B2 – Analysis

Für eine Bahn einer Minigolf-Anlage soll als Hindernis eine Brücke nach dem Vorbild einer alten Steinbrücke gebaut werden.

Im Modell entspricht im Folgenden eine Längeneinheit einem Dezimeter.

Die Profillinie der Brücke bei einem Längsschnitt ist symmetrisch zur $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse und soll zunächst durch einen Ausschnitt des Graphen der Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=2 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot x^2}$ $Formula: f(x)=2 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot x^2}$ modelliert werden (Abbildung 1). Die Brücke soll mittig auf die Minigolfbahn, deren Profillinie zuvor entlang der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse verläuft, aufgesetzt werden.

Koordinatensystem mit glatter, glockenförmiger Kurve f, Spitze bei x=0, y≈2

Abbildung 1

1.1

Der Übergang zwischen Minigolfbahn und Brücke darf nicht höher als $Formula: 0{,}01\ \mathrm{dm}$ $Formula: 0{,}01\ \mathrm{dm}$ sein.

Bestimme, wie lang die Brücke (in $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Richtung) im Modell mindestens sein muss, um diese Bedingung zu erfüllen.

3 BE

1.2

Die Steigung der Brücke soll an der steilsten Stelle nicht mehr als $Formula: 55\,\%$ $Formula: 55\,\%$ betragen.

Prüfe, ob die geplante Brücke diese Bedingung erfüllt.

Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.

$Formula: \bigl[$ $Formula: \bigl[$ zur Kontrolle: $Formula: f''=-0{,}4 \mathrm{e}^{-0,1 \cdot x^2} \cdot(1-0{,}2 x^2)\bigr]$ $Formula: f''=-0{,}4 \mathrm{e}^{-0,1 \cdot x^2} \cdot(1-0{,}2 x^2)\bigr]$

7 BE

Zeichne in die Abbildung 1 ein einziges zur $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse symmetrisches Rechteck ein, mit dessen Hilfe sich der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von Formula: f und der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse im Intervall Formula: [-5;5] näherungsweise ermitteln lässt.

Begründe dein Vorgehen anhand deiner Zeichnung und berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.

3 BE

In einem vereinfachten Modell soll die Profillinie der Brücke bei einem Längsschnitt durch einen Ausschnitt des Graphen der Funktion Formula: g mit $Formula: g(x)=0{,}000632 x^4-0{,}0711 x^2+2$ $Formula: g(x)=0{,}000632 x^4-0{,}0711 x^2+2$ modelliert werden (Abbildung 2). Die Brücke soll (in $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Richtung) $Formula: 15\ \text{dm}$ $Formula: 15\ \text{dm}$ lang sein. Für einen Bachlauf unter der Brücke wird ein Tunnel ausgespart, dessen Profillinie bei einem Längsschnitt im Intervall Formula: [-2;2] durch den Graphen der Funktion Formula: p mit $Formula: p(x)=-0{,}325 x^2+1{,}3$ $Formula: p(x)=-0{,}325 x^2+1{,}3$ modelliert werden soll (Abbildung 2). Die Vorderseite der Brücke soll gestrichen werden.

Koordinatensystem mit drei glockenförmigen Kurven (f, g, p) symmetrisch um x=0.

Abbildung 2

3.1

Bestimme unter Angabe geeigneter Stammfunktionen den Flächeninhalt der Vorderseite der Brücke auf zwei Nachkommastellen genau.

Formula: [ zur Kontrolle: Der Flächeninhalt beträgt etwa $Formula: 12{,}5\ \mathrm{dm}^2.]$ $Formula: 12{,}5\ \mathrm{dm}^2.]$

5 BE

3.2

Bestimme, um wie viel Prozent sich der Flächeninhalt der Vorderseite der Brücke verringert, wenn die Profillinie der Brücke nicht durch den Graphen der Funktion Formula: g, sondern durch den Graphen der Funktion Formula: f aus Aufgabe 1 modelliert wird. Dabei soll die Länge der Brücke (in $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Richtung) weiterhin $Formula: 15\ \text{dm}$ $Formula: 15\ \text{dm}$ betragen.

