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Pflichtaufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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1.1
Für jedes $k\in \mathbb{R},$ $k> 0,$ ist eine Funktion $f_k$ durch $f_k(x)=k^2x^3 -6kx^2 +9x$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.
#zentraleraufgabenpool
$\,$
a)
Berechne die Nullstellen von $f_k.$
Begründe, dass $G_k$ weder zum Koordinatenursprung noch zur $y$-Achse symmetrisch ist.
#nullstelle
$\,$
b)
Weise nach, dass $f_k'(x)= 3\cdot \left(kx-1\right)\cdot \left( kx-3\right)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f_k$ ist.
Berechne denjenigen Wert von $k,$ für den sich die $x$-Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_k$ um $6$ unterscheiden.
Für jeden Wert von $k$ wird die Tangente an $G_k$ im Wendepunkt $\left( \frac{2}{k}\mid \frac{2}{k}\right)$ betrachtet.
Zeige, dass die Tangenten für unterschiedliche Werte von $k$ parallel zueinander sind.
#tangente#wendepunkt#ableitung
$\,$
c)
1.2
Betrachtet wird eine große rotationssymmetrische Schale, die aus einem Steinblock gefertigt wurde. Ein Kubikmeter des Steins hat eine Masse von $2.700 \,\text{kg}.$
$\,$
a)
Interpretiere den Term $p(6)-q(6)$ im Sachzusammenhang und gib den Wert dieses Terms an.
$\,$
b)
In die aufrechtstehende Schale wird mit konstanter Zuflussrate Wasser gefüllt.
Entscheide, welcher der abgebildeten Graphen $\text{I},$ $\text{II}$ und $\text{III}$ die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Begründe deine Entscheidung.
$\,$
c)
Interpretiere im Sachzusammenhang die Funktion $s$ mit $s(x)= \pi \cdot \displaystyle\int_{2}^{2+x}\left( q(t)\right)^2\;\mathrm dt$ und gib den größten Definitionsbereich von $s$ an, der im Sachzusammenhang sinnvoll ist.
Berechne die Masse der Schale.
#definitionsbereich
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1
a)
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_k(x)&=&0 \\[5pt] k^2x^3-6kx^2+9x&=& 0 \\[5pt] x\cdot \left(k^2x^2-6kx+9 \right)&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; x_1 =0 \\[5pt] k^2x^2-6kx+9 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :k^2\neq 0\\[5pt] x^2-\frac{6}{k}x+\frac{9}{k^2}&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_k(x)&=&0 \\[5pt] x_1 &=&0 \\[5pt] … \\[5pt] x^2-\frac{6}{k}x+\frac{9}{k^2}&=&0 \end{array}$
Mit der $pq$-Formel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_{2/3}&=& - \dfrac{-\frac{6}{k}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-\frac{6}{k}}{2}\right)^2- \frac{9}{k^2}} \\[5pt] &=& \frac{3}{k}\pm \sqrt{\left(\frac{3}{k}\right)^2- \frac{9}{k^2}} \\[5pt] &=& \frac{3}{k}\pm \sqrt{\frac{9}{k^2}- \frac{9}{k^2}} \\[5pt] &=&\frac{3}{k} \\[5pt] \end{array}$
$ x_{2/3} = \frac{3}{k} $
Die Funktionen $f_k$ besitzen die beiden Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=\frac{3}{k}.$
$\blacktriangleright$  Symmetrie widerlegen
Der Graph einer Funktion $f$ ist symmetrisch zum Koordinatenursprung, genau dann wenn $f(-x)= -f(x)$ gilt, bzw symmetrisch zur $y$-Achse, genau dann wenn $f(-x)=f(x)$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} f_k(-x)&=& k^2(-x)^3-6k\cdot (-x)^2 +9 \cdot(-x) \\[5pt] &=& -k^2x^3-6k\cdot x^2 -9x \\[10pt] -f_k(x)&=& -\left(k^2x^3-6k\cdot x^2 +9x\right) \\[5pt] &=& -k^2x^3+6k\cdot x^2 -9x \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &f_k(-x)\\[5pt] =& -k^2x^3-6k\cdot x^2 -9x \\[10pt] &-f_k(x)\\[5pt] =& -k^2x^3+6k\cdot x^2 -9x \\[5pt] \end{array}$
