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Wahlpflichtaufgabe 1 - Analysis

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Betrachtet wird die Funktion $\phi$ mit $y=\phi(x)= \frac{1}{\sqrt{ 2\pi}}\mathrm e^{-\frac{1}{2}x^2}, x\in \mathbb{R}$.
Ihr Graph wird als Gaußsche Glockenkurve bezeichnet.
#normalverteilung
a)
Weise nach, dass die Gaußsche Glockenkurve symmetrisch zur y-Achse ist.
Die Gaußsche Glockenkurve besitzt genau zwei Wendepunkte.
Berechne die Abszisse dieser Wendepunkte.
#symmetrie#wendepunkt
b)
Im untenstehenden Koordinatensystem sind die Gaußsche Glockenkurve G sowie ein weiterer Funktionsgraph K dargestellt.
Begründe anhand von drei Eigenschaften der Funktion $\phi$ oder ihres Graphen, dass es sich bei der Kurve K um den Graphen der Ableitungsfunktion $\phi´$ handeln kann.
#ableitung#graph
c)
Die Gaußsche Glockenkurve spielt in der Stochastik eine wichtige Rolle bei der Approximation der Binominalverteilung durch die Standardnormalverteilung.
So lässt sich eine Wahrscheinlichkeit $P(D)$ näherungsweise durch das folgende bestimmte Integral berechnen.
$P(D)\approx\displaystyle\int_{-1,6}^{1,6} \phi (x) \;\mathrm dx$
Berechne dieses bestimmte Integral näherungsweise mithilfe eines Verfahrens der numerischen Integration; verwende acht Teilintervalle.
#integral#intervall
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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