3 BE

Die Funktion Formula: f gehört zur Funktionenschar Formula: f_a mit $Formula: f_a(x)=2 \cdot \mathrm{e}^{-a\cdot x^2},\,$ $Formula: f_a(x)=2 \cdot \mathrm{e}^{-a\cdot x^2},\,$ $Formula: a \in \mathbb{R},\,a\gt0.$ $Formula: a \in \mathbb{R},\,a\gt0.$

Kartesisches Koordinatensystem mit drei glockenförmigen Kurven (durchgezogen, gepunktet, gestrichelt), symmetrisch zur y-Achse

Abbildung 3

4.1

Ordne die Graphen I, II und III in Abbildung 3 den Funktionsparametern $Formula: a_1=0{,}05,$ $Formula: a_1=0{,}05,$ $Formula: a_2=0{,}1$ $Formula: a_2=0{,}1$ und $Formula: a_3=0{,}2$ $Formula: a_3=0{,}2$ zu.

2 BE

4.2

Begründe, dass es keine Funktion der Schar gibt, die eine Nullstelle besitzt.

2 BE

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1.1

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(x)&=&0{,}01 \\[5pt] 2\cdot\mathrm{e}^{-0{,}1 \cdot x^2}&=&0{,}01 &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] \mathrm{e}^{-0{,}1 \cdot x^2}&=&0{,}005 &\quad\scriptsize\mid\;\ln \\[5pt] -0{,}1 \cdot x^2&=&\ln(0{,}005) &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-10) \\[5pt] x^2&=&-10\cdot\ln(0{,}005) &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_1&\approx&-7{,}28 \\[5pt] x_2&\approx&7{,}28 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(x)&=&0{,}01 \\[5pt] 2\cdot\mathrm{e}^{-0{,}1 \cdot x^2}&=&0{,}01 &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] \mathrm{e}^{-0{,}1 \cdot x^2}&=&0{,}005 &\quad\scriptsize\mid\;\ln \\[5pt] -0{,}1 \cdot x^2&=&\ln(0{,}005) &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-10) \\[5pt] x^2&=&-10\cdot\ln(0{,}005) &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_1&\approx&-7{,}28 \\[5pt] x_2&\approx&7{,}28 \end{array}$

Die Brücke muss somit mindestens $Formula: 2 \cdot 7{,}28\;\mathrm{dm}=14{,}56\;\mathrm{dm}$ $Formula: 2 \cdot 7{,}28\;\mathrm{dm}=14{,}56\;\mathrm{dm}$ lang sein.

1.2

Für die ersten beiden Ableitungen von Formula: f folgt mit der Kettenregel und der Produktregel:

$Formula: f'(x)=-0{,}4x \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot x^2}$ $Formula: f'(x)=-0{,}4x \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot x^2}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(x)&=&-0{,}4\cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot x^2}+0{,}08x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot x^2} \\[5pt] &=&-0{,}4 \mathrm{e}^{-0,1 \cdot x^2} \cdot\left(1-0{,}2x^2\right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(x)&=&-0{,}4\cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot x^2}+0{,}08x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot x^2} \\[5pt] &=&-0{,}4 \mathrm{e}^{-0,1 \cdot x^2} \cdot\left(1-0{,}2x^2\right) \end{array}$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Wendestellen Formula: f''(x)=0 liefert mit dem Satz des Nullprodukts, da die $Formula: \text{e-}$ $Formula: \text{e-}$ Funktion stets ungleich Null ist:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(x)&=&0 \\[5pt] 1-0{,}2x^2&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] -0{,}2x^2&=&-1 &\quad\scriptsize\mid\;:(-0{,}2) \\[5pt] x^2&=&5 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_1&=&-\sqrt{5} \\[5pt] x_2&=&\sqrt{5} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(x)&=&0 \\[5pt] 1-0{,}2x^2&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] -0{,}2x^2&=&-1 &\quad\scriptsize\mid\;:(-0{,}2) \\[5pt] x^2&=&5 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_1&=&-\sqrt{5} \\[5pt] x_2&=&\sqrt{5} \end{array}$

