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Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(1\mid 1\mid 4)$, $B(3\mid 2\mid 10)$ und $C(-1\mid 3\mid 4)$ gegeben.
a)
Durch die Punkte $A$, $B$ und $C$ ist eindeutig eine Ebene $E$ bestimmt.
Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punktes $D$, so dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm ist und berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Parallelogramms.
Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene $E$.
Die Ebene $E$ schneidet die $xy$-Ebene des Koordinatensystems in einer Geraden $s$.
Erklären Sie, warum diese Gerade $s$ eine durch den Koordinatenursprung verlaufende Gerade sein muss und ermitteln Sie eine Parametergleichung dieser Geraden $s$.
Berechnen Sie das Gradmaß des Winkels, unter dem die Ebene $E$ die $xy$-Ebene des Koordinatensystems schneidet.
b)
Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Eine horizontale Platte und eine dazu geneigte Platte bilden eine Versuchsanordnung zum Abrollen einer Kugel. Im kartesischen Koordinatensystem seien die Lage der horizontalen Platte durch die $xy$-Ebene und die Lage der geneigten Platte durch die Ebene $E$ oberhalb der $xy$-Ebene beschrieben.
Eine Kugel berührt die geneigte Platte und wird zunächst festgehalten.
In dieser Ausgangsposition ist der Punkt $M(-1\mid -2\mid 12)$ der Mittelpunkt der Kugel.
Zeigen Sie, dass die Kugel in der Ausgangsposition die geneigte Platte im Punkt $B$ der Ebene $E$ berührt und berechnen Sie die Maßzahl des Radius der Kugel.
Wenn die Kugel nicht mehr gehalten wird, rollt diese auf dem kürzesten Weg auf die horizontale Platte zu.
Ermitteln Sie die Koordinaten eines Vektors $\vec u_R$, der die Bewegungsrichtung des Mittelpunktes der Kugel während dieses Rollens beschreibt.
Beim Auftreffen auf der horizontalen Platte berührt die Kugel diese in einem Punkt $P$ der $xy$-Ebene.
Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes $P$.
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Lösungen
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a) $\blacktriangleright$ Bestimme die Koordinaten des Punktes $\boldsymbol D$
Hier sollst du die Koordinaten des Punktes $D$ so bestimmen, dass die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ ein Parallelogramm ergeben. Bei einem Parallelogramm sind die parallelen Seiten jeweils gleich lang. Das heißt, dass sie den gleichen Richtungsvektor haben.
Eine Skizze kann dir helfen, den Sachverhalt besser zu verstehen:
Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Du kannst erkennen, dass du den Ortsvektor des Punktes $D$ durch folgende geometrische Operation darstellen kannst: $ \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BC}$
$\begin{array}{rllll} \overrightarrow{OD}&=&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\10\end{pmatrix}\right)\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\1\\-6\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-3\\2\\-2\end{pmatrix}\\ \end{array}$
Der Punkt $D$ hat die Koordinaten $\boldsymbol{D(-3\mid\;2\mid\;-2)}$.
$\blacktriangleright$ Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts $\boldsymbol A$
Bei der Berechnung des Flächeninhalts $A$ hast du ebenfalls zwei verschieden Möglichkeiten. Du kannst den Flächeninhalt $A$ mit Hilfe des Vektorprodukts berechnen (Lösungsweg A) oder mit der Flächeninhaltsformel für ein Parallelogramm (Lösungsweg B).
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Vektorprodukt
Die Fläche eines Parallelogramm kannst du mit Hilfe folgender Formel berechnen:
 
$\boldsymbol{A=|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|}$
 
Dabei sind die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ die Richtungsvektoren, die das Parallelogramm aufspannen.
