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Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

Aufgaben
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Testbogen
Antwort wahr falsch
Testaufgabe 1 1
2
Testaufgabe 2 1
2
Ein Unternehmen entwickelt für die Auswahl von Auszubildenden einen MC-Test (Multiple-Choice-Test). Zu jeder der Testaufgaben gibt es genau zwei Auswahlantworten, die jeweils entweder wahr oder falsch sind. Eine Testaufgabe gilt als richtig gelöst, wenn für jede Auswahlantwort das Zutreffende angekreuzt worden ist.
Es wird angenommen, dass ein Bewerber bei jeder Auswahlantwort rein zufällig ankreuzt. Die Zufallsgrößen $X_n$ beschreiben jeweils die Anzahl richtig gelöster Testaufgaben in diesem MC-Test mit $n$ Testaufgaben.
a)
Begründen Sie, dass die Zufallsgrößen $X_n$ als binomialverteilt angesehen werden können und die Erfolgswahrscheinlichkeit $p=\dfrac{1}{4}$ ist.
Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße $X_{120}$ sowie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass der Bewerber in einem solchen MC-Test mit 120 Testaufgaben genau 25 richtig löst.
Betrachtet werden die Ereignisse A und B:
A:$\quad$Der Bewerber löst in einem solchen MC-Test mit 120 Testaufgaben die ersten 10 Testaufgaben richtig.
B:$\quad$Der Bewerber löst in einem solchen MC-Test mit 120 nur die ersten 10 Testaufgaben richtig.
Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A größer als die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B sein muss.
b)
Ein solcher MC-Test gilt als bestanden, wenn mindestens 30 % der Testaufgaben richtig gelöst wurden.
Berechnen Sie unter Verwendung der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Bewerber einen solchen MC-Test mit 120 Testaufgaben besteht.
Bestimmen Sie unter Verwendung der Standardnormalverteilung den kleinstmöglichen Wert $h$ in der Ungleichung $P(X_{120}\geq 120\cdot h)\leq 0,01$ mit drei Stellen nach dem Komma.
Geben Sie an, welche Information $h$ bezogen auf diesen MC-Test liefert.
c)
Es wird vermutet, dass bei wenig Sachkenntnis die Testaufgaben mit größerer Wahrscheinlichkeit als beim rein zufälligen Ankreuzen gelöst werden können.
Zur Überprüfung dieser Vermutung bearbeitet eine Person mit wenig Sachkenntnis 100 Testaufgaben. Die Zufallsgrößen $Y$, die als binomialverteilt angenommen werden kann, zählt dabei die richtig gelösten Testaufgaben.
Ermitteln Sie für die Nullhypothese $H_0:p\leq0,25$ den größtmöglichen Ablehnungsbereich auf dem Signifikanzniveau $\alpha=5\%$ und formulieren Sie eine Entscheidungsregel.
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Lösungen
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a) $\blacktriangleright$ Binomialverteilung begründen
Du hast folgende Situation gegeben: Ein Unternehmen erstellt für die Auswahl ihrer Azubis einen Multiple-Choice-Test mit mehreren Testaufgaben.
Zu jeder dieser Aufgaben gibt es zwei Antwortmöglichkeiten, die entweder richtig oder falsch sein können. Der Bewerber muss für beide Antworten entscheiden, ob sie richtig oder falsch sind, also zwei Kreuze pro Aufgabe auf dem Testbogen setzen.
Eine Testaufgabe gilt als richtig gelöst, wenn für jede der beiden Auswahlantworten das Zutreffende angekreuzt worden ist.
Die Zufallsgröße $X_n$ beschreibt die Anzahl der richtig gelösten Testaufgaben in diesem MC-Test mit $n$ Testaufgaben.
Für die Binomialverteilung sind die drei folgenden Eigenschaften maßgeblich:
  1. Es wird angenommen, dass ein Bewerber bei jeder Auswahlantwort rein zufällig sein Kreuzchen setzt. Also kannst du davon ausgehen, dass die Antworten unabhängig voneinander gegeben werden.
  2. Für das Zufallsexperiment gibt es nur zwei mögliche Ausgänge: Eine Testaufgabe ist richtig gelöst oder nicht.
  3. Die Trefferwahrscheinlichkeit für beide Ausgänge ist mit $\frac{1}{4}$ und $\frac{3}{4}$ stets gleichbleibend.
Die Zufallsgrößen $X_n$ (Anzahl der richtig gelösten Testaufgaben) können daher als binomialverteilt angesehen werden.
$\blacktriangleright$ Erfolgswahrscheinlichkeit begründen
Da sich der Azubi bei jeder Auswahlantwort zufällig zwischen richtig und falsch entscheidet und die Antworten unabhängig voneinander sind, handelt es sich hier um ein Laplace-Experiment. Für Laplace-Experimente berechnet sich die Wahrscheinlichkeit zu:
 