Laut Aufgabenstellung kann auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung verzichtet werden. Einsetzen in Formula: f'(x) liefert für die dazugehörigen Steigungen:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(-\sqrt{5})&=&-0{,}4\cdot(-\sqrt{5})\cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot (-\sqrt{5})^2} \\[5pt] &\approx&0{,}54 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(-\sqrt{5})&=&-0{,}4\cdot(-\sqrt{5})\cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot (-\sqrt{5})^2} \\[5pt] &\approx&0{,}54 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(\sqrt{5})&=&-0{,}4\cdot\sqrt{5}\cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot \sqrt{5}^2} \\[5pt] &\approx&-0{,}54 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(\sqrt{5})&=&-0{,}4\cdot\sqrt{5}\cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot \sqrt{5}^2} \\[5pt] &\approx&-0{,}54 \end{array}$

Da $Formula: \vert\pm0{,}54\,\vert\lt0{,}55=55\,\%$ $Formula: \vert\pm0{,}54\,\vert\lt0{,}55=55\,\%$ gilt, erfüllt die geplante Brücke die Bedingung.

Rechteck einzeichnen

Koordinatensystem mit Glockenkurve über einem schattierten Rechteck von x = −5 bis x = 5

Vorgehen begründen

Das Rechteck wurde so gewählt, dass die Summe der Inhalte der beiden Teilflächen des Rechtecks, die oberhalb des Graphen von Formula: f liegen, ungefähr so groß ist wie der Inhalt der oberhalb des Rechtecks liegenden Fläche zwischen dem Rechteck und dem Graphen von Formula: f.

Flächeninhalt berechnen

Ablesen der Seitenlängen aus der Abbildung liefert einen ungefähren Flächeninhalt von $Formula: 10\;\mathrm{dm} \cdot 1{,}1\;\mathrm{dm}=11\;\mathrm{dm}^2.$ $Formula: 10\;\mathrm{dm} \cdot 1{,}1\;\mathrm{dm}=11\;\mathrm{dm}^2.$

3.1

Der gesuchte Flächeninhalt ist gegeben durch den Flächeninhalt der Fläche die Formula: g mit der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse einschließt minus den Flächeninhalt der Fläche die Formula: p mit der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse einschließt. Für die von eingeschlossene Fläche gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_p&=&2 \cdot \displaystyle\int_0^2 p(x) \;\mathrm d x \\[5pt] &=&2 \cdot \displaystyle\int_0^2 \left(-0{,}325 x^2+1{,}3\right) \;\mathrm d x \\[5pt] &=&2 \cdot\left[-\dfrac{1}{3} \cdot 0{,}325 x^3+1{,}3x\right]_0^2 \\[5pt] &=&2\cdot\left(-\dfrac{1}{3} \cdot 0{,}325\cdot2^3+1{,}3\cdot2-0\right) \\[5pt] &\approx&3{,}467\;[\text{dm}^2] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_p&=&2 \cdot \displaystyle\int_0^2 p(x) \;\mathrm d x \\[5pt] &=&2 \cdot \displaystyle\int_0^2 \left(-0{,}325 x^2+1{,}3\right) \;\mathrm d x \\[5pt] &=&2 \cdot\left[-\dfrac{1}{3} \cdot 0{,}325 x^3+1{,}3x\right]_0^2 \\[5pt] &=&2\cdot\left(-\dfrac{1}{3} \cdot 0{,}325\cdot2^3+1{,}3\cdot2-0\right) \\[5pt] &\approx&3{,}467\;[\text{dm}^2] \end{array}$