$\begin{array}{rllll} A&=&|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\\[5pt] &=&\left|\left(\begin{pmatrix}3\\2\\10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}\right)\times\left(\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}\right)\right|=\left|\begin{pmatrix}2\\1\\6\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\left|\begin{pmatrix}1\cdot0&-&6\cdot2\\6\cdot(-2)&-&2\cdot0\\2\cdot2&-&1\cdot(-2)\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-12\\-12\\6\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\sqrt{(-12)^2+(-12)^2+6^2}=\sqrt{324}\\[5pt] &=&18\\ \end{array}$
Der Flächeninhalt des Parallelogramms $ABCD$ hat die Maßzahl $18$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Flächeninhaltsformel
Den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnest du mit folgender Formel:
 
$\boldsymbol{A=a\cdot h_a}$
 
Dabei entspricht das $a$ einer Seite des Parallelogramms und $h_a$ dem Abstand der parallelen Seiten. Das $a$ entspricht in diesem Fall zum Beispiel der Länge der Strecke $\overline{AB}$. Um diese zu bestimmen, berechnest du den Abstand zwischen den Punkten $A$ und $B$. Den Abstand zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ berechnest du mit folgender Formel:
 
$\boldsymbol{d_{A,B}=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}}$
 
Die Höhe $h_a$ entspricht dem Abstand des Punktes $A$ zu der Geraden durch die Punkte $C$ und $D$, da es sich um parallele Seiten handelt. Den Abstand eines Punktes $\boldsymbol P$ zu einer Geraden $g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+t\cdot\overrightarrow{u}$ berechnest du wie folgt:
 
$\boldsymbol{d=\dfrac{\left|\left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}\right)\times\overrightarrow{u}\right|}{|\overrightarrow{u}|}}$
 
Gehe nun folgendermaßen vor:
  1. Berechne den Abstand $d_{A,B}$.
  2. Berechne die Höhe $h_a$.
  3. Setze diese Werte in die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts ein.
1. Schritt: Berechne den Abstand $\boldsymbol{d_{A,B}}$
Setze die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ in die Formel zur Berechung des Abstands ein.
$\begin{array}{rllll} d_{A,B}&=&\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\\ &=&\sqrt{(3-1)^2+(2-1)^2+(10-4)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+1^2+6^2}\\ &=&\sqrt{4+1+36}\\ &=&\sqrt{41}\\ \end{array}$
Der Abstand $d_{A,B}$ zwischen den Punkten $A$ und $B$ beträgt $\sqrt{41}$ LE.
2. Schritt: Berechne die Höhe $\boldsymbol{h_a}$
Die Höhe $h_a$ entspricht dem Abstand des Punktes $A$ zu der Geraden durch die Punkte $C$ und $D$. Du benötigst den Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ der Gerade, damit du diesen in die Formel zur Berechnung des Abstands einsetzen kannst. Dieser Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ der Gerade $CD$ entspricht dem Vektor $\overrightarrow{AB}$. Diesen hast du schon berechnet. Es gilt: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\1\\6\end{pmatrix}$. Als Stützpunkt kannst du den Punkt $C$ wählen. So erhältst du folgende Geradengleichung für die Gerade durch die Punkte $C$ und $D$:
$g: \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix}+ u \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\6\end{pmatrix}$
Nun kannst du die Werte in die Formel einsetzen.
$\begin{array}{rllll} h_a&=&\dfrac{\left|\left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}\right)\times\overrightarrow{u}\right|}{|\overrightarrow{u}|}=\dfrac{\left|\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}\right)\times\overrightarrow{u}\right|}{|\overrightarrow{u}|}\\[5pt] &=&\dfrac{\left|\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\1\\6\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{2^1+1^2+6^2}}=\dfrac{\left|\begin{pmatrix}-2\cdot6&-&0\cdot1\\0\cdot2&-&2\cdot6\\2\cdot1&-&(-2)\cdot2\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{4+1+36}}=\dfrac{\left|\begin{pmatrix}-12\\-12\\6\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{41}}\\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{(-12)^2+(-12)^2+6^2}}{\sqrt{41}}=\dfrac{\sqrt{324}}{\sqrt{41}}=\dfrac{18}{\sqrt{41}}\\ \end{array}$
Die Höhe $h_a$ beträgt $\dfrac{18}{\sqrt{41}}$.
3. Schritt: Berechne den Flächeninhalt $\boldsymbol A$ Nun kannst du den Abstand $d_{A,B}$ und die Höhe $h_a$ in die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts einsetzen.
$\begin{array}{rllll} A&=&d_{A,B}\cdot h_a =\sqrt{41}\cdot\dfrac{18}{\sqrt{41}}\\ &=&18\\ \end{array}$
Der Flächeninhalt $A$ des Parallelogramms $ABCD$ hat die Maßzahl $18$.
