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Wahlpflichtaufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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Betrachtet wird die Funktion $\phi$ mit $y=\phi(x)= \frac{1}{\sqrt{ 2\pi}}\mathrm e^{-\frac{1}{2}x^2}, x\in \mathbb{R}$.
Ihr Graph wird als Gaußsche Glockenkurve bezeichnet.
#normalverteilung
a)
Weise nach, dass die Gaußsche Glockenkurve symmetrisch zur y-Achse ist.
Die Gaußsche Glockenkurve besitzt genau zwei Wendepunkte.
Berechne die Abszisse dieser Wendepunkte.
#symmetrie#wendepunkt
b)
Im untenstehenden Koordinatensystem sind die Gaußsche Glockenkurve G sowie ein weiterer Funktionsgraph K dargestellt.
Begründe anhand von drei Eigenschaften der Funktion $\phi$ oder ihres Graphen, dass es sich bei der Kurve K um den Graphen der Ableitungsfunktion $\phi´$ handeln kann.
#ableitung#graph
c)
Die Gaußsche Glockenkurve spielt in der Stochastik eine wichtige Rolle bei der Approximation der Binominalverteilung durch die Standardnormalverteilung.
So lässt sich eine Wahrscheinlichkeit $P(D)$ näherungsweise durch das folgende bestimmte Integral berechnen.
$P(D)\approx\displaystyle\int_{-1,6}^{1,6} \phi (x) \;\mathrm dx$
Berechne dieses bestimmte Integral näherungsweise mithilfe eines Verfahrens der numerischen Integration; verwende acht Teilintervalle.
#integral#intervall
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Gaußsche Glockenkurve symmetrisch zur y-Achse ist
Der Graph einer Funktion $f$ ist achsensymmetrisch, wenn gilt:
$f(x)=f(-x)$
$f(x)=f(-x)$
Setze also für $-x$ in den Funktiosterm $\phi(x)$ ein.
$\blacktriangleright$  Abszissen der Wendepunkte berechnen
Du hast die Funktion $\phi$ gegeben und sollst deren Graph auf Wendepunkte untersuchen. Für eine Wendestelle $x_W$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, \phi ''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\, \phi '''(x_W)\neq 0$
  • Du kannst also wie folgt vorgehen:
    1. Bestimme die ersten drei Ableitungsfunktionen $\phi '$,$\phi ''$ und $\phi '''$.
    2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $\phi ''(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
    3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $\phi '''(x)$ einsetzt.
b)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es sich bei der Kurve K um den Graph der Ableitung $\boldsymbol{\phi'(x)}$ handeln kann
Wenn du den Graphen einer Funktion $f$ gegeben hast, dann kannst du verschiedene Aussagen über den Graphen der Ableitung $f'$ treffen.
Graph der Funktion $f$Graph der Funktion $f'$
Hoch- und Tiefpunkte Nullstellen
WendepunkteHoch- und Tiefpunkte
Der Graph der Funktion $\phi(x)$ hat an den Stellen $x=\pm 1$ jeweils einen Wendepunkt. Dies bedeutet, dass der Graph der Ableitung an der Stelle $x= \pm 1$ Extremstellen hat. Wenn du dir das Schaubild K anschaust, hat dieses bei $x=-1$ einen Hochpunkt und bei $x=1$ einen Tiefpunkt.
Aus dem Schaubild der Funktion $\phi$ kannst du ablesen, dass der Graph der Funktion im Punkt H$(0,4\;|\;0)$ einen Hochpunkt hat.
c)
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
In dieser Aufgabe sollst du das bestimmte Integral $\displaystyle\int_{-1,6}^{1,6} \phi(x) \;\mathrm dx$ mit Hilfe eines Verfahrens der numerischen Integration berechnen. Dabei sollst du acht Intervalle verwenden. Du kannst zum Beispiel das Trapezverfahren verwenden.
Mit $d=\frac{b-a}{n}=\frac{x_n-x_0}{n}$ erhältst du
$A\approx \sum^n_{k=1}\; \frac{1}{2} \cdot \left( f(x_{k-1})+ f(x_k) \right)\cdot d $
Mit $d=\frac{b-a}{n}=\frac{x_n-x_0}{n}$ erhälst du
$A\approx \sum^n_{k=1}\; \frac{1}{2} \cdot \left( f(x_{k-1})+ f(x_k) \right) \cdot d $
Da du acht Intervalle verwenden sollst, sollten diese einen Abstand von 0,4 haben. Am einfachsten ist es, wenn du für jedes Intervall den Teilwert berechnest und anschließend die Ergebnisse aufsummierst. Da es sich um einen symmetrischen Graphen handelt, reicht es, wenn du den Flächeninhalt zum Beispiel von -1,6 bis zur $y$-Achse berechnest und am Ende diesen Flächeninhalt verdoppelst.
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a)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Gaußsche Glockenkurve symmetrisch zur y-Achse ist
Der Graph einer Funktion $f$ ist achsensymmetrisch, wenn gilt:
$f(x)=f(-x)$
$f(x)=f(-x)$
Setze also für $-x$ in den Funktiosterm $\phi(x)$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} \phi(-x)&=&\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-\frac{1}{2}(-x)^2} \\[5pt] &=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-\frac{1}{2}x^2} \\[5pt] & = & \phi(x) \end{array}$
Damit hast du gezeigt, dass die Gaußsche Glockenkurve symmetrisch zur $y$-Achse ist.
