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Wahlpflichtaufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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Eine Nachricht breitet sich unter einer Anzahl von Personen so aus, dass die Anzahl derer, die diese Nachricht zur Zeit $t$ ($t$ in Stunden) kennen, durch die Funktion $n$ mit
$n(t)=\dfrac{5,05}{0,01+\mathrm{e}^{-2,02t}}$, $t\geq 0$,
beschrieben werden kann.
a)
Berechnen Sie den Funktionswert $n(0)$ und untersuchen Sie das Verhalten der Funktion $n$ für $t\rightarrow\infty$.
Geben Sie an, welche Informationen diese Ergebnisse in Bezug auf den Sachverhalt enthalten.
b)
Die Funktion $n$ besitzt eine Umkehrfunktion.
Weisen Sie nach, dass $t(n)=-\dfrac{50}{101}\cdot \mathrm {ln}\left(\dfrac{5,05}{n}-0,01\right)$ eine Gleichung der Umkehrfunktion von $n$ ist.
Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Umkehrfunktion an.
c)
Die Funktion $n$ ist streng monoton wachsend und der Graph von $n$ besitzt genau einen Wendepunkt.
Berechnen Sie die Abszisse dieses Wendepunktes unter Verwendung von
$n''(t)=0,008\cdot n'(t)\cdot (252,5-n(t))$, $t>0$.
Geben Sie jeweils die Information in Bezug auf den Sachverhalt an, die die erste Ableitung der Funktion $n$ nach der Zeit, die zweite Ableitung der Funktion $n$ nach der Zeit und die Abszisse des Wendepunktes enthält.
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a)
$\blacktriangleright$ Berechne $\boldsymbol{n(0)}$
Um den Funktionswert $n(0)$ zu berechnen, setzt du in den Funktionsterm der Funktion $n$ den Wert $t=0$ ein und berechnest:
$\begin{array}{rcl} n(t)&=&\dfrac{5,05}{0,01+\mathrm e^{-2,02t}}&\scriptsize t\geq0\\[5pt] n(0)&=&\dfrac{5,05}{0,01+\mathrm e^{-2,02\cdot0}}\\[5pt] n(0)&=&5 \end{array}$
Der Funktionswert $n(0)$ beträgt $5$.
$\blacktriangleright$ Bestimme das Verhalten der Funktion $\boldsymbol n$ für $\boldsymbol{t\rightarrow\boldsymbol{\infty}}$
Um das Verhalten der Funktion $n$ für $t\rightarrow\infty$ zu bestimmen, schaust du dir den Term mit der $\mathrm e$-Funktion genauer an. Eine Funktion der Form $\mathrm e^{-x}$ kann man umschreiben in $\frac{1}{\mathrm e^x}$. Lässt man die Variable $x$ gegen Unendlich streben, wird der Nenner immer größer. Somit geht die $\mathrm e$-Funktion für $x\rightarrow\infty$ gegen Null. Dieses Wissen kannst du auf die Funktion $n$ übertragen.
In diesem Fall gilt also für $t\rightarrow\infty$ für die $\mathrm e$-Funktion:
$\lim\limits_{t\to\infty}\mathrm e^{-2,02t}=0$
Für die Funktion $n$ gilt demnach folgender Grenzwert für $t\rightarrow\infty$:
$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{t\to\infty}n(t)&=&\dfrac{5,05}{0,01+\mathrm e^{-2,02t}}\\[5pt] &=&\dfrac{5,05}{0,01+0}\\[5pt] &=&505 \end{array}$
Die Funktion $n$ konvergiert für $t\rightarrow\infty$ gegen einen Grenzwert von $505$.
$\blacktriangleright$ Beschreibe die Ergebnisse im Zusammenhang
Die Funktion $n$ beschreibt die Anzahl der Personen, die die Nachricht in Abhängigkeit der Zeit kennen. Die Variable $t$ steht für die Zeit in Stunden. Überlege dir, für was die Zeitpunkte $t=0$ und $t\rightarrow\infty$ stehen.
Der Funktionswert $n(0)$ gibt die Anzahl der Personen an, die die Nachricht zu Beginn $(t=0)$ kennen. Der Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ gibt langfristig den Näherungswert der Anzahl der Personen an, die die Nachricht kennen werden.