Der Flächeninhalt der von Formula: g eingeschlossenen Fläche ergibt sich wie folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_g&=&2 \cdot \displaystyle\int_0^{7,5} g(x) \;\mathrm d x \\[5pt] &=&2 \cdot \displaystyle\int_0^{7,5} \left(0{,}000632 x^4-0{,}0711 x^2+2\right) \;\mathrm d x \\[5pt] &=&2 \cdot\left[0{,}0001264 x^5-0{,}0237 x^3+2 x\right]_0^{7,5} \\[5pt] &=&2 \cdot\left(0{,}0001264 \cdot7{,}5^5-0{,}0237 \cdot7{,}5^3+2 \cdot7{,}5-0\right) \\[5pt] &\approx&16{,}002\;[\mathrm{dm}^2] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_g&=&2 \cdot \displaystyle\int_0^{7,5} g(x) \;\mathrm d x \\[5pt] &=&2 \cdot \displaystyle\int_0^{7,5} \left(0{,}000632 x^4-0{,}0711 x^2+2\right) \;\mathrm d x \\[5pt] &=&2 \cdot\left[0{,}0001264 x^5-0{,}0237 x^3+2 x\right]_0^{7,5} \\[5pt] &=&2 \cdot\left(0{,}0001264 \cdot7{,}5^5-0{,}0237 \cdot7{,}5^3+2 \cdot7{,}5-0\right) \\[5pt] &\approx&16{,}002\;[\mathrm{dm}^2] \end{array}$

Für den gesuchten Flächeninhalt folgt damit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&A_g-A_p \\[5pt] &\approx&16{,}002-3{,}467 \\[5pt] &\approx&12{,}54\;[\text{dm}^2] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&A_g-A_p \\[5pt] &\approx&16{,}002-3{,}467 \\[5pt] &\approx&12{,}54\;[\text{dm}^2] \end{array}$

3.2

Für den Wert des Integrals, das den eingeschlossene Flächeninhalt des Graphen von Formula: f angibt, folgt mit dem WTR:

$Formula: A_f=\displaystyle\int_{-7,5}^{7,5} f(x) \;\mathrm d x\approx11{,}201\;[\text{dm}^2]$ $Formula: A_f=\displaystyle\int_{-7,5}^{7,5} f(x) \;\mathrm d x\approx11{,}201\;[\text{dm}^2]$

Damit ergibt sich für den neuen Flächeninhalt der Vorderseite der Brücke:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_\text{neu}&=&A_f-A_p \\[5pt] &\approx&11{,}201-3{,}467 \\[5pt] &\approx&7{,}73\;[\mathrm{dm}^2] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_\text{neu}&=&A_f-A_p \\[5pt] &\approx&11{,}201-3{,}467 \\[5pt] &\approx&7{,}73\;[\mathrm{dm}^2] \end{array}$

Damit ergibt sich für die prozentuale Verringerung des Flächeninhalts:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 1-\dfrac{A_\text{neu}}{A}&\approx&1-\dfrac{7{,}73}{12{,}54} \\[5pt] &\approx&0{,}3836 \\[5pt] &=&38{,}36\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 1-\dfrac{A_\text{neu}}{A}&\approx&1-\dfrac{7{,}73}{12{,}54} \\[5pt] &\approx&0{,}3836 \\[5pt] &=&38{,}36\,\% \end{array}$

4.1

Graph $Formula: \textbf{I}$ $Formula: \textbf{I}$	$Formula: a_1=0{,}05$ $Formula: a_1=0{,}05$
Graph $Formula: \textbf{II}$ $Formula: \textbf{II}$	$Formula: a_2=0{,}1$ $Formula: a_2=0{,}1$
Graph $Formula: \textbf{III}$ $Formula: \textbf{III}$	$Formula: a_3=0{,}2$ $Formula: a_3=0{,}2$

4.2

Da $Formula: \mathrm{e}^{-a \cdot x^2}\gt0$ $Formula: \mathrm{e}^{-a \cdot x^2}\gt0$ für alle Formula: x gilt, kann es keine Nullstelle geben.

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