Pflichtaufgabe 1 - Analysis
1.1
Gegeben sind die in 
definierten Funktionen 
und 
durch:
sind die Gleichungen der ersten Ableitungsfunktion sowie einer Stammfunktion gegeben:
definierten Funktionen und durch:
sind die Gleichungen der ersten Ableitungsfunktion sowie einer Stammfunktion gegeben:
a)
Berechne die Nullstellen der Funktionen und 
und
b)
Leite aus der Funktionsgleichung von die angegebene Funktionsgleichung von 
her.
die angegebene Funktionsgleichung von her.
c)
Zeige, dass 
lokaler Extrempunkt des Graphen von ist.
Bestimme die Art des Extrempunktes.
lokaler Extrempunkt des Graphen von ist.
Bestimme die Art des Extrempunktes.
d)
Berechne 
mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
e)
Beurteile folgende Aussage:
„Enthält der Funktionsterm einer beliebigen Funktion sowohl Potenzen der Argumente mit geradem als auch solche mit ungeradem Exponenten, so ist der zugehörige Graph nicht symmetrisch zum Koordinatenursprung.“
1.2
Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion 
mit 
und ![\(x\in [0;9]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a3f5d6ae98131f027f5030ed3802b69cbdc9573f1ac36028f2c8a91ea30f1a6c_light.svg)
beschrieben werden. Dabei gibt 
die Kosten in 
Euro an, die bei der Produktion von 
Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Die Abbildung zeigt den Graphen von 
mit und beschrieben werden. Dabei gibt die Kosten in Euro an, die bei der Produktion von Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Die Abbildung zeigt den Graphen von
a)
Gib mithilfe der Abbildung die Produktionsmenge an, bei der die Kosten 
Euro betragen.
Euro betragen.
b)
Gib das Monotonieverhalten von an und deute deine Angabe im Sachzusammenhang.
an und deute deine Angabe im Sachzusammenhang.
Die Funktion 
mit 
gibt für 
den Erlös (in Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt.
Für die sogenannte Gewinnfunktion
gilt 
Positive Werte von werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.
mit gibt für den Erlös (in Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt.
Für die sogenannte Gewinnfunktion
gilt Positive Werte von werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.
c)
Zeige, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.
d)
Zeichne den Graphen von in Abbildung 1 ein. Bestimme mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.
in Abbildung 1 ein. Bestimme mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.
e)
Berechne, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
f)
Für jeden Wert von 
mit 
ist die in definierte Funktion 
mit 
gegeben. Zeige, dass für 
streng monoton wachsend ist.
mit ist die in definierte Funktion mit gegeben. Zeige, dass für streng monoton wachsend ist.
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1.1
Vollständige Lösung anzeigen
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=& 0 \\[5pt]
5x\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{-0,5x^2}\neq 0 \\[5pt]
5x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt]
x&=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/34ef1211664a81097a0312ee44c6b77499df7dc5cbec315155e80e2e0706e62d_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_1&=& 0 \\[5pt]
x_2&=& 2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f9c80342be21ba014979335e73f379298fd4b1bbd33eda2f58ae80541b0e8932_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
g(x)&=& 0 \\[5pt]
-3(x-1)^2+3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt]
-3(x-1)^2&=& -3 &\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt]
(x-1)^2&=& 1 \\[5pt]
x-1&=& \pm 1 \\[5pt]
x_1&=& 0 \\[5pt]
x_2&=& 2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5148ec82f874a7c18610646f05189d68a9be8d41f450f21c114471c71684357e_light.svg)
und 
b)
Funktionsgleichung der Ableitung herleiten
Verwende die Produktregel und die Kettenregel, um die erste Ableitungsfunktion von zu bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=& 5x\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[10pt]
f‘(x)&=& 5\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} + 5x\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \cdot (-0,5\cdot 2\cdot x ) \\[5pt]
&=& 5\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} - 5x^2\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[5pt]
&=& -5\cdot(x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2c841f62492825f5f0c66a7e783eecfb9811244dec0a05c080dae4cdf0d750a9_light.svg)
c)
Lokelen Extrempunkt nachweisen
1. Schritt: Notwendiges Kriterium überprüfen
Das notwendige Kriterium für lokale Extremstellen von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
f‘(-1)&=& -5\cdot ((-1)^2 -1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (-1)^2} \\[5pt]
&=& -5\cdot 0\cdot \mathrm e^{-0,5} \\[5pt]
&=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/580e3aa5429ea322bfac53a98e7f913de7d65ab74ab2f3b03e8e8bcdf4890dd8_light.svg)
ist also an der Stelle 
erfüllt.