$\blacktriangleright$ Ermittle eine Koordinatengleichung der Ebene $\boldsymbol{E}$
Durch die Punkte $A(1 \mid\; 1 \mid\; 4)$, $B( 3 \mid\; 2 \mid\; 10)$ und $C( -1 \mid\; 3 \mid\; 4)$ ist eine Ebene $E$ bestimmt.
Du sollst eine Koordinatengleichung dieser Ebene bestimmen.
Die Koordinatengleichung einer Ebene sieht folgendermaßen aus:
 
$E:\,n_1 \cdot x + n_2 \cdot y + n_3 \cdot z = d$
 
mit
  • $\vec{n}= \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$ : Normalenvektor der Ebene E, ein Vektor der senkrecht auf der Ebene steht
  • $d$: Konstante
Um die Koordinatengleichung zu bestimmen, brauchst du den Normalenvektor der Ebene. Um diesen zu ermitteln, hast du mehrere Möglichkeiten:
Lösungsweg A: Du kannst erst die Parameterform der Ebene aufstellen, um dann mit Hilfe des Vektorproduktes den Normalenvektor zu erhalten. Wenn du den Normalenvektor ermittelt hast, setzt du einen Punkt deiner Ebene in die so erhaltene Gleichung ein, um den Parameter $d$ zu ermitteln.
Lösungsweg B: Aus der Parameterform der Ebene kannst du alternativ ein Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen und die beiden Parameter, die darin enthalten sind, eliminieren.
Lösungsweg C: Du berechnest aus der Parameterform der Ebene den Normalenvektor über ein Lineares Gleichungssystem (LGS), das du mit Hilfe der Richtungsvektoren aufstellst. Anschließend wählst du für eine Koordinate einen beliebigen Wert, um die anderen beiden Koordinaten über das LGS zu berechnen. Um den Parameter $d$ zu ermitteln, setzt du einen der gegebenen Punkte in die Koordinatengleichung ein.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Koordinatengleichung über Vektorprodukt
Um das Vektorprodukt zu bilden, benötigst du die Parameterform der Ebene, die du im 1. Schritt aufstellst.
Da der Normalenvektor einer Ebene auch senkrecht auf allen darin enthaltenen Vektoren steht, muss er folglich auch senkrecht auf den Richtungsvektoren der Parameterform stehen. Ermittle also im 2. Schritt den Normalenvektor der Ebene über das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Im 3. Schritt erstellst du die Koordinatengleichung und setzt einen der gegebenen Punkte darin ein, um den Parameter $d$ zu ermitteln.
Parameterform der Ebene:
 
$E:\,\vec{x} = \overrightarrow{OP} + m \cdot \vec{q} + n \cdot \vec{r}$
 
  • $\vec{q}$, $\vec{r}$: Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen
  • $\overrightarrow{OP}$: Stützvektor (Ortsvektor eines Punktes $P$, der in der Ebene liegt)
1. Schritt: Parameterform bestimmen
Als Stützvektor kannst du den Ortsvektor des Punktes $A$ wählen und als Richtungsvektoren die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$.
$\begin{array}{rllll} E:\, \vec{x}&=&\,\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}+ m \cdot \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\2\\10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}\end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix} + m \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\6\end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}&\scriptsize \\ \end{array}$
2. Schritt: Normalenvektor ermitteln
Der Normalenvektor $\vec{n}$ ergibt sich durch das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$\vec{n}\,=\,\vec{q} \times \vec{r}$
Wir rechnen daher:
$\begin{array}{rllll} \vec{n} &=& \begin{pmatrix}2\\1\\6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \cdot 0 - 6 \cdot 2\\6 \cdot (-2) - 2 \cdot 0\\2 \cdot 2 - (-2) \cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12\\-12\\6\end{pmatrix} \end{array}$
Ein Normalenvektor muss immer senkrecht auf der Ebene stehen, die Länge des Vektors spielt dabei allerdings keine Rolle. Daher kannst du den Vektor mit dem Faktor $6$ kürzen:
$\begin{array}{rllll} \vec{n}&=& \begin{pmatrix}-12\\-12\\6\end{pmatrix} \mathrel{\widehat{=}} \begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}&\scriptsize\\ \end{array}$
3. Schritt: Koordinatengleichung bestimmen
Jetzt kannst du den Normalenvektor in die Koordinatengleichung der Ebene einsetzen:
$\begin{array}{rllll} E: -2\cdot x - 2\cdot y + z &=& d&\scriptsize \\ \end{array}$
Um den Parameter $d$ zu ermitteln, kannst du beispielsweise den Punkt $A$ in die Gleichung einsetzen:
$\begin{array}{rllll} -2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 4 &=& d&\scriptsize \\ 0 &=& d&\scriptsize\\ \end{array}$
Eine Koordinatengleichung der Ebene E lautet: $E: -2\cdot x - 2\cdot y + z = 0$
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Koordinatengleichung über Parameterform und LGS
Die Parameterform der Ebene bestimmst du wie in Lösungsweg A beschrieben.