$\text{P} = \dfrac{1}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
 
Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Antwort das Zutreffende anzukreuzen, beträgt demnach: $\text{P}(\text{zutreffende Antwort})=\text{P}_\text{A}=\frac{1}{2}$.
Als richtig beantwortet gilt eine Frage nur dann, wenn für beide Antwortmöglichkeiten das zutreffende Feld angekreuzt ist.
Du sollst begründen, warum die Wahrscheinlichkeit eine Aufgabe, also zwei Antworten, richtig zu lösen $p=\frac{1}{4}$ beträgt.
Die Wahrscheinlichkeit $p$ dafür, in einer Testaufgabe die beiden Antworten 1 und 2 richtig zu lösen, berechnest du folgendermaßen:
$\begin{array}{rll} p&=&\text{P}_\text{1}\cdot\text{P}_\text{2}&\scriptsize\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}&\scriptsize\\[5pt] &=&\dfrac{1}{4}&\scriptsize\\ \end{array}$
Damit trifft die Behauptung aus dem Aufgabentext zu.
$\blacktriangleright$ Erwartungswert $\boldsymbol{\mu}$ berechnen
Du sollst den Erwartungswert der Zufallsgröße $X_{120}$ berechnen. Für den Erwartungswert gilt:
 
$\mu = n \cdot p$
 
Mit $n=120$ und $p= \dfrac{1}{4}$ folgt daraus:
$\mu=120 \cdot \dfrac{1}{4} = 30$
Der Erwartungswert beträgt $\mu=30$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Eine binomialverteilte Zufallsgröße kannst du mit der Bernoulli-Formel berechnen:
 
$\text{P}(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k \cdot q^{n-k}$
 
Parameter Erläuterung
$\boldsymbol{n}$ Anzahl der Versuche insgesamt
$\boldsymbol{k}$ Anzahl der Treffer
$\boldsymbol{p}$ Trefferwahrscheinlichkeit
$\boldsymbol{q}$ Gegenwahrscheinlichkeit $q = 1-p$
Du sollst die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnen, dass der Bewerber in einem MC-Test mit 120 Testaufgaben genau 25 richtig löst.
Dazu brauchst du die Parameter $n$, $k$, $p$ und $q$.
Die Anzahl der Versuche ist mit $n= 120$ gegeben, ebenso wie die Anzahl der Treffer $k = 25$. Die Trefferwahrscheinlichkeit entspricht der zuvor bestimmten Erfolgswahrscheinlichkeit $p= \frac{1}{4}$. Die Gegenwahrscheinlichkit ist demnach $q = 1-p = 1-\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Mit der Bernoulli-Formel kannst du nun die Wahrscheinlichkeit berechnen:
$\begin{array}{rll} \text{P}(X=25)&=&\binom{120}{25}\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{25}\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^{95}&\scriptsize\\[5pt] &=&0,0501…&\scriptsize \\[2pt] &=&5,0\,\%&\scriptsize \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $5,0 \,\%$ löst der Bewerber in einem solchen MC-Test mit 120 Testaufgaben genau 25 richtig.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit von Ereignissen begründen
In diesem Aufgabenteil hast du zwei Ereignisse $A$ und $B$ gegeben.
  • Ereignis $A$: Der Bewerber löst in einem solchen MC-Test mit 120 Testaufgaben die ersten 10 Testaufgaben richtig.
  • Ereignis $B$: Der Bewerber löst in einem solchen MC-Test mit 120 Testaufgaben nur die ersten 10 Testaufgaben richtig.
Du sollst, ohne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse zu berechnen, begründen, warum die Wahrscheinlichkeit von $A$ größer sein muss als von $B$.
Beide Ereignisse gehen von demselben Test mit genau 120 Testaufgaben aus. In beiden Ereignissen müssen die ersten 10 Testaufgaben richtig gelöst werden.
Für Ereignis $A$ müssen die ersten 10 Aufgaben richtig gelöst werden und die restlichen 110 Aufgaben können richtig oder falsch sein.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die letzten 110 Aufgaben richtig oder falsch sind beträgt $100 \, \%$, also ist $p = 1$.
Für Ereignis $B$ müssen allerdings die restlichen 110 Testaufgaben falsch gelöst werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist $p < 1$, genauer: $q^{110}110=(p-1)^{110}$.
Da die Wahrscheinlichkeit die restlichen 110 Aufgaben falsch zu lösen geringer ist, als die letzten 110 Aufgaben richtig oder falsch zu lösen, und diese Wahrscheinlichkeit mit der Wahrscheinlichkeit, die ersten 10 Testaufgaben richtig zu lösen, multipliziert wird, gilt:
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A$ ist größer als die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$.
b) $\blacktriangleright$ Berechnung der Wahrscheinlichkeit zum Bestehen eines solchen MC-Testes
Der Multiple-Choice-Test gilt als bestanden, wenn mindestens $30 \, \%$ der Testaufgaben richtig beantwortet wurden. Du sollst nun mit Hilfe der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Bewerber einen solchen MC-Test mit 120 Testaufgaben besteht.
Die Zufallsgrößen $X_n$ sind binomialverteilt. Diese Binomialverteilung kannst du für große Werte von $n$ durch die Standardnormalverteilung approximieren.
Unter der Voraussetzung $\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (p-1)} > 3$, gilt der Grenzwertsatz von DeMoivre-Laplace:
 