Es ist aber $f_k(-x)\neq -f_k(x),$ weshalb $G_k$ nicht symmetrisch zum Koordinatenursprung sein kann, und $f_k(-x)\neq f_k(x)$, weshalb $G_k$ auch nicht symmetrisch zur $y$-Achse sein kann.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Ableitungsfunktion nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} f_k(x)&=&k^2x^3-6kx^2+9x \\[10pt] f_k'(x)&=& 3\cdot k^2x^2-2\cdot 6kx+9 \\[5pt] &=& 3\cdot \left(k^2x^2-4kx+3\right)\\[5pt] &=& 3\cdot \left(k^2x^2-4kx+3\right) \\[5pt] &=& 3\cdot \left(kx-1 \right)\cdot \left(kx-3\right) \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &f_k(x)\\[5pt] =&k^2x^3-6kx^2+9x \\[10pt] &f_k'(x)\\[5pt] =&… \\[5pt] =& 3\cdot k^2x^2-2\cdot 6kx+9 \\[5pt] =& 3\cdot \left(kx-1 \right)\cdot \left(kx-3\right) \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{k}$ berechnen
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen $f'(x_E)=0$ ergeben sich mögliche Extremstellen von $f_k:$
$\begin{array}[t]{rll} f_k'(x)&=& 0 \\[5pt] 3\cdot (kx-1)\cdot (kx-3)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] (kx-1)\cdot (kx-3)&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_k'(x)&=& 0 \\[5pt] … \\[5pt] (kx-1)\cdot (kx-3)&=& 0 \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt, ist das Produkt Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Für die beiden Faktoren gilt:
$\begin{array}[t]{rll} kx-1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] kx&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; :k\neq 0 \\[5pt] x_1&=& \frac{1}{k} \\[10pt] kx-3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] kx&=&3 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] x_2&=& \frac{3}{k} \end{array}$
Der Graph von $f_k$ besitzt mögliche Extrempunkte bei $x_1 = \frac{1}{k}$ und $x_2 = \frac{3}{k}.$ Mit dem hinreichenden Kriterium für Extremstellen $f''(x_E)\neq 0$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f_k''(x)&=& 6\cdot k^2x -12k \\[10pt] f_k''\left(\frac{1}{k}\right) &=& 6\cdot k^2\cdot\frac{1}{k} -12k \\[5pt] &=&-6k \neq 0 \\[10pt] f_k''\left(\frac{3}{k}\right)&=&6\cdot k^2\cdot\frac{3}{k} -12k \\[5pt] &=&6k \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &f_k''(x)\\[5pt] =& 6\cdot k^2x -12k \\[15pt] &f_k''\left(\frac{1}{k}\right) \\[5pt] =& 6\cdot k^2\cdot\frac{1}{k} -12k \\[5pt] =&-6k \neq 0 \\[15pt] &f_k''\left(\frac{3}{k}\right)\\[5pt] =&6\cdot k^2\cdot\frac{3}{k} -12k \\[5pt] =&6k \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
Da laut Aufgabenstellung $k > 0$ vorgegeben ist, ist das hinreichende Kriterium für beide Stellen $x_1$ und $x_2$ erfüllt. Die Graphen von $f_k$ besitzen also an den Stellen $x_1 = \frac{1}{k}$ und $x_2= \frac{3}{k}$ Extrempunkte.
Gesucht ist das $k$ mit $x_2- x_1 = 6:$
$\begin{array}[t]{rll} x_2-x_1&=& 6 \\[5pt] \frac{3}{k}- \frac{1}{k}&=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot k \\[5pt] 3- 1&=& 6k \\[5pt] 2&=& 6k &\quad \scriptsize \mid\;: 6 \\[5pt] \frac{1}{3}&=& k \end{array}$
Für $k = \frac{1}{3}$ unterscheiden sich die $x$-Koordinaten der beiden Extrempunkte um $6$.