$\begin{array}{rllll} E: \vec{x}&=&\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix} + m \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\6\end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}&\scriptsize \\ \end{array}$
Daraus kannst du dann folgendes lineares Gleichungssystem aufstellen, indem du die Komponenten zeilenweise abliest:
$\begin{array}{llllllllllll} \text{I}&x&=&1&+&2 m&-&2 n& \scriptsize\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}&y&=&1&+&m&+&2 n&\\ \text{III}&z&=&4&+&6 m&&\\ \hline \text{Ia}&x + y&=&2&+&3 m&&&\scriptsize\text{Rechne: }\text{Ia} \cdot 2\\ \text{II}&y&=&1&+&m&+&2 n&\\ \text{III}&z&=&4&+&6 m&&& \\ \hline \text{Ib}&2\cdot x + 2\cdot y&=&4&+&6 m&&\\ \text{II}&y&=&1&+&m&+&2 n&\\ \text{III}&z&=&4&+&6 m&&&\scriptsize\text{Rechne: }-\text{I} \\ \hline \text{Ib}&2\cdot x + 2\cdot y&=&4&+&6 m&&\\ \text{II}&y&=&1&+&m&+&2 n&\\ \text{IIIa}&-2\cdot x-2\cdot y+z&=&0&&&&& \\ \end{array}$
Wir erhalten genau dasselbe Ergebnis wie in Lösungsweg A: $E: -2\cdot x - 2\cdot y + z = 0$
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg C: Normalenvektor ohne Vektorprodukt
Du suchst einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene $E$ steht. Dazu nutzt du hier das Skalarprodukt. Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, nimmt ihr Skalarprodukt den Wert Null an.
Also multiplizierst du jeweils den Normalenvektor $\vec{n}$ mit den beiden Stützvektoren:
$\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\6\end{pmatrix} = 2\cdot n_1 + n_2 + 6 \cdot n_3 \stackrel{!}{=} 0$
$\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix} = -2\cdot n_1 + 2 \cdot n_2 \stackrel{!}{=} 0$
Damit erhältst du das lineare Gleichungssystem:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} \text{I}&0&=&2\cdot n_1&+&n_2&+&6\cdot n_3\\ \text{II}&0&=&-2 \cdot n_1&+&2 \cdot n_2&&&\\ \end{array}$
Da es unendlich viele Normalenvektoren gibt, die diese Eigenschaften erfüllen, kann einer der Parameter beliebig gewählt werden.
In der zweiten Gleichung stehen bereits nur 2 unbekannte Koordinaten, also ist es sinnvoll einen der beiden beliebig zu wählen. Zum Beispiel $n_2=2$:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} \text{I}&0&=&2\cdot n_1&+&1&+&6\cdot n_3\\ \text{II}&0&=&-2 \cdot n_1&+&2\cdot 2&&&\\ \end{array}$
Jetzt kannst du Gleichung $\text{II}$ nach $n_1$ auflösen und anschließend in Gleichung $\text{I}$ einsetzen:
$\begin{array}{rlll} 0&=&-2 \cdot n_1 + 4&\scriptsize \mid\; +2\cdot n_1\\ 2\cdot n_1&=&4&\scriptsize \mid\; :2\\ n_1&=&2&\scriptsize\\ \end{array}$
In Gleichung $\text{I}$ einsetzen:
$\begin{array}{rlll} 0&=&2\cdot 2+2+6\cdot n_3&\scriptsize \mid\; -6\\ 6 \cdot n_3&=&-6& \scriptsize \mid\; :6\\ n_3&=&-1& \scriptsize \\ \end{array}$
Somit erhältst du den Normalenvektor: $\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$
Diesen kannst du wiederum in die Koordinatengleichung einsetzen und den Parameter $d$ ermitteln.