$P(X \leq k) \approx \Phi \left(z=\dfrac{k + 0,5 - \mu}{\sigma}\right)$
 
Um nun die Wahrscheinlichkeit zum Bestehen des Tests zu berechnen, gehst du folgendermaßen vor:
  • 1. Schritt: $k$ bestimmen.
  • 2. Schritt: Überprüfen, ob der Satz von DeMoivre-Laplace angewendet werden darf.
  • 3. Schritt: Mit Hilfe der Tabelle der Standardnormalverteilung $z$ bestimmen.
1. Schritt: $\boldsymbol{k}$ bestimmen
Es müssen mindestens $30\,\%$ der Testaufgaben richtig gelöst werden.
$k=0,3 \cdot 120 = 36$
$30\,\%$ der Testaufgaben sind 36 Aufgaben. Du sollst also die Wahrscheinlichkeit $\text{P}(X \geq 36)$ berechnen.
2. Schritt: Bedingung für Approximation prüfen
Für die Standardabweichung gilt:
 
$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$
 
In der Aufgabenstellung hast du $n=120$ und $p=\frac{1}{4}$ gegeben.
$\sigma = \sqrt{120 \cdot \frac{1}{4} \cdot (1- \frac{1}{4})} = 4,743$
Da $4,743 > 3$ ist, ist die Approximation der Binominialverteilung durch die Standardverteilung zulässig.
3. Schritt: $\boldsymbol{z}$ bestimmen
Nach dem Satz von DeMoivre-Laplace gilt $P(X \leq k) = \Phi (z)$. Du sollst allerdings die Wahrscheinlichkeit $\text{P}(X_{120} \geq 36)$ berechnen. Rechne hier also mit der Wahrscheinlichkeit der Gegenereignisses:
 