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Einsetzen von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
f‘(x)&=& -5\cdot (x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[10pt]
f‘‘(x)&=& -5\cdot 2x \cdot \mathrm e^{-0,5x^2} -5\cdot (x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}\cdot (-0,5\cdot 2\cdot x) \\[5pt]
&=& -10x \cdot \mathrm e^{-0,5x^2} -5\cdot (x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}\cdot (- x) \\[5pt]
&=& -10x \cdot \mathrm e^{-0,5x^2} +5x\cdot (x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}\\[5pt]
&=& -5x\cdot (2-(x^2-1))\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[5pt]
&=& -5x\cdot (3-x^2)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/48c0320551691bd779b9252010ccf61bf7a4c90c9e79808f7cef59058a25e68c_light.svg)
liefert:
Mit dem hinreichenden Kriterium für lokale Extremstellen folgt, dass es sich bei dem Punkt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
f‘‘(-1)&=& -5\cdot (-1)\cdot (3-(-1)^2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (-1)^2} \\[5pt]
&=& 5\cdot 2\cdot \mathrm e^{-0,5} \\[5pt]
&=& 10\cdot \mathrm e^{-0,5} \\[5pt]
&\gt & 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c488bf00618657390486b763e4184de0c6a5efdc74213cd4333b21841ef1d2dd_light.svg)
um einen lokalen Tiefpunkt handelt.
d)
Integral berechnen
1. Schritt: Stammfunktion von 
bestimmen
2. Schritt: Integral berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
g(x)&=& -3(x-1)^2+3 \\[5pt]
&=& -3\cdot (x^2-2x+1)+3 \\[5pt]
&=& -3x^2+6x-3+3 \\[5pt]
&=& -3x^2+6x \\[10pt]
G(x)&=& -\frac{3}{3}x^3+\frac{6}{2}x^2 \\[5pt]
&=& -x^3+3x^2 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2863a34c0acbbd975c55bb0cfd05d548b61bb0a1953fbf72433bd0a9471916ea_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\displaystyle\int_{0}^{2}(f(x)-g(x))\;\mathrm dx &=& \displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx -\displaystyle\int_{0}^{2}g(x)\;\mathrm dx \\[5pt]
&=& F(2)-F(0)-\left(G(2)-G(0) \right) \\[5pt]
&=& -5\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 2^2} +5\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0^2} - \left(-2^3+3\cdot 2^2 - (-0^3+3\cdot 0^2) \right) \\[5pt]
&=& -5\cdot \mathrm e^{-2} + 5 - \left(-8+12 \right) \\[5pt]
&=& -5\cdot \mathrm e^{-2} +1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e704f1cb3d3bd763db231a320f978c6b907ee5a99ae745ffb1fe51f1eacf246d_light.svg)
e)
Aussage beurteilen
Damit der Graph einer Funktion mit dem Argument symmetrisch zum Koordinatenursprung ist, muss für alle im Definitionsbereich gelten:
Bei ganzrationalen Funktionen gilt bei geraden Exponenten 
aber immer 
und nicht 
Sobald also das Argument auch mit geraden Exponenten im Funktionsterm vorkommt, kann nicht mehr 
gelten und der Graph damit nicht symmetrisch zum Koordinatenursprung sein.
Betrachtet man aber die gebrochenrationale Funktion 
so erhält man:
Obwohl hier das Argument also sowohl in einer geraden als auch in einer ungeraden Potenz vorkommt, ist der zugehörige Graph symmetrisch zum Koordinatenursprung.