Dies bedeutet, dass $5$ Personen die Nachricht von Beginn an, also zum Zeitpunkt $t=0$ kennen. Außerdem werden maximal $505$ Personen die Nachricht erhalten.
b)
$\blacktriangleright$ Weise die Umkehrfunktion $\boldsymbol{t(n)}$ nach
Bei dieser Teilaufgabe sollst du nachweisen, dass folgende Funktion $t$ eine Umkehrfunktion von der Funktion $n$ ist.
$\begin{array}{rcl} t(n)&=&\frac{50}{101}\cdot\ln\left(\frac{5,05}{n(t)}-0,01\right)\\[5pt] \end{array}$
Um eine Umkehrfunktion zu bilden, löst du die Funktion nach der Variablen $t$ auf.
$\begin{array}{rcll} n(t)&=&\dfrac{5,05}{0,01+\mathrm e^{-2,02t}}&\scriptsize \mid\; \cdot(0,01+\mathrm e^{-2,02t})\\[5pt] n(t)\cdot(0,01+\mathrm e^{-2,02t})&=&5,05&\scriptsize \mid\; :n(t)\\[5pt] 0,01+\mathrm e^{-2,02t}&=&\dfrac{5,05}{n(t)}&\scriptsize \mid\; -0,01\\[5pt] \mathrm e^{-2,02t}&=&\dfrac{5,05}{n(t)}-0,01&\scriptsize \mid\; \ln(…)\\[5pt] -2,02t&=&\ln\left(\dfrac{5,05}{n(t)}-0,01\right)&\scriptsize \mid\; :(-2,02)\\[5pt] t&=&\dfrac{\ln\left(\dfrac{5,05}{n(t)}-0,01\right)}{-2,02}\\[5pt] t&=&\dfrac{\ln\left(\dfrac{5,05}{n(t)}-0,01\right)}{-\frac{202}{100}}\\[5pt] t&=&-\dfrac{100}{202}\cdot\ln\left(\dfrac{5,05}{n(t)}-0,01\right)\\[5pt] t&=&-\dfrac{50}{101}\cdot\ln\left(\dfrac{5,05}{n(t)}-0,01\right) \end{array}$
Die Funktion $t$ ist eine Umkehrfunktion von der Funktion $n$.
$\blacktriangleright$ Gib den größtmöglichen Definitionsbereich der Umkehrfunktion $\boldsymbol t$ an
Um den größtmöglichen Definitionsbereich zu bestimmen, überlegst du dir zunächst, welche Werte der Bruch und das Argument des Logarithmus annehmen darf. Anschließend kannst du dir überlegen, für was die Variable $n$ steht.
Da man nie durch null teilen darf, muss $n \neq 0$ gelten. Weiterhin weiß du, dass der Logarithmus nur für positive Werte definiert ist. Wir überprüfen also, für welche Werte das Argument echt größer Null ist. Es gilt:
$\begin{array}{rcll} \dfrac{5,05}{n}-0,01&>&0&\scriptsize \mid\; +0,01\\[5pt] \dfrac{5,05}{n}&>&0,01&\scriptsize \mid\; \cdot n\\[5pt] 5,05&>&0,01\cdot n&\scriptsize \mid\; :0,01\\[5pt] \dfrac{5,05}{0,01}&>&n\\[5pt] n&>&505 \end{array}$
Das bedeutet, dass das für n < 505 gilt.
Setzt du außerdem Werte $n < 0$ ein, so wird das Argument im Logarithmus negativ und ist somit nicht definiert.
Überlege dir nun für was die Variable $n$ steht. Das $n$ gibt die Anzahl der Personen an, die die Nachricht kennen. Aus der Teilaufgabe a) weißt du, dass zu Beginn $5$ Personen die Nachricht kennen. Dies heißt, dass die Variable $n$ keine Werten kleiner als $5$ annehmen kann. Außerdem weißt du, dass die gesamte Anzahl sich mit der Zeit einer Anzahl an $505$ Personen annähert. Diese obere Grenze hast du bereits rechnerisch ermittelt.
Die Umkehrfunktion $t$ hat also insgesamt folgenden Definitionsbereich:
$D_t=\{ n\in\mathbb{R} \mid\; 0 < n < 505\}$
c)
$\blacktriangleright$ Berechne die Abszisse des Wendepunktes
Die Abszisse eines Wendepunktes entspricht hier der $t$-Koordinate eines Wendepunktes. Um diese zu berechnen, benötigst du die Wendestelle der Funktion $n$.
