Wahlpflichtaufgabe 5.1
5.1
Ermittle eine Gleichung der quadratischen Funktion 
, die die beiden folgenden Eigenschaften hat:
, die die beiden folgenden Eigenschaften hat:
- Der Graph von schneidet die Gerade mit der Gleichung
im Punkt 
unter einem rechten Winkel. - Die
- und die 
-Koordinate des Extrempunkts des Graphen von stimmen überein.
(5 BE)
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5.1
Quadratische Funktionsgleichung: 
1. Schritt: Bestimmen von 
Da sich der Graph und die Gerade im Punkt schneiden, muss dieser in enthalten sein. Daraus folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
g(0)&=& a\cdot0^2+b\cdot0+c&\\[5pt]
&=& c
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/35885889bc5fcc5932fd47bfb266ad9c2fe3ecbbd9a2571bd541ddb2bec34768_light.svg)
liefert so 
2. Schritt: Bestimmen von 
Da sich die Funktion und die Gerade im rechten Winkel schneiden, folgt aus der Steigung der Geraden die Steigung der Funktion im Punkt :
![\(\begin{array}[t]{rll}
m_g&=&-\dfrac{1}{m_y} & \\[5pt]
m_g&=&-\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}} & \\[5pt]
&=&-4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/64d6bf33b5f8c5a6125960155718e0f0499a149f426a3770e94acd492dfc237d_light.svg)
Mit 
und 
lässt sich nun berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
2a\cdot0+b&=& -4& \\[5pt]
b&=&-4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d1713b01781d5abadbb8abdef789adc01cc8867d8e53ab06b2afbd3b4ee5ea8c_light.svg)
3. Schritt: Bestimmen von 
Die -Koordinate des Graphen von wird bestimmt.
Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
g](https://www.schullv.de/resources/formulas/a6a4e90c1bfcb12691b3dc7ea1580d1e51b6b3dc036f132a28d56fd5c80c8b09_light.svg)
Da es sich bei um eine quadratische Funktion handelt, muss x eine Extremstelle sein. Die Art des Extrempunkts ist hier allerdings nicht relevant, weshalb die hinreichende Bedingung nicht mehr geprüft werden muss.
Wegen der zweiten erwarteten Eigenschaft muss gelten: 
, also:
![\(\begin{array}[t]{rll}
a\cdot\left(\dfrac{2}{a}\right)^2-4\cdot\left(\dfrac{2}{a}\right)+1 &=& \dfrac{2}{a}& \\[5pt]
a\cdot\dfrac{4}{a^2}-\dfrac{8}{a}+1&=& \dfrac{2}{a}&\\[5pt]
\dfrac{4}{a}-\dfrac{8}{a}+1 &=& \dfrac{2}{a}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot a\\[5pt]
4-8+a&=& 2&\quad \scriptsize \mid\;+4\\[5pt]
a&=&6
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4c5e51619159b10b2c8681320c209b7f99d305a40eb7afe3063dcd9014bc8f54_light.svg)
Somit lautet die gesuchte Funktion: 
1. Schritt: Bestimmen von
Da sich der Graph und die Gerade im Punkt schneiden, muss dieser in enthalten sein. Daraus folgt:
liefert so
2. Schritt: Bestimmen von
Da sich die Funktion und die Gerade im rechten Winkel schneiden, folgt aus der Steigung der Geraden die Steigung der Funktion im Punkt :
Mit und lässt sich nun berechnen:
3. Schritt: Bestimmen von
Die -Koordinate des Graphen von wird bestimmt.
Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:
Da es sich bei um eine quadratische Funktion handelt, muss x eine Extremstelle sein. Die Art des Extrempunkts ist hier allerdings nicht relevant, weshalb die hinreichende Bedingung nicht mehr geprüft werden muss.
Wegen der zweiten erwarteten Eigenschaft muss gelten: , also:
Somit lautet die gesuchte Funktion:
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