$E: 2\cdot x + 2 \cdot y - z = d$
Um den Parameter $d$ zu ermitteln, kannst du einen der drei gegebenen Punkte, zum Beispiel den Punkt $A$, in die Gleichung einsetzen:
$\begin{array}{rllll} 2 + 2 - 1\cdot 4 &=& d&\scriptsize \\ 0 &=& d&\scriptsize\\ \end{array}$
Wir erhalten genau dasselbe Ergebnis wie in Lösungsweg A: $E: -2\cdot x - 2\cdot y + z = 0$
$\blacktriangleright$ Begründe den Verlauf der Geraden $\boldsymbol{s}$
Die Ebene $E$ schneidet sich mit der $xy$-Ebene in der Geraden $s$. Du sollst nun begründen, warum die Gerade $s$ durch den Ursprung verlaufen muss.
Die $xy$-Ebene hat folgende Koordinatengleichung:
$z=0$
Berechne nun die Schnittgerade der beiden Ebenen. Setze dazu die ermittelten Gleichungen gleich. Du erhältst folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} \text{I}&-2x&-&2y&+&z&=0\\ \text{II}&&&&&z&=0\\ \end{array}$
Setzt du Gleichung $\text{II}$ in Gleichung $\text{I}$ ein und multiplizierst mit $-2$, so erhältst du folgende Gleichung der Schnittgeraden:
$\begin{array}{rllll} x+y&0\\ \end{array}$
Diese Gleichung ist erfüllt, wenn sowohl das $x$, als auch das $y$ den Wert Null haben. Die Gerade $s$ geht demnach durch den Ursprung.
$\blacktriangleright$ Parametergleichung der Geraden $\boldsymbol{s}$
Die zuvor bestimmte Ebene $E$ schneidet die $xy$-Ebene des Koordinatensystems in einer Geraden $s$, die durch den Koordinatenursprung verläuft. Du sollst die Gleichung dieser Geraden $s$ in Parameterform bestimmen.
Die Schnittgerade der Ebene $E$ mit der $xy$-Ebene erhältst du, indem du ein lineares Gleichungssystem aus der Parameterform der Ebene $E$ aufstellst und für $z$ den Wert Null einsetzt. Parameterform der Ebene $E$:
$\begin{array}{rllll} E: \vec{x} & \begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix} + m \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\6\end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}&\scriptsize \\ \end{array}$
Somit erhältst du folgendes LGS:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} \text{I}&x&=&1&+&2 m&-&2 n\\ \text{II}&y&=&1&+&m&+&2 n&\\ \text{III}&z&=&4&+&6 m&&& \\ \end{array}$
Du suchst die Schnittgerade mit der $xy$-Ebene. Für die $xy$-Ebene gilt: $z \stackrel{!}{=}0$. Das kannst du nun in Gleichung $\text{III}$ deines LGS einsetzen und erhältst einen Wert für den Parameter $m$, den du wiederum in die Parameterform der Ebene $E$ einsetzt. Somit erhältst du die Geradengleichung der Schnittgerade $s$:
$\begin{array}{rlll} 4 + 6 m\stackrel{!}{=}&0&\scriptsize \mid\; -4\\ 6 m=&-4&\scriptsize \mid\; \cdot \frac{1}{6}\\ m=&- \frac{2}{3}&\scriptsize \\ \end{array}$
$m$ in die Ebenengleichung $E$ eingesetzt:
$\begin{array}{rllll} s: \vec{x} &=& \begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix} + \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\6\end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}&\scriptsize \\[5pt] s: \vec{x} &=& \begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\\frac{2}{3}\\4\end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}&\scriptsize \\[5pt] s: \vec{x} &=& \begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\0\end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}&\scriptsize \\ \end{array}$
Eine Parametergleichung der Geraden $s$ lautet:
$s: \vec{x} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\0\end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Schnittwinkel $\boldsymbol\phi$ der Ebene $\boldsymbol E$ und der $\boldsymbol{xy}$-Ebene
Den Schnittwinkel $\phi$ zwischen zwei Ebenen berechnest du mit folgender Formel:
 
$\boldsymbol{\cos\phi=\dfrac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot|\overrightarrow{n_2}|}}$
 
Die Koordinatengleichung der Ebene $E$ hast du zuvor ermittelt mit:
$E:-2x-2y+z=0$
Aus dieser Koordinatengleichung kannst du den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ ablesen.
