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Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

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Eine Firma stellt Flachbildschirme her. Im Mittel ist einer von fünf hergestellten Bildschirmen fehlerhaft.
a)
Es soll angenommen werden, dass die Anzahl fehlerhafter Geräte unter zufällig ausgewählten Bildschirmen durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden kann.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
„Von $50$ zufällig ausgewählten Bildschirmen sind höchstens $8$ fehlerhaft.“
„Von $200$ zufällig ausgewählten Bildschirmen sind mehr als $15\,\%$ und weniger als $25\,\%$ fehlerhaft.“
#binomialverteilung
Fehler der Bildschirme treten am häufigsten in Form eines defekten Displays sowie in Form eines defekten Netzteils auf. Für einen zufällig ausgewählten Bildschirm beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
  • das Display defekt ist, $10,7\,\%,$
  • weder das Display noch das Netzteil defekt ist, $87,3\,\%.$
  • entweder das Display oder das Netzteil defekt sind, $11,7\,\%,$
b)
Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.
#vierfeldertafel
c)
Untersuche, ob die beiden betrachteten Defekte unabhängig voneinander auftreten.
Jeder Bildschirm wird von der Auslieferung abschließend geprüft.
d)
Von vierzig abschließend geprüften Bildschirmen, unter denen sechs fehlerhaft sind, werden zehn zufällig ausgewählt.
Beurteile, ob die Anzahl fehlerhafter Bildschirme unter den ausgewählten binomialverteilt ist.
#binomialverteilung
e)
Bei einer abschließenden Prüfung werden alle fehlerfreien Bildschirme auch als fehlerfrei eingestuft. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein fehlerhafter Bildschirm als fehlerhaft eingestuft wird, wird mit $x$ bezeichnet. Ein im Rahmen der Prüfung als fehlerfrei eingestufter Bildschirm wird zufällig ausgewählt. Bestimme den kleinstmöglichen Wert von $x,$ für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Bildschirm fehlerhaft ist, höchstens $5\,\%$ beträgt.
Ein Mitarbeiter der Firma bezweifelt, dass im Mittel einer von fünf Bildschirmen fehlerhaft ist. Um einen Schätzwert für den Anteil fehlerhafter Geräte zu ermitteln, zieht er eine große Stichprobe vom Umfang $n.$
In der Stichprobe sind $15\,\%$ der Bildschirme fehlerhaft.
Auf der Grundlage der Stichprobe können mithilfe der abgebildeten Graphen $A,$ $B,$ $C$ und $D$ für den zu ermittelnden Schätzwert Vertrauensintervalle zu den Vertrauenswahrscheinlichkeiten $90\,\%$ und $95\,\%$ bestimmt werden.
Jeder der Graphen lässt sich durch eine der folgenden Funktionen beschreiben:
$f_k(p) = p -k \cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}$ $\quad$ $g_k(p) = p + k\cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}$
Dabei ist $p\in [0;1],$ $k\in \mathbb{R},$ $k>0,$ und $n$ der Umfang der Stichprobe.
f)
Bestimme ein Vertrauensintervall zur Vertrauenswahrscheinlichkeit $95\,\%.$
Entscheide, ob die Aussage „Im Mittel ist einer von fünf Bildschirmen fehlerhaft.“ durch das bestimmte Vertrauensintervall gestützt werden kann.
g)
Der Mitarbeiter zieht eine zweite Stichprobe vom Umfang $2n.$ Auch in dieser Stichprobe sind $15\,\%$ der Bildschirme fehlerhaft. Begründe, dass die Länge des zugehörigen Vertrauensintervalls im Vergleich zur ersten Stichprobe - bei gleicher Vertrauenswahrscheinlichkeit - geringer, aber nicht halb so groß ist.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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