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Wahlpflichtaufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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Die Abbildung zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Ableitungsfunktion $f'$ dritten Grades.
#ableitung
a)
Bestimme eine Gleichung der Gerade, auf der die beiden Extrempunkte des Graphen von $f'$ liegen.
(2 BE)
#geradengleichung#extrempunkt
b)
Entscheide, ob der Wert des Terms $f''(0)+f'(2)+f''(2)$ größer als Null ist. Begründe deine Entscheidung.
(3 BE)
c)
Der Graph der zugehörigen Funktion $f$ besitzt einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Gib die $x$-Koordinate dieses Wendepunkts an und begründe die Existenz dieses Wendepunkts mithilfe von Eigenschaften der Ableitungsfunktion $f'$ bzw. ihres Graphen.
(3 BE)
#tangente#wendepunkt
Die Ableitungsfunktion $f'$ beschreibt im Intervall $0\leq x\leq 4$ die Änderungsrate der Temperatur eines Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $f'(x)$ die Änderungsrate in Grad pro Minute.
d)
Beschreibe die Entwicklung der Temperatur im angegebenen Zeitraum.
(3 BE)
e)
Zwei Minuten nach Beobachtungsbeginn beträgt die Temperatur des Körpers $1^{\circ}\,C.$ Ermittle die Temperatur zu Beobachtungsbeginn.
(4 BE)
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Lösungen
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a)
Die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $f'$ lauten $H(0\mid 0)$ und $T(2\mid -2).$
Die Steigung der Geraden, auf der diese beiden Punkte liegen beträgt:
$m = \frac{-2-0}{2-0} = -1$
Da der Koordinatenursprung auf der Geraden liegt, muss für den $y$-Achsenabschnitt $b=0$ gelten. Eine Gleichung der Geraden, auf der die beiden Extrempunkte von $f'$ liegen, lautet also:
$g:\,y= -x$
b)
Da der Graph von $f'$ an den Stellen $x=0$ und $x=2$ Extrempunkte besitzt, gilt aufgrund des notwendigen Kriteriums für Extremstellen $f''(0) = 0$ und $f''(2) = 0.$
Zudem lässt auch ablesen, dass $f'(2)\approx -2.$ Also ist der Wert des angegebenen Terms negativ und damit nicht größer als Null.
c)
Eine Wendestelle von $f$ ist immer eine Extremstelle von $f'.$ Es kommen zunächst also $x_1= 0$ und $x_2 = 2$ infrage. Zudem soll der Graph von $f$ im zugehörigen Wendepunkt eine waagerechte Tangente besitzen. Es muss also $f'(x_W)=0$ sein.
Dies ist für $x=0$ erfüllt. Die gesuchte Wendestelle ist also $x_W = 0.$
d)
In den ersten zwei Minuten nach Beobachtungsbeginn nimmt die Temperatur des Körpers immer schneller ab. In der darauffolgenden Minute sinkt die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur abnimmt. Ab dem Zeitpunkt drei Minuten nach Beobachtungsbeginn nimmt die Temperatur dann zu und dies immer schneller.
e)
Der Wert, um den sich die Temperatur in den ersten beiden Minuten ändert, beschreibt den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f'$ im Intervall $[0;2]$ mit der $x$-Achse einschließt. Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass dieser Flächeninhalt ca. $2\,\text{FE}$ beträgt. Da die Fläche unterhalb der $x$-Achse liegt, handelt es sich um eine Abnahme.
Zu Beginn muss die Temperatur also $2^{\circ}C$ höher gewesen sein.
Zu Beobachtungsbeginn betrug die Temperatur des Körpers $3^{\circ}C.$
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