Insgesamt gilt die Aussage also nicht für jede beliebige Funktion, sondern müsste beispielsweise auf ganzrationale Funktionen eingeschränkt werden, und ist damit in dieser Form falsch.
1.2
a)
Produktionsmenge angeben
In der Abbildung ist die Schnittstelle des Graphen mit der Gerade 
gesucht. Diese lässt sich zu 
ablesen.
Bei einer Produktionsmenge von ca. 
Kubikmetern der Flüssigkeit fallen Euro Kosten an.
b)
Monotonieverhalten angeben
Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass für 
monoton steigt.
Die Kosten steigen also mit der Menge der produzierten Flüssigkeit.
c)
Ausbleibenden Gewinn zeigen
Für die Gewinnfunktion gilt:
Bei einem Verkauf von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
G(4)&=& E(4)-K(4) \\[5pt]
&=& 23\cdot 4 - \left(4^3-12\cdot 4^2 +50\cdot 4 +20 \right) \\[5pt]
&=& 92-92 \\[5pt]
&=& 0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0c6aa052591d2218caf0b94ff9ae28cf8bdde36c49b2dc1314335863735304cb_light.svg)
Kubikmetern der Flüssigkeit beträgt der Gewinn 
Das Unternehmen erzielt also keinen Gewinn.
d)
Erlös einzeichnen und den Bereich für Gewinn bestimmen
Das Unternehmen erzielt dann Gewinn, wenn der Erlös größer ist als die Kosten. Dies ist der Fall, wenn der Graph von oberhalb des Graphen von verläuft. Der Abbildung lässt sich also entnehmen, dass die verkaufte Menge der Flüssigkeit im Bereich ![\(]4;8,5[\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e567ab19cfb1c5a322aed124bc1c31b7b81f2d76b0de87f6cd7128a36712d7b8_light.svg)
liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.
oberhalb des Graphen von verläuft. Der Abbildung lässt sich also entnehmen, dass die verkaufte Menge der Flüssigkeit im Bereich liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.
e)
Menge für den maximalen Gewinn berechnen
Gesucht ist die Maximalstelle 
von im Bereich 
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
An der Stelle ![\(\begin{array}[t]{rll}
G(x)&=& 23x -\left(x^3-12x^2 +50x +20\right) \\[5pt]
&=& -x^3 + 12x^2 - 27x - 20 \\[10pt]
G‘(x)&=& -3x^2+24x-27 \\[10pt]
G‘‘(x)&=& -6x+24\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2dca65d607e322827250853992c952498f9656ef472cfbd487f67bf73a68c877_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
0&=& G‘(x) \\[5pt]
... \\[5pt]
x_1&=& 4-\sqrt{7} \\[5pt]
x_2&=& 4+\sqrt{7}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ecc71aa2dde73b6ed217046387bbfebefbd82254bab5e2fdf08e48026a48c81b_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
0&=& G‘(x) \\[5pt]
0&=& -3x^2+24x-27 &\quad \scriptsize \mid\; abc-\text{Formel} \\[5pt]
x_{1/2}&=& \dfrac{-24\pm \sqrt{24^2-4\cdot (-3) \cdot(-27) }}{2\cdot (-3)} \\[5pt]
&=& \dfrac{-24\pm \sqrt{252}}{-6} \\[5pt]
x_1&=& 4-\sqrt{7} \\[5pt]
x_2&=& 4+\sqrt{7}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c107818e796173c3728db4376388f18b4a594aff5d2ce2772893a94b491e9a3e_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
G‘‘\left(4-\sqrt{7}\right) \gt 0 \\[10pt]
G‘‘\left(4+\sqrt{7}\right)\lt 0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/15daa9ce4a7d36f43bc2fa7fc65f98eee62c284e5e1795c4075c98c1a039a8e8_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
G‘‘\left(4-\sqrt{7}\right)&=& -6\cdot \left( 4-\sqrt{7}\right)+24 \\[5pt]
&=& +6\sqrt{7} \gt 0 \\[10pt]
G‘‘\left(4+\sqrt{7}\right)&=& -6 \cdot \left( 4 + \sqrt{7}\right) + 24 \\[5pt]
&=& -6\sqrt{7} \lt 0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3df4ffe75b3b51e866f245c63b55fca3278cfe2e457b7ddbb701b101f99b51a2_light.svg)
besitzt der Graph von einen Hochpunkt.
