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Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

Aufgaben
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Von den in einer Glasmanufaktur hergestellten Schalen weisen erfahrungsgemäß $10\,\%$ Lufteinschlüsse auf.
a)
Die Zufallsgrößen $X_n$ beschreiben die Anzahl der Schalen mit Lufteinschlüssel in Stichproben von $n$ Schalen und werden als binomialverteilt mit dem jeweiligen Erwartungswert $\mu$ und der jeweiligeen Standardabweichung $\sigma$ angenommen.
Ermittle jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.
$A:$ Unter $100$ Schalen befinden sich genau sieben Schalen mit Lufteinschlüssen.
$B:$ Die Anzahl der Schalen mit Lufteinschlüssen weicht unter $100$ Schalen um höchstens fünf vom Erwartungswert ab.
Für das Ereignis $C$: „Von $500$ Schalen weisen mindestens $37$ und höchstens $63$ Schalen Lufteinschlüsse auf.“ ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit $P(C)\approx 0,96$ beträgt.
Zeige, dass für das Ereignis $C$ die Faustregel $P(\mu-2\sigma\leq X_{500}\leq \mu +2\sigma)\approx 0,96$ erfüllt ist.
Formuliere im Kontext der Aufgabenstellung ein Ereignis $D,$ für das die Wahrscheinlichkeit $P(D)$ wie folgt berechnet wird:
$P(D)= 0,9^{10}\cdot \binom{40}{10}\cdot 0,1^{10}\cdot 0,9^{30}$
#binomialverteilung
b)
Aus der Produktionscharge müssen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens $80$ Schalen ohne Lufteinschlüsse verfügbar sein.
Untersuche, ob eine Produktionscharge von $100$ Schalen diese Vorgabe erfüllt.
c)
Ein Prüfautomat prüft die hergestellten Schalen auf Lufteinschlüsse. Erfahrungsgemäß sondert er $98\,\%$ aller Schalen mit Lufteinschlüssen aus, aber auch $3\,\%$ der Schalen ohne Lufteinschlüsse.
Erstelle zu dem beschriebenen Sachzusammenhang ein beschriftetes Baumdiagramm.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schale, die ausgesondert worden ist, Lufteinschlüsse aufweist.
#baumdiagramm
Die Glasmanufaktur hat das Verfahren zur Herstellung von Schalen verändert und erhofft nun einen geringeren Anteil von Schalen mit Lufteinschlüssen.
Um einen Schätzwert für den unbekannten Anteil von Schalen mit Lufteinschlüssen zu bestimmen, wurde der Produktion eine Stichprobe von $250$ Schalen entnommen. In dieser Stichprobe wurden zehn Schalen mit Lufteinschlüssen festgestellt.
d)
Ermittle zur Vertrauenswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ ein Vertrauensintervall für den unbekannten Anteil von Schalen mit Lufteinschlüssen und formuliere eine Schlussfolgerung, ob die Glasmanufaktur von einem geringeren Anteil Schalen mit Lufteinschlüssen ausgehen kann.
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Betrachtet wird hier die Zufallsgröße $X_{100},$ die die Anzahl der Schalen mit Lufteinschlüssen in einer Stichprobe von $100$ Schalen beschreibt. Diese kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt angenommen werden, mit den Parametern $n=100$ und $p = 0,1.$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X_{100}=7)$ von Ereignis $A$ ergibt sich dann mit der Formel für die Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=&P(X_{100} = 7) \\[5pt] &=& \binom{100}{7}\cdot 0,1^{7}\cdot 0,9^{93} \\[5pt] &\approx& 0,0889 \\[5pt] &=& 8,89\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &P(A) \\[5pt] =&P(X_{100} = 7) \\[5pt] =& \binom{100}{7}\cdot 0,1^{7}\cdot 0,9^{93} \\[5pt] \approx& 0,0889 \\[5pt] =& 8,89\,\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A$, also dafür, dass sich unter $100$ Schalen genau sieben mit Lufteinschlüssen befinden, beträgt ca. $8,89\,\%.$
Der Erwartungswert von $X_{100}$ ergibt sich durch die Binomialverteilung zu:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=& 100 \cdot 0,1 \\[5pt] &=& 10 \end{array}$
Bei Ereignis $B$ ist also die Wahrscheinlichkeit $P(5\leq X_{100} \leq 15)$ gesucht. Mit der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für $n =100$ und $p=0,1$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(5\leq X_{100} \leq 15) \\[5pt] &=& P(X_{100}\leq 15)- P(X_{100}\leq 4) \\[5pt] &\approx& 0,9601-0,0237 \\[5pt] &=&0,9364 \\[5pt] &=& 93,64\,\% \end{array}$
$ P(B)\approx 93,64\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$, also dafür, dass die Anzahl der Schalen mit Lufteinschlüssen unter $100$ Schalen um höchsten fünf vom Erwartungswert abweicht, beträgt ca. $93,64\,\%.$
$\blacktriangleright$  Faustregel zeigen
Für Ereignis $C$ ist laut Aufgabenstellung bekannt, dass $P(C)\approx 0,96$ gilt. $C$ beschreibt das Ereignis, dass von $500$ Schalen mindestens $37$ und höchstens $63$ Schalen Lufteinschlüsse aufweisen. Die Wahrscheinlichkeit kann daher mithilfe der binomialverteilten Zufallsgröße $X_{500}$ mit $n=100$ und $p=0,1$ durch $P(C)=P(37\leq X_{500}\leq 63)$ dargestellt werden.
