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Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

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Von den in einer Glasmanufaktur hergestellten Schalen weisen erfahrungsgemäß $10\,\%$ Lufteinschlüsse auf.
a)
Die Zufallsgrößen $X_n$ beschreiben die Anzahl der Schalen mit Lufteinschlüssel in Stichproben von $n$ Schalen und werden als binomialverteilt mit dem jeweiligen Erwartungswert $\mu$ und der jeweiligeen Standardabweichung $\sigma$ angenommen.
Ermittle jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.
$A:$ Unter $100$ Schalen befinden sich genau sieben Schalen mit Lufteinschlüssen.
$B:$ Die Anzahl der Schalen mit Lufteinschlüssen weicht unter $100$ Schalen um höchstens fünf vom Erwartungswert ab.
Für das Ereignis $C$: „Von $500$ Schalen weisen mindestens $37$ und höchstens $63$ Schalen Lufteinschlüsse auf.“ ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit $P(C)\approx 0,96$ beträgt.
Zeige, dass für das Ereignis $C$ die Faustregel $P(\mu-2\sigma\leq X_{500}\leq \mu +2\sigma)\approx 0,96$ erfüllt ist.
Formuliere im Kontext der Aufgabenstellung ein Ereignis $D,$ für das die Wahrscheinlichkeit $P(D)$ wie folgt berechnet wird:
$P(D)= 0,9^{10}\cdot \binom{40}{10}\cdot 0,1^{10}\cdot 0,9^{30}$
#binomialverteilung
b)
Aus der Produktionscharge müssen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens $80$ Schalen ohne Lufteinschlüsse verfügbar sein.
Untersuche, ob eine Produktionscharge von $100$ Schalen diese Vorgabe erfüllt.
c)
Ein Prüfautomat prüft die hergestellten Schalen auf Lufteinschlüsse. Erfahrungsgemäß sondert er $98\,\%$ aller Schalen mit Lufteinschlüssen aus, aber auch $3\,\%$ der Schalen ohne Lufteinschlüsse.
Erstelle zu dem beschriebenen Sachzusammenhang ein beschriftetes Baumdiagramm.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schale, die ausgesondert worden ist, Lufteinschlüsse aufweist.
#baumdiagramm
Die Glasmanufaktur hat das Verfahren zur Herstellung von Schalen verändert und erhofft nun einen geringeren Anteil von Schalen mit Lufteinschlüssen.
Um einen Schätzwert für den unbekannten Anteil von Schalen mit Lufteinschlüssen zu bestimmen, wurde der Produktion eine Stichprobe von $250$ Schalen entnommen. In dieser Stichprobe wurden zehn Schalen mit Lufteinschlüssen festgestellt.
d)
Ermittle zur Vertrauenswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ ein Vertrauensintervall für den unbekannten Anteil von Schalen mit Lufteinschlüssen und formuliere eine Schlussfolgerung, ob die Glasmanufaktur von einem geringeren Anteil Schalen mit Lufteinschlüssen ausgehen kann.
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