$\text{P}(X \geq a) = 1 - \text{P} (X \leq a-1)$
 
Damit folgt in diesem Fall:
$\text{P}(X \geq 36)=1 - \text{P} (X \leq 36-1)=\text{P} (X \leq 35)$
Also musst du $\Phi (z)$ für die Ungleichung $\text{P}(X \leq 35)$ bestimmen:
$\begin{array}{rll} \text{P}(X \leq 35)&=&\Phi \left(z=\dfrac{k + 0,5 - \mu}{\sigma}\right) & \scriptsize \\[5pt] &=&\Phi \left(z=\dfrac{35 + 0,5 - 30}{4,743}\right) & \scriptsize \\ &=&\Phi (z=1,16) &\scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Jetzt kannst du in der Tabelle der Standardnormalverteilung den Wert für $\Phi (z)$ ablesen, für den $z=1,16$ ist:
$\Phi (z=1,16) = 0,8770$
Jetzt kannst du die Wahrscheinlichkeit $\text{P}(X \geq 36)$ bestimmen:
$\begin{array}{rll} \text{P}(X \geq 36) &=& 1 - \text{P} (X \leq 35)&\scriptsize \\[2pt] &=&1 - \Phi (z=1,16) \\[2pt] &=&1 - 0,8770 \\[2pt] &=&0,123 \\[2pt] &=&12,3\;\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Bewerber einen solchen MC-Test mit 120 Testaufgaben besteht beträgt $p=12,3\;\%$.
$\blacktriangleright$ Kleinstmöglichen Wert $\boldsymbol{h}$ in der Ungleichung $\boldsymbol{P(X_{120}\geq 120 \cdot h)\leq 0,01}$ bestimmen
Du sollst nun mit Hilfe der Standardnormalverteilung den kleinstmöglichen Wert für $h$ in der Ungleichung
$$P(X_{120}\geq 120 \cdot h)\leq 0,01$$
bestimmen. Da sich die Parameter $n$ und $p$ nicht geändert haben, ist auch hier die Approximation durch die Standardnormalverteilung zulässig. Um $h$ zu ermitteln kannst du nun folgendermaßen vorgehen:
  • 1. Schritt: Mit Hilfe der Tabelle der Standardnormalverteilung $z$ bestimmen.
  • 2. Schritt: $h$ berechnen.
1. Schritt: $\boldsymbol{z}$ bestimmen
Nach dem Satz von DeMoivre-Laplace gilt $P(X \leq k) = \Phi (z)$. In der Aufgabenstellung ist eine etwas veränderte Ungleichung $P(X_{120}\geq h \cdot 120)\leq 0,01$ gegeben. Diese Gleichung kannst du wie folgt umstellen:
$\begin{array}{rll} P(X_{120}\geq h \cdot 120)\leq& 0,01&\scriptsize \\[2pt] 1 - P(X_{120}\leq (h \cdot 120) - 1)\leq&0,01&\scriptsize \mid\; -1\\[2pt] - P(X_{120}\leq (h \cdot 120) -1)\leq&-0,99&\scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[2pt] P(X_{120}\leq (h \cdot 120) -1)\geq&0,99&\scriptsize \mid\; P(X \leq k) = \Phi (z) \\[2pt] \Phi(z)\geq&0,99&\scriptsize \end{array}$
Jetzt kannst du in der Tabelle der Standardnormalverteilung den Wert für $z$ ablesen, für den die Wahrscheinlichkeit $P$ das erste Mal den Wert $0,99$ annimmt: $\boldsymbol{z \geq 2,33}$
2. Schritt: $\boldsymbol{h}$ berechnen
Nach DeMoivre-Laplace gilt:
 