Es gilt:
$\overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$
Die $xy$-Ebene hat den Normalenvektor $n_{xy}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$.
Setze nun die Vektoren $\overrightarrow{v_E}$ und $\overrightarrow{n_{xy}}$ in die Formel zur Winkelberechnung ein.
$\begin{array}{rllll} \cos\phi&=&\dfrac{|\overrightarrow{n_E}\cdot\overrightarrow{n_{xy}}|}{|\overrightarrow{n_E}|\cdot|\overrightarrow{n_{xy}}|}\\[5pt] \cos\phi&=&\dfrac{\left|\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}\\[5pt] \cos\phi&=&\dfrac{\left|(-2)\cdot0+(-2)\cdot0+1\cdot1\right|}{\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+\left(1\right)^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+1^2}}\\[5pt] \cos\phi&=&\dfrac{1}{\sqrt{4+4+1}\cdot\sqrt{1}}\\[5pt] \cos\phi&=&\dfrac{1}{\sqrt{9}\cdot1}\\[5pt] \cos\phi&=&\frac{1}{3}&\scriptsize \mid\; cos^{-1}\\[5pt] \phi&=&70,5^{\circ}\\ \end{array}$
Der Winkel mit dem die Ebene $E$ die $xy$-Ebene schneidet beträgt $70,5^{\circ}$.
b) $\blacktriangleright$ Zeige, dass der Punkt $\boldsymbol B$ dem Berührpunkt entspricht
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass die Kugel in der Ausgangsposition mit dem Mittelpunkt $M(-1\mid\;-2\mid\;12)$ die Ebene $E$ in dem Punkt $B(3 \mid\; 2 \mid\; 10)$ berührt.
Stelle dazu zunächst eine Lotgerade $g$ durch den Punkt $M$ zu der Ebene $E$ auf. Berechne dann im 2. Schritt den Schnittpunkt der Geraden $g$ und der Ebene $E$.
1. Schritt: Aufstellen der Lotgeraden $\boldsymbol g$
Die Lotgerade $g$ steht senkrecht auf der Ebene $E$. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene $E$ entspricht. Dieser lautet:
$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$
Der Punkt $M$ dient als Stützpunkt der Geraden. Nun kannst du eine Geradengleichung der Lotgerade $g$ aufstellen.
$\begin{array}{rl} g:\overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OM}+t\cdot\overrightarrow{n}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}-1\\-2\\12\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\\ \end{array}$
2. Schritt: Berechne den Schnittpunkt
Um nun den Schnittpunkt der Lotgerade $g$ und der Ebenen $E$ zu berechnen, setzt du die Einträge der Lotgerade komponentenweise in die Koordinatengleichung der Ebene $E$ ein.
Die Koordinatengleichung der Ebene $E$ hast du zuvor ermittelt mit:
$E:-2x-2y+1z=0$
Einsetzen der Einträge:
$\begin{array}{rllll} -2x-2y+1z&=&0\\ -2(-1-2t)-2(-2-2t)+(12+1t)&=&0\\ 2+4t+4+4t+12+t&=&0\\ 18+9t&=&0&\scriptsize \mid\; -18\\ 9t&=&-18&\scriptsize \mid\; :9\\ t&=&-2\\ \end{array}$
Diesen Wert $\boldsymbol{t=-2}$ kannst du nun in die Geradengleichung $g$ einsetzen, damit du den Schnittpunkt erhältst.
$\begin{array}{rllll} g:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}-1\\-2\\12\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}&\scriptsize \text{Einsetzen von t}\\[5pt] \overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}-1\\-2\\12\end{pmatrix}-2\cdot \begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}-1\\-2\\12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}3\\2\\10\end{pmatrix}\\ \end{array}$
Das liefert dir den Ortsvektor zum Punkt $B$. Der Schnittpunkt hat die Koordinaten $(3\mid\;2\mid\;10)$. Diese Koordinaten entsprechen den Koordinaten des Punktes $B$.