$\blacktriangleright$  Parallelität zeigen
Die Tangenten an $G_k$ im Wendepunkt sind für unterschiedliche Werte von $k$ parallel, wenn sie unabhängig von $k$ die selbe Steigung besitzen. Diese Steigung wird durch den Funktionswert der ersten Ableitung $f_k'$ an der Wendestelle $x_W= \frac{2}{k}$ beschrieben.
$\begin{array}[t]{rll} f_k'\left(x_W\right)&=& f_k'\left(\frac{2}{k}\right) \\[5pt] &=& 3\cdot \left(k\cdot \frac{2}{k}-1 \right)\cdot \left(k\cdot\frac{2}{k}-3 \right) \\[5pt] &=& 3\cdot 1\cdot (-1) \\[5pt] &=& -3 \end{array}$
$ f_k'\left(x_W\right)=-3 $
Die Steigung der Tangenten an $G_k$ im Wendepunkt $\left(\frac{2}{k}\mid \frac{2}{k}\right)$ besitzt für alle $k$ den Wert $-3.$ Dies ist unabhängig von $k$ und damit für unterschiedliche Werte von $k$ identisch. Damit sind die Tangenten für unterschiedliche Werte von $k$ parallel zueinander.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen und Zuordnung begründen
Nach Aufgabenteil a) sind die Nullstellen von $f_k$ $x_1 =0$ und $x_2 = \frac{3}{k}.$ Die Graphen von $f_k$ müssen also für alle Werte von $k$ durch den Koordinatenursprung verlaufen. Abbildung 1 ist zu entnehmen, dass nur Graph $\text{II}$ durch den Koordinatenursprung verläuft. Da laut Aufgabenstellung einer der beiden Graphen zu einer der Funktionen $f_k$ gehören muss, gehört daher Graph $\text{II}$ zu einer Funktion $f_k$, da Graph $\text{I}$ nicht infrage kommt. Damit gehört Graph $\text{I}$ zur Funktion $h.$
$\blacktriangleright$  Werte berechnen
Graph $\text{II}$ schneidet die $x$-Achse in den Punkten $(0\mid 0)$ und $(9\mid 0).$ Die Funktion $f_k$ besitzt die Nullstellen $x_1 =0$ und $x_2 = \frac{3}{k}.$ Für den zugehörigen Wert von $k$ muss also gelten:
$\begin{array}[t]{rll} 9&=& \frac{3}{k} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot k \\[5pt] 9k&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\;:9 \\[5pt] k&=&\frac{1}{3} \end{array}$
Graph $\text{II}$ gehört also zur Funktion $f_k$ mit $k = \frac{1}{3}.$
Für $h$ gilt $h(x)= f_k(x) +d.$ Der Abbildung kann man entnehmen, dass Graph $\text{I}$ aus Graph $\text{II}$ durch Verschiebung um $4$ Einheiten in positive $y$-Richtung hervorgeht.
Daher ist $d=4.$
1.2
a)
$\blacktriangleright$  Wert im Sachzusammenhang interpretieren
In Abbildung 2 ist ein Querschnitt der Schale zu sehen. Es ist zu erkennen, dass der Graph von $p$ den äußeren Rand der Schale und der Graph von $q$ den inneren Rand der Schale beschreibt. Die Differenz $p(6)-q(6)$ beschreibt demnach die Dicke der Schale am obersten Rand in $\,\text{dm}.$
$\blacktriangleright$  Wert des Terms angeben
$\begin{array}[t]{rll} p(6)-q(6)&=& \sqrt{6\cdot 6} -\sqrt{4\cdot 6 -8} \\[5pt] &=& 6- 4\\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$ p(6)-q(6) = 2 $
Der Wert des Terms beträgt $p(6)-q(6)=2.$ Die Schale ist am oberen Rand also $2\,\text{dm}$ dick.
