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Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

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Wasserzähler in Haushalten müssen geeicht sein. Die Genauigkeit der Messung mit Wasserzählern verschlechtert sich im Laufe der Jahre z.B. durch Abnutzung oder Ablagerungen je nach Wasserqualität. Wenn ein Wasserzähler nicht mehr die geforderte Messgenauigkeit besitzt, gilt er als fehlerhaft.
In einer Region beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen fehlerhaften Wasserzähler $5\,$%.
a)  Die Zufallsgrößen $X_n$ beschreiben jeweils die Anzahl der fehlerhaften Wasserzähler in Stichproben mit $n$ Wasserzählern.
Begründe, dass die Zufallsgrößen $X_n$ als binomialverteilt angenommen werden können.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.
A: Von 80 zufällig ausgewählten Wasserzählern sind genau 4 fehlerhaft.
B: Von 100 zufällig ausgewählten Wasserzählern sind mehr als 10,
$\hspace{.35cm}$ aber weniger als 15 fehlerhaft.
Berechne mit Hilfe der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 1.200 zufällig ausgewählten Wasserzählern höchstens 50 fehlerhaft sind.
Berechne, wie viele Wasserzähler mindestens ausgewählt werden müssen, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $10\,$% kein fehlerhafter Wasserzähler in dieser Auswahl befindet.
b)  Mit Ablauf der Eichgültigkeitsdauer sind die Wasserzähler durch geeichte Wasserzähler auszutauschen, sofern eine Stichprobenprüfung keine Verlängerung der Gültigkeitsdauer gestattet.
Eine Entscheidung für eine Verlängerung der Gültigkeitsdauer wird getroffen, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen fehlerhaften Wasserzähler kleiner als $10\,$% ist.
Es wird eine Stichprobe von 50 Wasserzählern auf die Anzahl fehlerhafter Wasserzähler untersucht.
Entwickle einen Signifikanztest auf dem Signifikanzniveau $\alpha=0,05$ für dieses Stichprobenverfahren und formuliere eine Entscheidungsregel.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art und interpretiere den Fehler 1. Art im Sachzusammenhang.
c)  In der Region sind alle Wasserzähler ausgetauscht und auf mechanische Abnutzung untersucht worden. Dabei wurde festgestellt, dass bei $70\,$% der als fehlerhaft eingestuften Wasserzähler mechanische Abnutzung ursächlich war. Auch bei $10\,$% der als fehlerfrei eingestuften Wasserzähler lag mechanische Abnutzung vor.
Untersuche, ob ein zufällig ausgewählter Wasserzähler mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $10\,$% mechanische Abnutzung aufweist.
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