Für den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ von $X_{500}$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=&500 \cdot 0,1 \\[5pt] &=& 50 \\[10pt] \sigma&=& \sqrt{500\cdot 0,1 \cdot 0,9} \\[5pt] &=& \sqrt{45} \\[5pt] &\approx& 6,7 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit $P(C)$ kann also wie folgt umgeschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&\approx& 0,96\\[5pt] P(37\leq X_{500}\leq 63) &\approx& 0,96 \\[5pt] P(50-2\cdot 6,7 \leq X_{500}\leq 50+2\cdot 6,7)&\approx& 0,96 \\[5pt] P(\mu -2\sigma \leq X_{500} \leq \mu +2\sigma)&\approx& 0,96 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&\approx& 0,96\\[5pt] … &\approx& 0,96 \end{array}$
Also ist die Faustregel für Ereignis $C$ erfüllt.
$\blacktriangleright$  Ereignis formulieren
$D$: In einer Stichprobe von $50$ Schalen weisen genau zehn Schalen Lufteinschlüsse auf, wobei die ersten zehn untersuchten Schalen frei von Lufteinschlüssen sind.
b)
$\blacktriangleright$  Vorgabe überprüfen
Unter $100$ Schalen sollen mindestens $80$ Schalen ohne Lufteinschlüsse bzw. höchstens $20$ Schalen mit Lufteinschlüssen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ gefunden werden.
Es soll also $P(X_{100}\leq 20) \geq 0,99 $ gelten. Wie in Teilaufgabe a) folgt mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung mit $n=100$ und $p = 0,1:$
$P(X_{100}\leq 20)\approx 0,9992 > 0,99 $
$\begin{array}[t]{rll} &P(X_{100}\leq 20) \\[5pt] \approx& 0,9992 \\[5pt] =& 99,92\,\% \end{array}$
Eine Stichprobe mit $100$ Schalen erfüllt die Vorgabe also, da dort mit einer Wahrscheinlichkeit von $99,2\,\%$ höchstens $20$ Schalen mit Lufteinschlüssen gefunden werden.
c)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm erstellen
Mit $L$ wird das Ereignis bezeichnet, dass eine zufällig ausgewählte Schale Lufteinschlüsse aufweist, mit $\overline{L}$ entsprechend, dass sie keine Lufteinschlüsse aufweist.
Mit $A$ wird das Ereignis bezeichnet, dass eine zufällig ausgewählte Schale vom Prüfautomat ausgesondert wird, mit $\overline{A}$ entsprechend, dass sie nicht ausgesondert wird.
Pflichtaufgabe 3 - Stochastik
Abb. 1: Baumdiagramm
Pflichtaufgabe 3 - Stochastik
Abb. 1: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
Gesucht ist mit den obigen Bezeichnungen die Wahrscheinlichkeit $P_A(L).$ Mit dem Baumdiagramm, den Pfadregeln und dem Satz von Bayes folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P_A(L)&=& \dfrac{P_L(A)\cdot P(L)}{P(A)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,98\cdot 0,1}{0,98\cdot 0,1+ 0,9\cdot 0,03} \\[5pt] &=& 0,784\\[5pt] &=& 78,4\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P_A(L) = 78,4\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $78,4\,\%$ besitzt eine Schale, die vom Prüfautomat ausgesondert wurde, Lufteinschlüsse.
#pfadregeln#satzvonbayes
d)
$\blacktriangleright$  Vertrauensintervall ermitteln
Das gesuchte Vertrauensintervall besitzt folgende Form:
$I=\left[ h- k\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}}; h + k\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}} \right]$ mit $h= \dfrac{X}{n}$
$ I= … $
In der Stichprobe mit $n=250$ Schalen wurden $X=10$ Schalen mit Lufteinschlüssen gefunden, also ist $h = \dfrac{10}{250} = 0,04.$ Die Vertrauenswahrscheinlichkeit soll $95\,\%$ betragen. Mit den $\sigma$-Regeln ergibt sich daraus $k= 1,96.$
$\begin{array}[t]{rll} I&=&\left[ h- c\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}}; h + c\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}} \right] \\[5pt] &=& \left[ 0,04- 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{0,04\cdot (1-0,04)}{250}}; 0,04 + 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{0,04\cdot (1-0,04)}{250}}\right] \\[5pt] &\approx& \left[0,0157;0,0643 \right] \\[5pt] \end{array}$
$ I\approx \left[0,0157;0,0643 \right] $
Zur Vertrauenswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ ergibt sich für den Anteil der Schalen mit Lufteinschlüssen bei der untersuchten Stichprobe das Vertrauensintervall $\left[0,0157;0,0643 \right].$
$\blacktriangleright$  Schlussfolgerung formulieren
Der ursprüngliche Anteil $p = 0,1$ der Schalen mit Lufteinschlüssen liegt deutlich oberhalb des Vertrauensintervalls. Es kann also bei einer Vertrauenwahrscheinlichkeit von $95\,\%$ auf Grundlage der vorliegenden Stichprobe davon ausgegangen werden, dass sich der Anteil der Schalen mit Lufteinschlüssen verringert hat.
Bildnachweise [nach oben]
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