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Pflichtaufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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Gegeben sind die Funktionen $f_a$ mit dem jeweils größtmöglichen Definitionsbereich durch
$y=f_a(x)=\mathrm{ln}(x+9a),\quad a\in\mathbb{R},\quad a>0$.

Ihre Graphen seien $G_a$.
a)  Gib für die Funktionen $f_a$ den größtmöglichen Definitionsbereich und den Wertebereich an und ermittle die Nullstellen.
Gib für die Graphen $G_a$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit der $y$-Achse sowie eine Gleichung ihrer Asymptoten an.
Beschreibe, wie die Graphen $G_a$ aus dem Graphen der Funktion $g$ mit
$g(x)=\mathrm{ln}\,x$    und    $x\in \mathbb{R}$,   $x> 0$, hervorgehen.
Schließe daraus, ob die Funktionen $f_a$ lokale Extremstellen besitzen.
Zeichne den Graphen $G_1$ unter Einbeziehung der bisherigen Untersuchungsergebnisse.
b)  Die Strecke $\overline{OQ}$ mit $O(0\mid 0)$ und $Q(-0,25\mid f_1(-0,25))$, der Graph $G_1$ und die Abszissenachse schließen eine Fläche vollständig ein.
Zeige, dass die Funktion $F_1$ mit der Gleichung $F_1(x)=(x+9)\cdot \mathrm{ln}(x+9)-x$ eine Stammfunktion der Funktion $f_1$ ist und berechne die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.
Auf dem Graphen $G_1$ gibt es genau einen Punkt $P(x_P\mid y_P)$ mit minimaler Entfernung zum Koordinatenursprung $O$.
Stelle eine Gleichung für eine Zielfunktion in Abhängigkeit von $x_P$ zum Lösen dieser Extremwertproblematik auf.
c)  Berechne diejenige Stelle, an der der Graph $G_1$ und der Graph der Funktion $h$ mit $h(x)=x^2$ den gleichen Anstieg haben.
d)  Ermittle diejenige reelle Zahl $a$, für die die Funktion $z_a$ mit $x\in \mathbb{R}$ und
$z_a(x)\begin{cases}x^2 \hspace{2.92cm} \text{für} \hspace{1cm} -\infty <x \leq0\\\mathrm{ln} (x+9a) \hspace{1.3cm} \text{für} \hspace{1.1cm} 0<x <\infty\end{cases}$
an der Stelle $x=0$ stetig ist.
Untersuche, ob die Funktion $z_a$ für den gefundenen Wert $a$ auch differenzierbar ist.
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Tipps
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a) $\blacktriangleright$ Größtmöglichen Definitionsbereich bestimmen
In der ersten Aufgabe ist eine Funktionenschar gegeben, die durch die Gleichung
$f_a(x)=\ln (x+9a)$
dargestellt wird. Der Parameter $a$ gehört zur Menge der rationalen Zahlen und ist echt größer als Null.
Der Definitionsbereich $\mathbb{D}$ gibt alle Werte an, für die die Funktion definiert ist, die man also in den Funktionsterm einsetzen darf.
Nicht definiert sind die Funktionen dann, wenn das Argument der $\ln$–Funktion einen negativen Wert annimmt.
$\blacktriangleright$ Wertebereich bestimmen
Der Wertebereich einer Funktion sind alle $y$–Werte, die die Funktion annimmt.
$\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen
Nullstellen sind die $x$–Werte, an denen $\boldsymbol{f(x)=0}$ gilt. Um diese zu bestimmen, musst du den Funktionsterm mit Null gleichsetzen.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{y}$–Achse
Für den Schnittpunkt mit der $y$–Achse muss $\color{#87c800}{\boldsymbol{x=0}}$ gelten.
$\blacktriangleright$ Gleichung der Asymptoten bestimmen
Die senkrechte Asymptote befindet sich an der Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist.
$\blacktriangleright$ Entstehung des Graphen von $\boldsymbol{G_a}$ und die lokalen Extremstellen
Überlege dir zunächst ob es sich um eine Verschiebung oder Streckung/Stauchung handelt und bestimme dann die Richtung.
Überlege dir, ob der Graph der Logarithmusfunktion lokale Extremstellen hat und übertrage dein Ergebnis auf die Graphen der Funktionenschar $f_a$.
$\blacktriangleright$ Zeichnung des Graphen $\boldsymbol{G_1}$
Zeichne dir die senkrechte Asymptote, sowie die Nullstelle und den Schnittpunkt mit der $y$–Achse ein um den Graphen $G_1$ zu zeichnen.
b) $\blacktriangleright$ Zeige, dass $\boldsymbol{F_1}$ eine Stammfunktion ist
Du sollst zeigen, dass $F_1$ eine Stammfunktion zu $f_1$ ist. Dafür musst du zeigen, dass die Ableitung von $F_1$ gerade der Funktion $f_1$ entspricht.
