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Pflichtaufgabe 1 - Analysis

Aufgaben PLUS
Lösungen PLUS
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1.1
Für jedes $k\in \mathbb{R},$ $k> 0,$ ist eine Funktion $f_k$ durch $f_k(x)=k^2x^3 -6kx^2 +9x$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.
#zentraleraufgabenpool
$\,$
a)
Berechne die Nullstellen von $f_k.$
Begründe, dass $G_k$ weder zum Koordinatenursprung noch zur $y$-Achse symmetrisch ist.
#nullstelle
$\,$
b)
Weise nach, dass $f_k'(x)= 3\cdot \left(kx-1\right)\cdot \left( kx-3\right)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f_k$ ist.
Berechne denjenigen Wert von $k,$ für den sich die $x$-Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_k$ um $6$ unterscheiden.
Für jeden Wert von $k$ wird die Tangente an $G_k$ im Wendepunkt $\left( \frac{2}{k}\mid \frac{2}{k}\right)$ betrachtet.
Zeige, dass die Tangenten für unterschiedliche Werte von $k$ parallel zueinander sind.
#tangente#wendepunkt#ableitung
$\,$
c)
1.2
Betrachtet wird eine große rotationssymmetrische Schale, die aus einem Steinblock gefertigt wurde. Ein Kubikmeter des Steins hat eine Masse von $2.700 \,\text{kg}.$
$\,$
a)
Interpretiere den Term $p(6)-q(6)$ im Sachzusammenhang und gib den Wert dieses Terms an.
$\,$
b)
In die aufrechtstehende Schale wird mit konstanter Zuflussrate Wasser gefüllt.
Entscheide, welcher der abgebildeten Graphen $\text{I},$ $\text{II}$ und $\text{III}$ die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Begründe deine Entscheidung.
$\,$
c)
Interpretiere im Sachzusammenhang die Funktion $s$ mit $s(x)= \pi \cdot \displaystyle\int_{2}^{2+x}\left( q(t)\right)^2\;\mathrm dt$ und gib den größten Definitionsbereich von $s$ an, der im Sachzusammenhang sinnvoll ist.
Berechne die Masse der Schale.
#definitionsbereich
Bildnachweise [nach oben]
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