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Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(1\mid 1\mid 4)$, $B(3\mid 2\mid 10)$ und $C(-1\mid 3\mid 4)$ gegeben.
a)
Durch die Punkte $A$, $B$ und $C$ ist eindeutig eine Ebene $E$ bestimmt.
Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punktes $D$, so dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm ist und berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Parallelogramms.
Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene $E$.
Die Ebene $E$ schneidet die $xy$-Ebene des Koordinatensystems in einer Geraden $s$.
Erklären Sie, warum diese Gerade $s$ eine durch den Koordinatenursprung verlaufende Gerade sein muss und ermitteln Sie eine Parametergleichung dieser Geraden $s$.
Berechnen Sie das Gradmaß des Winkels, unter dem die Ebene $E$ die $xy$-Ebene des Koordinatensystems schneidet.
b)
Eine horizontale Platte und eine dazu geneigte Platte bilden eine Versuchsanordnung zum Abrollen einer Kugel. Im kartesischen Koordinatensystem seien die Lage der horizontalen Platte durch die $xy$-Ebene und die Lage der geneigten Platte durch die Ebene $E$ oberhalb der $xy$-Ebene beschrieben.
Eine Kugel berührt die geneigte Platte und wird zunächst festgehalten.
In dieser Ausgangsposition ist der Punkt $M(-1\mid -2\mid 12)$ der Mittelpunkt der Kugel.
Zeigen Sie, dass die Kugel in der Ausgangsposition die geneigte Platte im Punkt $B$ der Ebene $E$ berührt und berechnen Sie die Maßzahl des Radius der Kugel.
Wenn die Kugel nicht mehr gehalten wird, rollt diese auf dem kürzesten Weg auf die horizontale Platte zu.
Ermitteln Sie die Koordinaten eines Vektors $\vec u_R$, der die Bewegungsrichtung des Mittelpunktes der Kugel während dieses Rollens beschreibt.
Beim Auftreffen auf der horizontalen Platte berührt die Kugel diese in einem Punkt $P$ der $xy$-Ebene.
Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes $P$.
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