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Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

Aufgaben
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Wasserzähler in Haushalten müssen geeicht sein. Die Genauigkeit der Messung mit Wasserzählern verschlechtert sich im Laufe der Jahre z.B. durch Abnutzung oder Ablagerungen je nach Wasserqualität. Wenn ein Wasserzähler nicht mehr die geforderte Messgenauigkeit besitzt, gilt er als fehlerhaft.
In einer Region beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen fehlerhaften Wasserzähler $5\,$%.
a)  Die Zufallsgrößen $X_n$ beschreiben jeweils die Anzahl der fehlerhaften Wasserzähler in Stichproben mit $n$ Wasserzählern.
Begründe, dass die Zufallsgrößen $X_n$ als binomialverteilt angenommen werden können.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.
A: Von 80 zufällig ausgewählten Wasserzählern sind genau 4 fehlerhaft.
B: Von 100 zufällig ausgewählten Wasserzählern sind mehr als 10,
$\hspace{.35cm}$ aber weniger als 15 fehlerhaft.
Berechne mit Hilfe der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 1.200 zufällig ausgewählten Wasserzählern höchstens 50 fehlerhaft sind.
Berechne, wie viele Wasserzähler mindestens ausgewählt werden müssen, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $10\,$% kein fehlerhafter Wasserzähler in dieser Auswahl befindet.
b)  Mit Ablauf der Eichgültigkeitsdauer sind die Wasserzähler durch geeichte Wasserzähler auszutauschen, sofern eine Stichprobenprüfung keine Verlängerung der Gültigkeitsdauer gestattet.
Eine Entscheidung für eine Verlängerung der Gültigkeitsdauer wird getroffen, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen fehlerhaften Wasserzähler kleiner als $10\,$% ist.
Es wird eine Stichprobe von 50 Wasserzählern auf die Anzahl fehlerhafter Wasserzähler untersucht.
Entwickle einen Signifikanztest auf dem Signifikanzniveau $\alpha=0,05$ für dieses Stichprobenverfahren und formuliere eine Entscheidungsregel.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art und interpretiere den Fehler 1. Art im Sachzusammenhang.
c)  In der Region sind alle Wasserzähler ausgetauscht und auf mechanische Abnutzung untersucht worden. Dabei wurde festgestellt, dass bei $70\,$% der als fehlerhaft eingestuften Wasserzähler mechanische Abnutzung ursächlich war. Auch bei $10\,$% der als fehlerfrei eingestuften Wasserzähler lag mechanische Abnutzung vor.
Untersuche, ob ein zufällig ausgewählter Wasserzähler mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $10\,$% mechanische Abnutzung aufweist.
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Tipps
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a) $\blacktriangleright$ Begründung für Binomialverteilung
Du sollst begründen, warum $X_n$ als binomialverteilt angenommen werden kann.
Eine Zufallsvariable ist binomialverteilt, wenn sie die Anzahl der Treffer in einer Folge unabhängiger Ereignisse beschreibt und es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Für die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariable gilt:
$B_{n;p}(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Du sollst die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnen:
A: Von 80 zufällig ausgewählten Wasserzählern sind genau 4 fehlerhaft.
Nutze also die oben angegebene Formel, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Es gilt $n=80$, $p=0,05$ und $k=4$.
Du sollst die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnen:
B: Von 100 zufällig ausgewählten Wasserzählern sind mehr als 10, aber weniger als 15 fehlerhaft.
Für dieses Ereignis können also 11, 12, 13 oder 14 Wasserzähler fehlerhaft sein. Berechne die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten und addiere diese, um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B zu erhalten.
Für dieses Ereignis gilt $n=100$ und $p=0,05$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass von 1200 zufällig ausgewählten Wasserzählern höchstens 50 fehlerhaft sind.
Überprüfe die Sigma-Regel, um zu überprüfen, ob die Standardnormalverteilung eine hinreichend gute Näherung für die Binomialverteilung darstellt.
$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}> 3$
Für die Standardnormalverteilung gilt:
$P(X \leq k) = \phi \left(\dfrac{k-\mu}{\sigma}\right)$
wobei $\mu = n \cdot p$. Außerdem gilt $\phi(-z) = 1- \phi(z)$.
Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der oben angegebenen Formel und der Tabelle für die Standardnormalverteilung.
$\blacktriangleright$ Anzahl an Wasserzählern berechnen
Gesucht ist die Anzahl der Wasserzähler, die mindestens ausgewählt werden müssen, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 10% kein fehlerhafter Wasserzähler in dieser Auswahl befindet.
Es soll also gelten: $B_{n;0,05}(0)\leq0,1$
Löse diese Gleichung nach $n$ auf.
b) $\blacktriangleright$ Signifikanztest entwickeln
Du sollst einen Signifikanztest für die Verlängerung der Gültigkeitsdauer auf einem Niveau von $\alpha=0,05$ entwickeln.
Eine Verlängerung wird getroffen, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen fehlerhaften Wasserzähler kleiner als 10% ist. Daraus kannst du die Nullhypothese H0 formulieren.