$\blacktriangleright$ Maßzahl des Radius der Kugel berechnen
Du hast eine Kugel gegeben, die auf einer geneigten Platte liegt, die durch die Ebene $E$ oberhalb der $xy$-Ebene beschrieben wird und in Richtung des Vektors $\vec{u_R}$ auf die horizontale Platte zu rollt. Diese Kugel berührt die Ebene $E$ im Punkt $B$ und wird dort festgehalten. Ihr Mittelpunkt ist $M(-1 \mid\; -2 \mid\; 12)$.
Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Du sollst die Maßzahl des Radius der Kugel bestimmen, die in diesem Fall dem Abstand der Punkte $B$ und $M$ entspricht.
$\begin{array}{rllll} \left| \overrightarrow{BM}=\right|&\left| \begin{pmatrix}-1\\-2\\12\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\2\\10\end{pmatrix}\right| = \left| \begin{pmatrix}-4\\-4\\2\end{pmatrix}\right| = \sqrt{(-4)²+(-4)²+2²}= \sqrt{36}=6&\scriptsize \end{array}$
Die Maßzahl des Radius der Kugel ist $6$.
$\blacktriangleright$ Ermittle die Koordinaten des Vektors $\boldsymbol{\overrightarrow{u_R}}$
Die Kugel rollt nun auf dem kürzesten Weg auf die horizontale Platte zu. Überlege dir zunächst, was der kürzeste Weg ist und welche Bedingungen dafür gelten müssen.
  • Rollt der Ball auf der Ebene $E$, so muss sich der Mittelpunkt parallel zu der Ebene $E$ bewegen. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u_R}$ verläuft folglich senkrecht zum Normalenvektor der Ebene $E$. Bestimme also einen Vektor, der parallel zu der Ebene verläuft.
  • Zuvor haben wir die Schnittgerade $s$ der $xy$-Ebene und der Ebene $E$ aufgestellt. Da du hier den kürzesten Weg suchst, muss sich der Ball senkrecht auf die Schnittgerade zu bewegen.
  • Stelle mit Hilfe der Bedingungen ein lineares Gleichungssystem auf und ermittle die Einträge des Vektors $\overrightarrow{u_R}$.
Setze beide Bedingungen um und bestimme so den Richtungsvektor $\overrightarrow{u_R}$.
1. Schritt: Parallelität zur Ebene $\boldsymbol{E}$
Du kennst den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ der Ebene. Dieser lautet: $\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$
Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u_R}$, der die Bewegungsrichtung beschreibt, muss nun orthogonal zu dem Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ stehen, damit er parallel zu der Ebene $E$ ist. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss demnach Null ergeben.
$\begin{array}{rllll} \overrightarrow{u_R}\circ\overrightarrow{n_E}&=&0\\[5pt] \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}&=&0\\[5pt] -2x-2y+1z&=&0\\ \end{array}$
2. Schritt: Orthogonalität zur Schnittgeraden $\boldsymbol{s}$
Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u_R}$, der die Bewegungsrichtung beschreibt, muss nun orthogonal zu dem Richtungsvektor $\overrightarrow{r}$ der Geraden $s$ stehen, damit er auf dem kürzesten Weg auf die Ebene $E$ zu rollt. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss demnach Null ergeben:
$\begin{array}{rllll} \overrightarrow{u_R}\circ\overrightarrow{r}&=&0\\[5pt] \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}&=&0\\[5pt] -2x+2y&=&0 \end{array}$
3. Schritt: Lineares Gleichungssystem lösen
Damit hast du nun 2 Bedingungen bestimmt und kann daraus ein lineares Gleichungssystem aufstellen:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} \text{I}&0&=&-2x&-&2y&+&z& \mid\; \scriptsize{\text{I}+\text{II}}\\ \text{II}&0&=&-2x&+&2y&+&0& \\ \hline \text{Ia}&0&=&-4x&&&+&z& \mid\; \scriptsize +4x\\ \text{II}&0&=&-2x&+&2y&&& \mid\; \scriptsize +2x; :2\\ \hline \text{Ia}&4x&=&z \\ \text{II}&x&=&y \end{array}$
Da 3 Variablen in 2 Gleichungen vorkommen, handelt es sich hier um ein unterbestimmtes Gleichungssystem. Wir können die Parameter $y$ und $z$ in Abhängigkeit von $x$ angeben. Daher wählen wir nun eine beliebige Zahl für den Parameter $x$, zum Beispiels $x=-1$. Dann erhalten für $y$ und $z$:
  • $x=-1$
  • $y=x=-1$
  • $z=4x=-4$
Ein möglicher Vektor, der beide Bedingungen erfüllt, lautet:
$\overrightarrow{u_R}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes P bestimmen
Die Kugel rollt, sobald sie losgelassen wird, auf dem kürzesten Weg in Richtung des Vektors
$\vec{u}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix}$
auf die horizontale Platte zu, die durch die $xy$-Ebene beschrieben wird.
