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Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

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Testbogen
Antwort wahr falsch
Testaufgabe 1 1
2
Testaufgabe 2 1
2
Ein Unternehmen entwickelt für die Auswahl von Auszubildenden einen MC-Test (Multiple-Choice-Test). Zu jeder der Testaufgaben gibt es genau zwei Auswahlantworten, die jeweils entweder wahr oder falsch sind. Eine Testaufgabe gilt als richtig gelöst, wenn für jede Auswahlantwort das Zutreffende angekreuzt worden ist.
Es wird angenommen, dass ein Bewerber bei jeder Auswahlantwort rein zufällig ankreuzt. Die Zufallsgrößen $X_n$ beschreiben jeweils die Anzahl richtig gelöster Testaufgaben in diesem MC-Test mit $n$ Testaufgaben.
a)
Begründen Sie, dass die Zufallsgrößen $X_n$ als binomialverteilt angesehen werden können und die Erfolgswahrscheinlichkeit $p=\dfrac{1}{4}$ ist.
Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße $X_{120}$ sowie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass der Bewerber in einem solchen MC-Test mit 120 Testaufgaben genau 25 richtig löst.
Betrachtet werden die Ereignisse A und B:
A:$\quad$Der Bewerber löst in einem solchen MC-Test mit 120 Testaufgaben die ersten 10 Testaufgaben richtig.
B:$\quad$Der Bewerber löst in einem solchen MC-Test mit 120 nur die ersten 10 Testaufgaben richtig.
Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A größer als die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B sein muss.
b)
Ein solcher MC-Test gilt als bestanden, wenn mindestens 30 % der Testaufgaben richtig gelöst wurden.
Berechnen Sie unter Verwendung der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Bewerber einen solchen MC-Test mit 120 Testaufgaben besteht.
Bestimmen Sie unter Verwendung der Standardnormalverteilung den kleinstmöglichen Wert $h$ in der Ungleichung $P(X_{120}\geq 120\cdot h)\leq 0,01$ mit drei Stellen nach dem Komma.
Geben Sie an, welche Information $h$ bezogen auf diesen MC-Test liefert.
c)
Es wird vermutet, dass bei wenig Sachkenntnis die Testaufgaben mit größerer Wahrscheinlichkeit als beim rein zufälligen Ankreuzen gelöst werden können.
Zur Überprüfung dieser Vermutung bearbeitet eine Person mit wenig Sachkenntnis 100 Testaufgaben. Die Zufallsgrößen $Y$, die als binomialverteilt angenommen werden kann, zählt dabei die richtig gelösten Testaufgaben.
Ermitteln Sie für die Nullhypothese $H_0:p\leq0,25$ den größtmöglichen Ablehnungsbereich auf dem Signifikanzniveau $\alpha=5\%$ und formulieren Sie eine Entscheidungsregel.
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