Für eine Wendestelle $t_W$ einer Funktion $n$ gilt:
  • notwendige Bedingung: $\boldsymbol {n''(t_W)=0}$
  • hinreichende Bedingung: $\boldsymbol {n'''(t_W)\neq 0}$
Du hast für die zweite Ableitung $n''$ folgende Funktionsgleichung gegeben:
$\begin{array}{rcl} n''(t)&=&0, 008\cdot n'(t)\cdot(252,5-n(t))&\scriptsize t>0\\[5pt] \end{array}$
Gehe nun folgendermaßen vor:
  • Bilde die erste Ableitung $n'$
  • Setze die Funktion $n$ und die erste Ableitung $n'$ in die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung $n''$ ein
  • Prüfe, für welche Werte für $t$ die notwendige Bedingung $n''(t_W)=0$ erfüllt ist. Ist auch die hinreichende Bedingung für diese potentielle Wendestelle $t_W$ erfüllt?
1. Schritt: Bilde die erste Ableitung $\boldsymbol{n'}$
Schreibe dazu die Funktion $n$ als Produkt um.
$\begin{array}{rcl} n(t)&=&\dfrac{5,05}{0,01+\mathrm e^{-2,02t}}&\scriptsize t\geq0\\[5pt] n(t)&=&5,05\cdot\left(0,01+\mathrm e^{-2,02t}\right)^{-1}\\[5pt] \end{array}$
Beachte beim Ableiten die Kettenregel.
$\begin{array}{rcl} n(t)&=&5,05\cdot(0,01+\mathrm e^{-2,02t})^{-1}\\[5pt] n'(t)&=&5,05\cdot(-1)\cdot\left(0,01+\mathrm e^{-2,02t}\right)^{-2}\cdot(-2,02)\cdot \mathrm e^{-2,02t}\\[5pt] n'(t)&=&10,201\cdot\left(0,01+\mathrm e^{-2,02t}\right)^{-2}\cdot \mathrm e^{-2,02t}\\[5pt] n'(t)&=&\dfrac{10,201\cdot \mathrm e^{-2,02t}}{\left(0,01+\mathrm e^{-2,02t}\right)^{2}} \end{array}$
2. Schritt: Einsetzen in $\boldsymbol{n''}$
Setze nun den Term der Funktion $n$ und den Term der Ableitung $n'$ in den gegebenen Term der zweiten Ableitung $n''$ ein.
$\begin{array}{rcl} n''(t)&=&0,008\cdot n'(t)\cdot(252,5-n(t))&\scriptsize t>0\\[5pt] n''(t)&=&0,008\cdot\dfrac{10,201\cdot\mathrm e^{-2,02t}}{\left(0,01+\mathrm e^{-2,02t}\right)^{2}}\cdot\left(252,5-\dfrac{5,05}{0,01+\mathrm e^{-2,02t}}\right) \end{array}$
3. Schritt: Prüfe, für welche Werte von $\boldsymbol t$ die notwendige Bedingung $\boldsymbol{n''(t)=0}$ gilt
Löse dazu die Gleichung $n''(t)=0$ nach $t$ auf. Prüfe bei jedem Schritt, ob du die Gleichung vereinfachen kannst. Das erleichtert dir das Rechnen.
$\begin{array}{rcl} n''(t)&=&0\\[5pt] 0,008\cdot\dfrac{10,201\cdot\mathrm e^{-2,02t}}{\left(0,01+\mathrm e^{-2,02t}\right)^{2}}\cdot\left(252,5-\dfrac{5,05}{0,01+\mathrm e^{-2,02t}}\right)&=&0\\[5pt] \dfrac{0,008\cdot10,201\cdot252,5\cdot\mathrm e^{-2,02t}}{\left(0,01+\mathrm e^{-2,02t}\right)^2}-\dfrac{0,008\cdot5,05\cdot10,201\cdot\mathrm e^{-2,02t}}{\left(0,01+\mathrm e^{-2,02t}\right)^3}&=&0 \end{array}$
Bringe nun den negativen Term auf die rechte Seite der Gleichung und löse weiter nach $t$ auf.