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Pflichtaufgabe 1 - Analysis
Pflichtaufgabe 1 - Analysis
Du sollst den Flächeninhalt der grün eingefärbten Fläche berechnen. Für den Bereich $-8\leq x \leq -0,25$ wird die Fläche vom Graphen der Funktion $f_1$ und durch die $x$–Achse begrenzt. Im Bereich $-0,25\leq x \leq 0$ wird die Fläche durch $\overline{OQ}$ und die $x$–Achse begrenzt.
Beginne mit der Fläche $A_1$, die vom Graphen $G_1$ begrenzt wird. Du hast gezeigt, dass $F_1$ eine Stammfunktion von $f_1$ ist, du kannst die Fläche also folgendermaßen berechnen: $A_1=F_1(-0,25) - F_1(-8)$.
Bei $A_2$ handelt es sich um die Fläche eines Dreiecks mit Schenkellänge $0,25$ und $f_1(-0,25)$.
Den gesuchten Flächeninhalt berechnest du, indem du die Flächen $A_1$ und $A_2$ addierst.
$\blacktriangleright$  Formel für minimalen Abstand zum Koordinatenursprung
Du sollst eine Gleichung aufstellen, die den Abstand der Punkte auf dem Graphen $G_1$ zum Koordinatenursprung beschreibt. Wenn du diese minimierst, erhältst du die Kordinate $x_p$ des Punktes mit minimalem Abstand zum Koordinatenursprung.
Der Abstand $d$ eines Punktes $(x_p,y_p)$ auf $G_1$ und dem Koordinatenursprung lässt sich mit dem Satz von Pythagoras berechnen. Es gilt außerdem $y_p = f_1(x_p)$.
c) $\blacktriangleright$ Stelle mit gleichem Anstieg bestimmen
Du sollst die Stelle bestimmen, an der der Graph $G_1$ und der Graph von $h(x)=x^2$ den gleichen Anstieg haben. An dieser Stelle müssen also die Ableitungen der beiden Funktionen identisch sein. Bilde die Ableitungen und löse die Gleichung $f_1'(x) = h'(x)$ nach $x$ auf.
d) $\blacktriangleright$ Stetigkeit
Du sollst den Parameter $a$ bestimmen, für den die Funktion $z_a$ an der Stelle $x=0$ stetig ist. Damit eine Funktion stetig ist müssen zunächst die Funktionswerte an der Stelle übereinstimmen. Zu überprüfen bleibt, ob der Grenzwert für $x\to 0^+$ existiert.
$\blacktriangleright$  Differenzierbarkeit
Nun sollst du prüfen, ob für das eben berechnete $a$ die Funktion auch differenzierbar ist.
Du musst also prüfen ob folgende Grenzwerte existieren und die Gleichung erfüllen:
$\lim\limits_{x\to 0^-}z_{1/9}'(x) = \lim\limits_{x\to 0^+}z_{1/9}'(x)$
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Lösungen
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a) $\blacktriangleright$ Größtmöglichen Definitionsbereich bestimmen
In der ersten Aufgabe ist eine Funktionenschar gegeben, die durch die Gleichung
$f_a(x)=\ln (x+9a)$
dargestellt wird. Der Parameter $a$ gehört zur Menge der rationalen Zahlen und ist echt größer als Null.
Der Definitionsbereich $\mathbb{D}$ gibt alle Werte an, für die die Funktion definiert ist, die man also in den Funktionsterm einsetzen darf.
Nicht definiert sind die Funktionen dann, wenn das Argument der $\ln$–Funktion einen negativen Wert annimmt. Es muss also gelten:
$\begin{array}[t]{rll} 0& <&x+9a \quad \scriptsize \mid\; -9a\\[5pt] x& >&-9a \end{array}$
Daraus ergibt sich der Definitionsbereich $\mathbb{D}=\left\{x \in \mathbb{R}\mid x>-9a\right\}$.
$\blacktriangleright$ Wertebereich bestimmen
Der Wertebereich einer Funktion sind alle $y$–Werte, die die Funktion annimmt. Für die Funktionenschar gilt also: $\mathbb{W} = \mathbb{R}$.
$\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen
Nullstellen sind die $x$–Werte, an denen $\boldsymbol{f(x)=0}$ gilt. Um diese zu bestimmen, musst du den Funktionsterm mit Null gleichsetzen.