Du sollst den Berührpunkt $P$ der Kugel mit der horizontalen Platte bestimmen.
Dazu berechnest du zunächst die Koordinaten des Mittelpunktes der Kugel beim Auftreffen auf die $xy$-Ebene. Dazu kannst du eine Geradengleichung bestimmen, die den Weg des Mittelpunktes der Kugel beschreibt. Wähle als Ortsvektor den Mittelpunkt $M$ und als Richtungsvektor den gegebenen Vektor $\vec{u_R}$.
Um nun die Koordinaten des Punktes $N$ zu erhalten, der den Kugelmittelpunkt zum Zeitpunkt des Auftreffens beschreibt, setzt du die horizontale Ebene um die Maßzahl des Radius der Kugel nach oben und berechnest den Schnittpunkt der Geraden mit der nach oben versetzten horizontalen Ebene.
Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Den gesuchten Punkt $P$ erhältst du, indem du die Koordinaten des Punktes $N$ um den Betrag reduzierst, um den du die horizontale Ebene nach oben versetzt hast. Die Geradengleichung $k$ in Parameterform, die den Weg des Kugelmittelpunktes beschreibt, sieht folgendermaßen aus:
$k: \vec{x}= \overrightarrow{OM} + v \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix}-1\\-2\\12\end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix}$
Die horizontale Platte wird durch die $xy$-Ebene beschrieben. Eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist:
$E_{xy}:z=0$
Die Ebene setzt du nun um die Maßzahl des Radius der Kugel nach oben. Die Maßzahl hat den Wert $6$. Damit die Ebene horizontal bleibt, wird sie lediglich auf der $z$-Achse um den Wert $6$ nach oben versetzt.
$E_{xy_6}:z=6$
Mit der zuvor bestimmten Parameterform der Geraden $k$ kannst du ein LGS aufstellen:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} \text{I}&x&=&-1&-&v&&\\ \text{II}&y&=&-2&-&v&&\\ \text{III}&z&=&12&-&4 v&&\\ \end{array}$
In Gleichung $\text{III}$ kannst du nun für $z$ den entsprechenden Wert aus der Ebenengleichung $E_{xy_6}$ einsetzen:
$\begin{array}{rllll} 6&=&12 - 4 v &\scriptsize \mid\; +4 v - 6\\ 4 v&=&6&\scriptsize\mid\; \cdot \frac{1}{4}\\ v&=&\frac{3}{2}&\scriptsize\\ \end{array}$
Den soeben erhaltenen Wert für den Parameter $v$ kannst du nun in die Geradengleichung zu $k$ einsetzen, um den Ortsvektor des Punktes $N$ zu bestimmen:
$\overrightarrow{ON}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\12\end{pmatrix} + \frac{3}{2} \cdot \begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{7}{2}\\6\end{pmatrix}$
Um den Schnittpunkt zu ermitteln, hast du die Ebene $E_{xy}$ um den Wert $6$ in $z$-Richtung nach oben versetzt. Die gesuchten Koordinaten des Punktes $P$ erhältst du also, indem du den ermittelten Punkt $N$ in $z$-Richtung um denselben Wert nach unten versetzt.
$\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{7}{2}\\6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{7}{2}\\0\end{pmatrix}$
Die Kugel berührt die $xy$-Ebene nach dem Abrollen über die geneigte Platte beim Auftreffen auf der horizontalen Platte im Punkt $P\left(-\frac{5}{2}\mid\; -\frac{7}{2}\mid\; 0\right)$.
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