$\blacktriangleright$  Abszissen der Wendepunkte berechnen
Du hast die Funktion $\phi$ gegeben und sollst deren Graph auf Wendepunkte untersuchen. Für eine Wendestelle $x_W$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, \phi ''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\, \phi '''(x_W)\neq 0$
  • Du kannst also wie folgt vorgehen:
    1. Bestimme die ersten drei Ableitungsfunktionen $\phi '$,$\phi ''$ und $\phi '''$.
    2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $\phi ''(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
    3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $\phi '''(x)$ einsetzt.
    1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
    $\begin{array}[t]{rll} \phi'(x)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 2x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \\[5pt] &=&-\frac{x}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} \phi''(x)&=&-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} + \frac{x}{2\pi}\cdot (-x) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} &\quad \scriptsize \text{ausklammern} \\[5pt] &=&\left(-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} +\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}} \right)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \end{array}$
    $ \phi''(x) =\left(-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} +\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}} \right)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$
    $\begin{array}[t]{rll} \phi'''(x)&=&\frac{2x}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} + \left(-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} +\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}} \right)\cdot \left(-\frac{1}{2} \right)\cdot 2x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \\[5pt] &=& \left( \frac{3x}{\sqrt{2\pi}} - \frac{x^3}{\sqrt{2\pi}}\right)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} \phi'''(x)&=& \end{array}$
    2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
    Durch Gleichsetzen von $\phi ''(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Wendestellen.
    Da die Exponentialfunkiton nicht null wird, folgt aus dem Satz des Nullprodukts, dass $\phi''(x)=0 $ genau dann wenn $\left(-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} +\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}} \right)=0$
    $\begin{array}[t]{rll} \left(-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} +\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}} \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right) \\[5pt] \frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{2\pi} \\[5pt] x^2&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\; \\[5pt] x_{W_{1,2}}&=&\pm 1 \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} x_{W_{1,2}}&=&\pm 1 \end{array}$
    3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
    Du hast genau zwei Stellen ermittelt, an denen der Graph von $\phi$ jeweils einen Wendepunkt haben kann. Das notwendige Kriterium muss in jedem Wendepunkt erfüllt sein, daher kann es keine anderen Wendestellen geben. In der Aufgabenstellung ist dir vorgegeben, dass der Graph von $\phi$ genau zwei Wendepunkte besitzt. Diese Wendepunkte müssen also an den berechneten Stellen $x_{W_{1,2}}=\pm 1$ liegen.
    Die Abszissen der Wendepunkte sind $x_{W_1} = -1$ und $x_{W_2} = 1$.
#ableitung#extrempunkt#symmetrie#kettenregel
b)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es sich bei der Kurve K um den Graph der Ableitung $\boldsymbol{\phi'(x)}$ handeln kann
Wahlpflichtaufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graphisch ableiten
Wahlpflichtaufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graphisch ableiten
#wendepunkt#graph#extrempunkt#nullstelle#ableitung
c)
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
In dieser Aufgabe sollst du das bestimmte Integral $\displaystyle\int_{-1,6}^{1,6} \phi(x) \;\mathrm dx$ mit Hilfe eines Verfahrens der numerischen Integration berechnen. Dabei sollst du acht Intervalle verwenden. Du kannst zum Beispiel das Trapezverfahren verwenden.
Mit $d=\frac{b-a}{n}=\frac{x_n-x_0}{n}$ erhältst du
$A\approx \sum^n_{k=1}\; \frac{1}{2} \cdot \left( f(x_{k-1})+ f(x_k) \right)\cdot d $
Mit $d=\frac{b-a}{n}=\frac{x_n-x_0}{n}$ erhälst du
$A\approx \sum^n_{k=1}\; \frac{1}{2} \cdot \left( f(x_{k-1})+ f(x_k) \right) \cdot d $
Da du acht Intervalle verwenden sollst, sollten diese einen Abstand von 0,4 haben. Am einfachsten ist es, wenn du für jedes Intervall den Teilwert berechnest und anschließend die Ergebnisse aufsummierst. Da es sich um einen symmetrischen Graphen handelt, reicht es, wenn du den Flächeninhalt zum Beispiel von -1,6 bis zur $y$-Achse berechnest und am Ende diesen Flächeninhalt verdoppelst.
$d=\frac{1,6-(-1,6)}{8} = 0,4 $
$\begin{array}[t]{rll} A_1&\approx& \frac{1}{2} \left( f(-1,6) + f(-1,2) \right)\cdot 0,4 \\[5pt] &\approx& \frac{1}{2}(0,11 + 0,19 ) \cdot 0,4 \\[5pt] &\approx& \frac{1}{2}\cdot 0,30 \cdot 0,4 \\[5pt] &\approx& 0,06 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_2&\approx& \frac{1}{2} \left( f(-1,2) + f(-0,8) \right) \cdot 0,4 \\[5pt] &\approx& \frac{1}{2}(0,19 + 0,29 ) \cdot 0,4\\[5pt] &\approx& \frac{1}{2}\cdot 0,48 \cdot 0,4 \\[5pt] &\approx& 0,096 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_3&\approx& 0,124 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_4&\approx& 0,178 \\[5pt] \end{array}$
$A\approx 2\cdot (0,06+0,096 + 0,124 + 0,178 ) = 0,916 $
$A\approx 0,916 $
Für das bestimmte Integral ergibt sich mit dem Trapezverfahren unter Verwendung von acht Teilintervallen ein Wert von ungefähr $0,916$.
#intervall#integral
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