$\begin{array}{rlll} f_a(x)&=&0&\scriptsize\\[5pt] \ln(x+9a)&=&0&\scriptsize \mid\;\mathrm{e}^{(\ )}\\[5pt] x+9a&=&\mathrm{e}^0&\\[5pt] x+9a&=&1&\scriptsize \mid\;-9a\\[5pt] x&=&1-9a \end{array}$
Die Nullstelle der Funktionenschar $f_a$ befindet sich bei $x=1-9a$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{y}$–Achse
Für den Schnittpunkt mit der $y$–Achse muss $\color{#87c800}{\boldsymbol{x=0}}$ gelten.
$y=\ln(0+9a)=\ln(9a)$
Der Schnittpunkt mit der $y$–Achse lautet somit $S(0 \mid \ln(9a))$.
$\blacktriangleright$ Gleichung der Asymptoten bestimmen
Die senkrechte Asymptote befindet sich an der Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist. Das ist der Fall für $x\leq -9a$. Die senkrechte Asymptote hat somit die Gleichung:
$x=-9a$
$\blacktriangleright$ Entstehung des Graphen von $\boldsymbol{G_a}$ und die lokalen Extremstellen
Die Graphen der Funktionenschar $f_a$ gehen aus dem Graphen der Funktion $g(x)=\ln(x)$ durch eine Verschiebung um $9a$ Einheiten in negative $x$–Richtung hervor.
Da der Graph der Logarithmusfunktion keine lokalen Extremstellen hat, besitzen auch die Graphen der Funktionenschar $f_a$ keine lokalen Extremstellen.
$\blacktriangleright$ Zeichnung des Graphen $\boldsymbol{G_1}$
Zeichne dir die senkrechte Asymptote, sowie die Nullstelle und den Schnittpunkt mit der $y$–Achse ein um den Graphen $G_1$ zu zeichnen.
Pflichtaufgabe 1 - Analysis
Pflichtaufgabe 1 - Analysis
b) $\blacktriangleright$ Zeige, dass $\boldsymbol{F_1}$ eine Stammfunktion ist
Du sollst zeigen, dass $F_1$ eine Stammfunktion zu $f_1$ ist. Dafür musst du zeigen, dass die Ableitung von $F_1$ gerade der Funktion $f_1$ entspricht.
Für die Ableitung von $F_1$ benötigst du die Produktregel.
$\begin{array}[t]{rll} F_1(x)&=&(x+9)\cdot \ln(x+9)-x \\[5pt] F_1'(x)&=&1 \cdot \ln(x+9) + (x+9) \dfrac{1}{x+9} - 1\\[5pt] &=&\ln(x+9) + 1 -1 \\[5pt] &=&\ln(x+9)\\[5pt] &=&f_1(x) \end{array}$
Daraus folgt, dass $F_1$ eine Stammfunktion von $f_1$ darstellt.
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Pflichtaufgabe 1 - Analysis
Pflichtaufgabe 1 - Analysis
Du sollst den Flächeninhalt der grün eingefärbten Fläche berechnen. Für den Bereich $-8\leq x \leq -0,25$ wird die Fläche vom Graphen der Funktion $f_1$ und durch die $x$–Achse begrenzt. Im Bereich $-0,25\leq x \leq 0$ wird die Fläche durch $\overline{OQ}$ und die $x$–Achse begrenzt.
Beginne mit der Fläche $A_1$, die vom Graphen $G_1$ begrenzt wird. Du hast gezeigt, dass $F_1$ eine Stammfunktion von $f_1$ ist, du kannst die Fläche also folgendermaßen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=&F_1(-0,25) - F_1(-8) \\[5pt] &=&(-0,25+9)\cdot \ln(-0,25+9)+0,25 - ((-8+9)\cdot \ln(-8+9)+8)\\[5pt] &=&8,75\cdot \ln(8,75)+0,25 - \ln(1)-8\\[5pt] &=&8,75\cdot \ln(8,75)-7,75 \\[5pt] &\approx& 11,23 \end{array}$
Die Fläche $A_2$ ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Schenkellänge $0,25$ und $f_1(-0,25)=\ln(8,75)$.
$A_2 = \dfrac{1}{2}\cdot 0,25 \cdot \ln(8,75) = 0,125 \cdot \ln(8,75) \approx 0,27$
Den gesuchten Flächeninhalt berechnest du, indem du die Flächen $A_1$ und $A_2$ addierst.
$A = A_1 + A_2 \approx 11,23 + 0,27 = 11,5$
Der Inhalt der Fläche beträgt ungefähr $11,5$ FE.
$\blacktriangleright$  Formel für minimalen Abstand zum Koordinatenursprung
Du sollst eine Gleichung aufstellen, die den Abstand der Punkte auf dem Graphen $G_1$ zum Koordinatenursprung beschreibt. Wenn du diese minimierst, erhältst du die Kordinate $x_p$ des Punktes mit minimalem Abstand zum Koordinatenursprung.
