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Pflichtaufgabe 1 - Analysis

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Gegeben sind die Funktionen $f_k$ in ihrem größtmöglichen Definitionsbereich durch
$y=f_k(x)=\dfrac{10x-k}{x^2}$ $\quad$ mit $k\in\mathbb{R}, k>0$.$\quad$ Ihre Graphen seien $G_k$.
a)
Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktionen $f_k$ an und ermitteln Sie die Nullstellen der Funktionen $f_k$.
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionen $f_k$ für $x\rightarrow \pm\infty$ und geben Sie Gleichungen aller Asymptoten der Graphen $G_k$ an.
Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte der Graphen $G_k$ und bestimmen Sie deren Art.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ortskurve der lokalen Extrempunkte der Graphen $G_k$.
b)
Die Graphen $G_k$ besitzen jeweils genau einen Wendepunkt $W_k\left(\frac{3k}{10}\mid \frac{200}{9k}\right)$.
Stellen Sie eine Gleichung der Tangenten $t_k$ an die Graphen $G_k$ in ihren Wendepunkten $W_k$ auf.
[mögliche Gleichung für $t_k$ zur Kontrolle: $y=t_k(x)=-\dfrac{1.000}{27k^2}x+\dfrac{100}{3k}$]
Jede dieser Tangenten $t_k$ bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck.
Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt dieser Dreiecke unabhängig vom Parameter $k$ ist.
c)
In dem gegebenen Koordinatensystem (siehe Arbeitsblatt auf der folgenden Seite) sind Ausschnitte des Graphen $G_2$ sowie eines weiteren Graphen $G_k\cdot(k^*\in N)$ als Kurven $K_1$ und $K_2$ dargestellt.
Untersuchen Sie, welche der Kurven zum Graphen $G_2$ gehört und ermitteln Sie den Wert des Parameters $k^*$.
Zeichnen Sie in das gegebene Koordinatensystem die Ortskurve der lokalen Extrempunkte im Intervall $0,4\leq x\leq 3$.
Die Maßzahl des Inhalts einer Fläche $F$ werde wie folgt berechnet:
$A_1=\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0,2}^{0,4}f_2(x)\mathrm dx+\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0,4}^{1}\dfrac{5}{x}\mathrm dx-\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0,5}^{1}f_k* (x)dx$
Beschreiben Sie die Fläche $F$ und kennzeichnen Sie diese im Arbeitsblatt.
Es sei $A_2=\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0,2}^{0,4}f_2(x)\mathrm dx+\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0,4}^{0,5}\dfrac{5}{x} \mathrm dx+\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0,5}^{1}(\dfrac{5}{x}-f_k*(x))\mathrm dx$.
Weisen Sie nach, dass gilt: $A_1=A_2$.
Arbeitsblatt zu Aufgabe 1
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