$\;$
b)
$\blacktriangleright$  Graph zuordnen und begründen
Beschreibt der gesuchte Graph die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit $t$, so beschreibt die Steigung des Graphen die Änderungsrate der Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Die Steigung des gesuchten Graphen muss also abnehmen, da der Durchmesser der Schale mit steigender Höhe zunimmt und das Wasser mit konstanter Zuflussrate eingefüllt wird.
Der Graph $\text{II}$ beschreibt demnach die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit $t.$
$\;$
c)
$\blacktriangleright$  Funktion im Sachzusammenhang interpretieren
Der Funktionsterm von $s$ ergibt sich aus der Formel für das Rotationsvolumen des Graphen von $q$ im Intervall $[2; 2+x].$ Da der Graph von $q$ den inneren Rand der Schale beschreibt, beschreibt $s(x)$ daher das Volumen einer möglichen eingefüllten Flüssigkeit in Abhängigkeit von der Füllhöhe $x.$
$\blacktriangleright$  Größten Definitionsbereich angeben
Da $q$ den inneren Rand der Schale laut Aufgabenstellung für $2\leq x \leq 6$ beschreibt, sollte die obere Grenze des Integrals mindestens $2$ aber höchstens $6$ betragen. Der größtmögliche Definitionsbereich im Sachzusammenhang ist daher $D_s = \{x\in \mathbb{R} \mid 0\leq x \leq 4\}.$
$\blacktriangleright$  Masse berechnen
Das Volumen der Schale ergibt sich aus der Differenz des Volumens $V_p$ des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Graph von $p$ für $0\leq x\leq 6$ um die $x$-Achse rotiert und dem Volumen $V_q$ des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Graph von $q$ für $2\leq x \leq 6$ um die $x$-Achse rotiert.
$V_p$ kann mit Hilfe der Formel für das Rotationsvolumen berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} V_p&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{6}\left(p(x)\right)^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{6}\left(\sqrt{6x}\right)^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{6}6x\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\pi \cdot \left[\frac{1}{2}\cdot 6x^2\right]_0^6 \\[5pt] &=&\pi \cdot \left[3x^2\right]_0^6 \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(3\cdot 6^2 - 3\cdot 0^2\right) \\[5pt] &=& 108\pi \end{array}$
$ V_p =108\pi $
$V_q$ kann mit der Funktion $s$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} V_q&=& s(4) \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{2}^{6}\left(q(t)\right)^2\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{2}^{6}\left(\sqrt{4t-8}\right)^2\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{2}^{6}\left(4t-8\right)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \pi \cdot \left[\frac{1}{2}\cdot 4t^2-8t\right]_2^6 \\[5pt] &=& \pi \cdot \left[2t^2-8t\right]_2^6 \\[5pt] &=& \pi \left(2\cdot 6^2-8\cdot 6 -\left(2\cdot 2^2-8\cdot 2\right) \right)\\[5pt] &=& \pi \left(24+8\right)\\[5pt] &=& 32\pi\\[5pt] \end{array}$
$ V_q = 32\pi $
$\begin{array}[t]{rll} V&=& V_p - V_q \\[5pt] &=& 108\pi -32\pi\\[5pt] &=& 76\pi \end{array}$
Das Volumen der Schale beträgt $76\pi \,\text{dm}^3.$ Ein Kubikmeter besitzt laut Aufgabenstellung eine Masse von $2.700\,\text{kg}.$ Somit besitzt ein Kubikdezimeter eine Masse von $2,7\,\text{kg}.$ Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& V\cdot 2,7\,\text{kg} \\[5pt] &=& 76\pi\cdot 2,7\,\text{kg}\\[5pt] &\approx & 644,65 \,\text{kg} \\[5pt] \end{array}$
Die Schale besitzt eine Masse von ca. $644,65\,\text{kg}.$
#rotationsvolumen
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