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Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

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Lösungen PLUS
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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0\mid 0\mid 1)$, $B(2\mid 6\mid 1)$, $C(-4\mid 8\mid 5)$ und $D(-6\mid 2\mid 5)$ gegeben. Der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks wird mit $M$ bezeichnet.
#zentraleraufgabenpool
a)
Begründe, dass die Gerade $AB$ parallel zur $xy$-Ebene verläuft.
Weise nach, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist und gib die Koordinaten von $M$ an.
#rechteck
b)
Das Rechteck $ABCD$ liegt in einer Ebene $E$.
Ermittle eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
[zur Kontrolle: $3x-y+5z-5=0$]
#koordinatenform
c)
Im Sinne eines möglichst großen Energieertrags sollte der Neigungswinkel $\phi$ der Modulfläche gegenüber der Horizontalen zwischen $30^{\circ}$ und $36^{\circ}$ liegen. Prüfe, ob diese Bedingung erfüllt ist.
#neigungswinkel
d)
Zum betrachteten Zeitpunkt fällt das Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, senkrecht auf die Fläche der Solarmodule. Diese Fläche erzeugt auf dem horizontalen Untergrund einen rechteckigen Schatten.
Begründe unter Verwendung einer geeigneten beschrifteten Skizze, dass der Flächeninhalt des Schattens mithilfe des Terms $\left| \overrightarrow{AB}\right|\cdot \dfrac{\left| \overrightarrow{AD}\right|}{\cos \phi} \cdot (0,8\,\text{m})^2$ berechnet werden kann.
Um die Solarmodule während eines Tages ständig möglichst gut nach der Sonneneinstrahlung ausrichten zu können, lässt sich das Metallrohr mit dem Trägergestell um die Längsachse des Rohrs drehen. Die Neigung des Trägergestells bleibt dabei unverändert.
e)
Betrachtet wird der untere linke Eckpunkt der Modulfläche, der im Modell durch den Punkt $A$ dargestellt wird. Berechne den Radius des Kreises, auf dem sich dieser Eckpunkt bei der Drehung des Metallrohrs bewegt.
f)
Begründe ohne zu rechnen, dass der in Teilaufgabe e) ermittelte Radius entsprechend auch für den unteren rechten Eckpunkt der Modulfläche gilt.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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