Der Abstand $d$ eines Punktes $(x_p,y_p)$ auf $G_1$ und dem Koordinatenursprung lässt sich mit dem Satz von Pythagoras berechnen. Es gilt außerdem $y_p = f_1(x_p)$
$\begin{array}[t]{rll} d^2&=&x_p^2+y_p^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{ }\\[5pt] d&=&\sqrt{x_p^2+y_p^2}\quad \scriptsize \mid\; y_p = f_1(x_p)\\[5pt] d(x_p)&=&\sqrt{x_p^2+f_1(x_p)^2} \end{array}$
Die Gleichung der Zielfunktionen lautet $d(x_p)=\sqrt{x_p^2+f_1(x_p)^2}$.
c) $\blacktriangleright$ Stelle mit gleichem Anstieg bestimmen
Du sollst die Stelle bestimmen, an der der Graph $G_1$ und der Graph von $h(x)=x^2$ den gleichen Anstieg haben. An dieser Stelle müssen also die Ableitungen der beiden Funktionen identisch sein. Bilde die Ableitungen und löse die Gleichung $f_1'(x) = h'(x)$ nach $x$ auf.
$f_1'(x)=\dfrac{1}{x+9}$
$h'(x) = 2x$
$\begin{array}[t]{rll} f_1'(x)&=&h'(x)\\[5pt] \dfrac{1}{x+9}&=&2x\quad \scriptsize \mid\; \cdot(x+9)\\[5pt] 1&=&2x^2+18x\quad \scriptsize \mid\;-1\\[5pt] 0&=&2x^2+18x-1\quad \scriptsize \mid\;:2\\[5pt] 0&=&x^2+9x-0,5 \end{array}$
Die quadratische Gleichung kannst du mit der p–q–Formel lösen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&-\dfrac{9}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{9}{2}\right)^2+0,5} \\[5pt] &=&-4,5 \pm \sqrt{20,75}\\[5pt] x_1&\approx&-4,5 + 4,555 = 0,055\\[5pt] x_2&\approx&-4,5 - 4,555 = -9,055 \end{array}$
Da $x_2<-9$ liegt sie nicht im Definitionsbereich der Funktion $f_1$. Die Stelle an der die Graphen der beiden Funktionen den gleichen Anstieg haben ist somit $x=0,055$.
d) $\blacktriangleright$ Stetigkeit
Du sollst den Parameter $a$ bestimmen, für den die Funktion $z_a$ an der Stelle $x=0$ stetig ist. Damit eine Funktion stetig ist müssen zunächst die Funktionswerte an der Stelle übereinstimmen. Es muss also gelten:
$\begin{array}[t]{rll} 0^2&=&\ln (0+9a) \\[5pt] 0&=&\ln(9a) \quad \scriptsize \mid\; \mathrm{e}^{(\ )}\\[5pt] 1&=&9a\quad \scriptsize \mid\; :9\\[5pt] a&=&\frac{1}{9} \end{array}$
Für $a=\frac{1}{9}$ stimmen die Funktionswert für $x=0$ überein. Zu überprüfen bleibt, ob der Grenzwert für $x\to 0^+$ existiert.
$\lim_{x\to 0^+} \ln(x+9\cdot \frac{1}{9}) = \lim_{x\to 0^+} \ln(x+1) = \ln(1) = 0$
Der Grenzwert existiert und somit ist die Funktion für $a=\frac{1}{9}$ stetig in $x=0$.
$\blacktriangleright$  Differenzierbarkeit
Nun sollst du prüfen, ob für das eben berechnete $a$ die Funktion auch differenzierbar ist.
$ z_{1/9}(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2, & -\infty < x\leq 0 \\ \ln(x+1), & 0< x < \infty\end{array}\right.$
Leite die Funktion zunächst stückweise ab
$ z_{1/9}'(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2x, & -\infty < x\leq 0 \\ \frac{1}{x+1}, & 0< x < \infty\end{array}\right.$
Du musst also prüfen ob folgende Grenzwerte existieren und die Gleichung erfüllen:
$\lim\limits_{x\to 0^-}z_{1/9}'(x) = \lim\limits_{x\to 0^+}z_{1/9}'(x)$
$\begin{array}[t]{rll} \lim_{x\to 0^-}z_{1/9}'(x)&=&\lim_{x\to 0^+}z_{1/9}'(x) \\[5pt] \lim_{x\to 0^-}2x&=&\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x+1}\\[5pt] 0&\ne&1 \end{array}$
Die Grenzwerte stimmen nicht überein, somit ist die Funktion $z_{1/9}$ nicht differenzierbar in $x=0$.
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