a&=&25x+40y &\quad\\ \text{III}\quad&45&=&30x+50y &\quad\\ \end{array}$
$Formula: \Leftrightarrow$ $Formula: \Leftrightarrow$
$Formula: \quad\quad\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&a&=& 45x + 10y \\ \text{II'}\quad&55&=&70x+50y \\ \text{III}\quad&45&=&30x+50y \\ \end{array}$ $Formula: \quad\quad\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&a&=& 45x + 10y \\ \text{II'}\quad&55&=&70x+50y \\ \text{III}\quad&45&=&30x+50y \\ \end{array}$

$Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&a&=& 45x + 10y &\quad\\ \text{II}\quad&55-a&=&25x+40y &\quad\\ \text{III}\quad&45&=&30x+50y &\quad\\ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&a&=& 45x + 10y &\quad\\ \text{II}\quad&55-a&=&25x+40y &\quad\\ \text{III}\quad&45&=&30x+50y &\quad\\ \end{array}$

$Formula: \Leftrightarrow$ $Formula: \Leftrightarrow$

$Formula: \quad\quad\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&a&=& 45x + 10y \\ \text{II'}\quad&55&=&70x+50y \\ \text{III}\quad&45&=&30x+50y \\ \end{array}$ $Formula: \quad\quad\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&a&=& 45x + 10y \\ \text{II'}\quad&55&=&70x+50y \\ \text{III}\quad&45&=&30x+50y \\ \end{array}$

Erläutere den dargestellten Umformungsschritt.

Berechne die Lösung des Gleichungssystems und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

5 BE

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