$\begin{array}{rcl} \dfrac{0,008\cdot10,201\cdot252,5\cdot\mathrm e^{-2,02t}}{\left(0,01+\mathrm e^{-2,02t}\right)^2}&=&\dfrac{0,008\cdot5,05\cdot10,201\cdot\mathrm e^{-2,02t}}{\left(0,01+\mathrm e^{-2,02t}\right)^3}&\scriptsize \mid\; :0,008\mid\; :10,201\\[5pt] \dfrac{252,5\cdot\mathrm e^{-2,02t}}{\left(0,01+\mathrm e^{-2,02t}\right)^2}&=&\dfrac{5,05\cdot\mathrm e^{-2,02t}}{\left(0,01+\mathrm e^{-2,02t}\right)^3}&\scriptsize \mid\; \cdot\left(0,01+\mathrm e^{-2,02t}\right)^3\\[5pt] 252,5\cdot\mathrm e^{-2,02t}\cdot\left(0,01+\mathrm e^{-2,02t}\right)&=&5,05\cdot\mathrm e^{-2,02t}\\[5pt] 2,525\cdot\mathrm e^{-2,02t}+252,5\cdot\left(\mathrm e^{-2,02t}\right)^2&=&5,05\cdot \mathrm e^{-2,02t}&\scriptsize \mid\; -5,05\cdot\mathrm e^{-2,02t}\\[5pt] -2,525\cdot\mathrm e^{-2,02t}+252,5\cdot\left(\mathrm e^{-2,02t}\right)^2&=&0\\[5pt] (-2,525+252,5\cdot\mathrm e^{-2,02t})\cdot\mathrm e^{-2,02t}&=&0 \end{array}$
Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist. Das bedeutet, dass nun der Term in der Klammer Null ergeben muss, oder der Term hinter der Klammer.
Da die $\mathrm{e}$-Funktion für keinen Wert kleiner gleich Null werden kann, genügt es, im Folgenden den Term in der Klammer zu betrachten. Dieser wird gleich Null, wenn:
$\begin{array}{rcl} -2,525+252,5\cdot\mathrm e^{-2,02t}&=&0&\scriptsize \mid\; +2,525\\[5pt] 252,5\cdot\mathrm e^{-2,02t}&=&2,525&\scriptsize \mid\; :252,5\\[5pt] \mathrm e^{-2,02t}&=&0,01&\scriptsize \mid\; \ln(…)\\[5pt] -2,02t&=&\ln(0,01)&\scriptsize \mid\; :(-2,02)\\[5pt] t_1&=&\dfrac{\ln(0,01)}{-2,02}\\[5pt] t_1&=&2,28 \end{array}$
Die Funktion $n$ hat möglicherweise eine Wendestelle bei $t_W=\frac{\ln(0,01)}{-2,02}\approx2,28$.
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Funktion $n$ genau eine Wendestelle hat. Daher musst du die hinreichende Bedingungen $n'''(t)\neq0$ für eine Wendestelle nicht zusätzlich prüfen.
Die Funktion von $n$ hat demnach nur eine Wendestelle bei $t_W=\frac{\ln(0,01)}{-2,02}\approx 2,28$.
Dieser Wert entspricht der Abszisse des Wendepunktes.
$\blacktriangleright$ Gib den Bezug auf den Sachverhalt an
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Bedeutung der ersten Ableitung und der zweiten Ableitung der Funktion im Bezug auf den Sachverhalt angeben. Außerdem sollst du die Bedeutung der Abszisse des Wendepunktes des Graphen darstellen. Gehe dazu folgendermaßen vor:
  • Überlege dir zunächst die allgemeine Bedeutung
  • Übertrage diese dann auf den Sachverhalt
$\blacktriangleright$ Erste Ableitung:
Allgemeine Bedeutung: Die erste Ableitung gibt die Steigung bzw. die Änderungsrate einer Funktion für jede Stelle an.
Bedeutung im Bezug auf den Sachverhalt: Mit der ersten Ableitung erkennst du zu jedem Zeitpunkt, wie sich die absolute Anzahl der Personen ändert, die die Nachricht kennen.
$\blacktriangleright$ Zweite Ableitung:
Allgemeine Bedeutung: Die zweite Ableitung gibt die Änderung der Steigung der Funktion an, also die Änderungsrate der Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Bedeutung im Bezug auf den Sachverhalt: Hiermit erkennt man demnach, wie sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit ändert.
$\blacktriangleright$ Abszisse des Wendepunktes:
Allgemeine Bedeutung: Diese gibt an, wann die Änderungsrate der Funktion maximal wird.
Bedeutung im Bezug auf den Sachverhalt: Die Abszisse des Wendepunktes des Graphen von $n$ gibt an, wann sich die Nachricht am schnellsten verbreitet. Dies ist nach ca $2,28$ Stunden der Fall.
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