Die Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt $B_{50;0,01}$ und steht für die Anzahl der fehlerhaften Wasserzähler aus $M = \{0; 1; \ldots; 50\}$.
Bestimme den allgemeinen Ablehnungsbereich.
Die Wahrscheinlichkeit für mehr als $k$ fehlerhafte Wasserzähler soll weniger als 5% betragen.
Du kannst $k$ mit Hilfe einer Tabelle zur kumulierten Binominialverteilung bestimmen.
Betrachte eine Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung mit $n=50$ und $p= 0,1$ und suche den Wert für $k$, für den diese Ungleichung gerade noch erfüllt ist.
$\blacktriangleright$ Fehler 1. Art
Für den Fehler 1. Art musst du also das Gegenereignis $B_{50;0,9}(X \leq 40)$ betrachten.
c) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst entscheiden, ob ein zufällig ausgewählter Wasserzähler zu höchstens 10% mechanische Abnutzung aufweist. Dazu musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein zufällig ausgewählter Wasserzähler mechanische Abnutzung aufweist und überprüfen, ob diese über oder unter 10% liegt.
Ein fehlerhafter Wasserzähler weist zu 70% mechanische Abnutzung auf, ein fehlerfreier Wasserzähler zu 10%. Außerdem gilt weiterhin, dass ein Wasserzähler mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% fehlerhaft ist und somit zu 95% fehlerfrei.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wasserzähler sowohl fehlerhaft ist als auch mechanische Abnutzung aufweist, sowie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wasserzähler fehlerfrei ist, jedoch mechanische Abnutzung aufweist. Addiere diese Werte um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
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Lösungen
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a) $\blacktriangleright$ Begründung für Binomialverteilung
Du sollst begründen, warum $X_n$ als binomialverteilt angenommen werden kann.
Ein Wasserzähler ist entweder fehlerhaft oder nicht, das bedeutet es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse. Außerdem wird angenommen, dass die Wasserzähler unabhängig sind. Die Zufallsgröße $X_n$ beschreibt also die Anzahl der Erfolge, wobei ein Erfolg einem fehlerhaften Wasserzähler entspricht. Somit kann $X_n$ als binomialverteilt angenommen werden.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Für die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariable gilt:
$B_{n;p}(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Du sollst die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnen:
A: Von 80 zufällig ausgewählten Wasserzählern sind genau 4 fehlerhaft.
Nutze also die oben angegebene Formel, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Es gilt $n=80$, $p=0,05$ und $k=4$.
$\begin{array}[t]{rll} B_{80; 0,05}(4)&=& \binom{80}{4} \cdot 0,05^4 \cdot (1-0,05)^{80-4} \\[5pt] &=&\binom{80}{4} \cdot 0,05^4 \cdot 0,95^76\\[5pt] &\approx&0,2004 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A beträgt ungefähr 20,04%.
Du sollst die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnen:
B: Von 100 zufällig ausgewählten Wasserzählern sind mehr als 10, aber weniger als 15 fehlerhaft.
Für dieses Ereignis können also 11, 12, 13 oder 14 Wasserzähler fehlerhaft sein. Berechne die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten und addiere diese, um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B zu erhalten.
Für dieses Ereignis gilt $n=100$ und $p=0,05$.
$k=11: \quad B_{100; 0,05}(11)= \binom{100}{11} \cdot 0,05^11 \cdot (1-0,05)^{100-11} \approx 0,0072$
$k=12: \quad B_{100; 0,05}(12)= \binom{100}{11} \cdot 0,05^12 \cdot (1-0,05)^{100-12} \approx 0,0028$
$k=13: \quad B_{100; 0,05}(13)= \binom{100}{11} \cdot 0,05^13 \cdot (1-0,05)^{100-13} \approx 0,001$
$k=14: \quad B_{100; 0,05}(14)= \binom{100}{11} \cdot 0,05^14 \cdot (1-0,05)^{100-14} \approx 0,0003$
Für das Ereignis B gilt dann:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&B_{100; 0,05}(11) + B_{100; 0,05}(12) + B_{100; 0,05}(13) + B_{100; 0,05}(14) \\[5pt] &\approx&0,0072+0,0028+0,001+0,0003\\[5pt] &=&0,0113 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis B beträgt ungefähr 1,13%.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass von 1200 zufällig ausgewählten Wasserzählern höchstens 50 fehlerhaft sind.
Überprüfe die Sigma-Regel, um zu überprüfen, ob die Standardnormalverteilung eine hinreichend gute Näherung für die Binomialverteilung darstellt.
$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{1200\cdot 0,05 \cdot 0,95} = \sqrt{57} \approx 7,55 > 3$
Die Sigma-Regel ist erfüllt, somit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit mithilfe der Standardnormalverteilung berechnen.
Für die Standardnormalverteilung gilt:
$P(X \leq k) = \phi \left(\dfrac{k-\mu}{\sigma}\right)$
wobei $\mu = n \cdot p$. Außerdem gilt $\phi(-z) = 1- \phi(z)$.
Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der oben angegebenen Formel und der Tabelle für die Standardnormalverteilung.
$\mu = 1200 \cdot 0,05 = 60$
$\begin{array}[t]{rll} P(X \leq 50)&=&\phi \left(\dfrac{50-60}{\sqrt{57}}\right) \\[5pt] &\approx&\phi (-1,32)\\[5pt] &=&1-\phi(1,32)\\[5pt] &=& 1 - 0,90658\\[5pt] &=& 0,09342 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 1200 Wasserzählern höchstens 50 fehlerhaft sind beträgt ungefähr 9,34%.
$\blacktriangleright$ Anzahl an Wasserzählern berechnen
Gesucht ist die Anzahl der Wasserzähler, die mindestens ausgewählt werden müssen, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 10% kein fehlerhafter Wasserzähler in dieser Auswahl befindet.
Es soll also gelten:
$\begin{array}[t]{rll} B_{n;0,05}(0)&\leq&0,1 \\[5pt] \binom{n}{0} \cdot 0,05^0 \cdot (1-0,05)^{n-0}&\leq&0,1\\[5pt] 1 \cdot 1 \cdot 0,95^n &\leq&0,1\\[5pt] n \cdot \log(0,95)&\leq&\log(0,1)\quad \scriptsize{\mid\; :\log(0,95)}\\[5pt] n &\geq & 44,89 \end{array}$
Es müssen mindestens 45 Wasserzähler ausgewählt werden.
b) $\blacktriangleright$ Signifikanztest entwickeln
Du sollst einen Signifikanztest für die Verlängerung der Gültigkeitsdauer auf einem Niveau von $\alpha=0,05$ entwickeln.
Eine Verlängerung wird getroffen, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen fehlerhaften Wasserzähler kleiner als 10% ist. Daraus kannst du die Nullhypothese H0 formulieren:
$\boldsymbol{H_0: \quad p<0,1}$
Die Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt $B_{50;0,01}$ und steht für die Anzahl der fehlerhaften Wasserzähler aus $M = \{0; 1; \ldots; 50\}$.
Für den Ablehnungsbereich gilt demnacht: $\overline{A} = \{k;k+1; \ldots; 50\}$.
Die Wahrscheinlichkeit für mehr als $k$ fehlerhafte Wasserzähler soll weniger als 5% betragen.
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq k)&\leq&0,05 \\[5pt] 1- P(X\leq k-1 ) &\leq&0,05\quad \scriptsize \mid\; -0,05 \quad \mid\; +P(X\leq k-1 )\\[5pt] P(X\leq k-1 )&\geq&0,95 \end{array}$
Du kannst $k$ mit Hilfe einer Tabelle zur kumulierten Binominialverteilung bestimmen.
Betrachte eine Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung mit $n=50$ und $p= 0,1$ und suche den Wert für $k$, für den diese Ungleichung gerade noch erfüllt ist. Dort findest du:
$P(X \leq 9) = 0,9755$.
Demnach ist:
$\begin{array}{rll} k - 1 &=& 9&\scriptsize \mid \; + 1 \\[2pt] k &=& 10 & \scriptsize \\ \end{array}$
Der größtmögliche Ablehnungsbereich ist $\overline{A}=\{10;11;…50\}$
$\blacktriangleright$ Fehler 1. Art
Wenn mindestens 10 Wasserzähler fehlerhaft sind, so wird die Nullhypothese verworfen.
Für den Fehler 1. Art musst du also das Gegenereignis betrachten
$B_{50;0,9}(X \leq 40) = 0,025$
Der Fehler 1. Art beträgt somit 2,5%. Das bedeutet, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,5% eine Verlängerung genehmigt wird, obwohl mehr als 10% der Wasserzähler fehlerhaft sind.
c) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst entscheiden, ob ein zufällig ausgewählter Wasserzähler zu höchstens 10% mechanische Abnutzung aufweist. Dazu musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein zufällig ausgewählter Wasserzähler mechanische Abnutzung aufweist und überprüfen, ob diese über oder unter 10% liegt.
Ein fehlerhafter Wasserzähler weist zu 70% mechanische Abnutzung auf, ein fehlerfreier Wasserzähler zu 10%. Außerdem gilt weiterhin, dass ein Wasserzähler mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% fehlerhaft ist und somit zu 95% fehlerfrei.
Für die Wahrscheinlichkeit $P_1$, dass ein Wasserzähler fehlerhaft ist und mechanische Abnutzung aufweist gilt also:
$P_1 = 0,05 \cdot 0,7 = 0,035$
Für die Wahrscheinlichkeit $P_2$, dass ein Wasserzähler fehlerfrei ist und mechanische Abnutzung aufweist gilt also:
$P_1 = 0,95 \cdot 0,1 = 0,095$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Wasserzähler mechanische Abnutzung aufweist beträgt also
$P=P_1+P_2 = 0,035 + 0,095 = 0,13 > 0,1$
Ein zufällig ausgewählter Wasserzähler weist mit einer Wahrscheinlichkeit von 13% mechanische Abnutzung auf, das sind mehr als 10%.
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