$P(X \leq k) \approx \Phi \left(z=\dfrac{k + 0,5 - \mu}{\sigma}\right)$
 
Setze für $k$ den passenden Wert $(h \cdot 120) -1$ und die Werte $\mu$ bzw. $\sigma$ ein, um $h$ zu bestimmen:
$\begin{array}{rll} z=\dfrac{(h \cdot 120) - 1 + 0,5 - \mu}{\sigma} \geq &2,33&\scriptsize \\ \end{array}$
$\sigma = 4,743$, sowie den Erwartzbgswert $\mu = 30$ hast du bereits berechnet. Damit kannst du jetzt die Gleichung nach $h$ auflösen.
$\begin{array}{rll} \dfrac{(h \cdot 120) - 1 + 0,5 - \mu}{\sigma} \geq&2,33&\scriptsize \\[5pt] \dfrac{(h\cdot 120) - 1 + 0,5 - 30}{4,743} \geq&2,33&\scriptsize \mid\; \cdot 4,743 \\[5pt] (h \cdot 120) - 30,5\geq&11,051&\scriptsize \mid\; +30,5\\[2pt] h \cdot 120 \geq&41,55&\scriptsize \mid\; \cdot \frac{1}{120}\\[2pt] h \geq&0,346 \end{array}$
Der kleinstmögliche Wert für $h$ in der Ungleichung $P(X_{120}\geq h\cdot 120)\leq 0,01$ ist 0,346.
$\blacktriangleright$ Information von $\boldsymbol{h}$ bezogen auf diesen MC-Test angeben
Abschließend sollst du nun angeben, welche Informationen der Wert $\boldsymbol{h}$ bezogen auf diesen Multiple-Choice-Test liefert.
$h$ gibt den Anteil der Testaufgaben an, die mindestens richtig gelöst werden müssen, um den MC-Test zu bestehen.
$h \cdot 120 = 0,346 \cdot 120 \approx 42$
Das heißt, in diesem Fall müssen mindestens $35\;\%$, also mindestens 42 Testaufgaben, richtig gelöst werden, um den MC-Test mit einer Wahrscheinlichkeit unter $1 \%$ zu bestehen.
Dies bedeutet, der Test ist so konzipiert, dass die Wahrscheinlichkeit, bei totaler Unwissenheit den Test zu bestehen, weniger als $1 \%$ beträgt.
c) $\blacktriangleright$ Ermittle den größtmöglichen Ablehnungsbereich
Eine Person bearbeitet mit wenig Sachkenntnis 100 Testaufgaben.
Die Vermutung ist, dass die Wahrscheinlichkeit von richtige Antworten bei wenig Sachkenntnis gegenüber rein zufälligen Ankreuzen steigt.
Die Zufallsgröße Y, die als binomialverteilt angenommen werden kann, zählt die richtig gelösten Testaufgaben.
Die Nullhypothese $H_0 : p \leq 0,25$ wird nur bei großen Werten der Zufallsgröße nicht erfüllt. Für den Ablehnungsbereich gilt demnach:
$\overline{A}=\{k;k+1;…100\}$
Der Ablehnungsbereich soll auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 5 \%$ berechnet werden.
Also soll die Wahrscheinlichkeit für mehr als $k$ richtig gelöste Aufgaben weniger als $5\%$ betragen:
$\begin{array}{rll} P(Y\geq k) \leq & 0,05&\scriptsize \\[2pt] 1 - P(Y\leq k-1) \leq & 0,05&\scriptsize \mid\; -1\\[2pt] - P(Y\leq k-1) \leq &-0,95&\scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[2pt] P(Y \leq k-1) \geq & 0,95 \end{array}$
Den Parameter $k$ kannst du nun auf zwei verschiedene Arten bestimmen:
Du kannst $k$ mit Hilfe einer Tabelle zur kumulierten Binominialverteilung bestimmen oder alternativ die Binomialverteilung durch eine Standardnormalverteilung approximieren.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung
Betrachte eine Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung mit $n=100$ und $p= 0,25$ und suche den Wert für $k$, für den diese Ungleichung gerade noch erfüllt ist. Dort findest du:
$P(Y \leq 32) \geq 0,9554$.
Demnach ist:
$\begin{array}{rll} k - 1 &=& 32&\scriptsize \mid \; + 1 \\[2pt] k &=& 33 & \scriptsize \\ \end{array}$
Der größtmögliche Ablehnungsbereich ist $\overline{A}=\{33;34;…100\}$
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Approximierte Standardnormalverteilung
Die Voraussetzung zum Approximieren einer Binomialverteilung durch eine Standardnormalverteilung ist
$\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (p-1)} > 3$.
In der Aufgabenstellung hast du $n=100$ und $p=0,25$ gegeben.
$\begin{array}{rll} \sigma &=& \sqrt{100 \cdot 0,25 \cdot (1- 0,25)}&\scriptsize \\[2pt] &=&4,330 &\scriptsize\\ \end{array}$
Da $4,330 > 3$ ist, ist die Approximation der Binominialverteilung durch die Standardverteilung zulässig.
Nach dem Satz von DeMoivre-Laplace gilt $P(X \leq k) = \Phi (z)$.
Mit Hilfe der Tabelle der Standardnormalverteilung kannst du $z$ bestimmen:
$\Phi (z) \geq 0,95$ für $z \geq 1,65$
Wir betrachten also:
$\begin{array}{rll} z=\dfrac{k - 1 + 0,5 - \mu}{\sigma} \geq &1,65&\scriptsize \\ \end{array}$
$\sigma = 4,33$ hast du bereits berechnet. Den Erwartungswert erhältst du über folgende Rechnung:
$\begin{array}{rll} \mu=100 \cdot 0,25 \,=\, 25&\scriptsize \\ \end{array}$
Damit kannst du jetzt die erste Gleichung nach $k$ auflösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{k - 1 + 0,5 - \mu}{\sigma} \geq&1,65&\scriptsize \\[5pt] \dfrac{k - 1 + 0,5 - 25}{4,33} \geq&1,65&\scriptsize \mid\; \cdot 4,33 \\[5pt] k - 25,5\geq&7,1445&\scriptsize \mid\; +25,5\\[2pt] k\geq&32,6445&\scriptsize \\[5pt] k \geq &33 \end{array}$
Der größtmögliche Ablehnungsbereich auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 5\%$ ist $\overline{A}=\{33;34;…100\}$
$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel formulieren
Wenn eine Person mit wenig Sachkenntnis mehr als 33 Testaufgaben richtig löst, so wird die Nullhypothese verworfen.
Wenn diese verworfen wird, wird davon ausgegangen, dass eine Person mit wenig Sachkenntnis mit einer Wahrscheinlichkeit, die größer als $0,25\;\%$ ist, mehr als 33 Testaufgaben richtig löst.
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