4. Schritt: Funktionswerte vergleichen
Vergleiche die Funktionswerte an den Intervallrändern mit dem im Hochpunkt:
Es müssen ![\(\begin{array}[t]{rll}
G(0)&=& -20 \\[10pt]
G(9)&=& -20 \\[5pt]
G\left(4+\sqrt{7}\right)&\approx& 37,04
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5193a5886d604132468ac741415c8816d9fcec07a48df3697da47d6c1801cd10_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
G(0)&=& -0^3 + 12\cdot 0^2 - 27\cdot 0 - 20 \\[5pt]
&=& -20 \\[10pt]
G(9)&=& -9^3 + 12\cdot 9^2 - 27\cdot 9 - 20 \\[5pt]
&=& -20 \\[5pt]
G\left(4+\sqrt{7}\right)&=& -\left(4+\sqrt{7}\right)^3 + 12\cdot \left(4+\sqrt{7}\right)^2 - 27\cdot \left(4+\sqrt{7}\right) - 20 \\[5pt]
&\approx& 37,04
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/97f8ab3fa34db861dc8827b92ef9fd727e1ed3751d1e5601e606ff91416b093d_light.svg)
Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
f)
Monotonie zeigen
Überprüfe die erste Ableitungsfunktion von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
K_b(x) &=& x^3-bx^2+50x+20 \\[10pt]
K_b‘(x) &=& 3x^2 -2bx + 50 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/faa9043dcc1c96c1fe169d5b7131d600f974233c5a8f483b2bf7a397caf1a1e6_light.svg)
Ist 
für alle 
so ist streng monoton wachsend. Berechne also zunächst die Nullstellen von 
in Abhängigkeit von 
Da 
![\(\begin{array}[t]{rll}
K_b‘(x)&=& 0 \\[5pt]
3x^2 -2bx + 50&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt]
x^2 -\frac{2}{3}bx +\frac{50}{3}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt]
x_{1/2}&=& -\frac{-\frac{2}{3}b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-\frac{2}{3}b}{2}\right)^2-\frac{50}{3} } \\[5pt]
&=& \frac{1}{3}b \pm \sqrt{\frac{1}{9}b^2-\frac{50}{3}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e4c0effd77885913e463ba6641a9bc7e88156c5c2da76a7e1c3dd2388a8a2015_light.svg)
stetig ist, gilt für alle 
wenn keine Nullstelle besitzt und es ein gibt mit 
Keine Nullstelle besitzt
wenn der Radikand, also der Teil unter der Wurzel, negativ ist:
Für 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\frac{1}{9}b^2-\frac{50}{3} &\lt & 0 &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{50}{3} \\[5pt]
\frac{1}{9}b^2 &\lt & \frac{50}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 9\\[5pt]
b^2 &\lt & 150 &\quad \scriptsize \mid\;b\gt 0 \text{ ist vorausgesetzt} \\[5pt]
b&\lt & \sqrt{150}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/145177985c6be57e750f868d9f115d1f43ea5be970d1e37154c8fb3875754c78_light.svg)
besitzt also keine Nullstelle, sodass entweder 
oder 
für alle 
gilt.
Von 53 wird maximal 
![\(\begin{array}[t]{rll}
K_b‘(1)&=& 3\cdot 1^2 -2b\cdot1 + 50 \\[5pt]
&=& 53-2b
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f30203f42d61c78872766b8dee367571c6d2a0e3b391d78292a95febb7ece092_light.svg)
abgezogen, es ist also 
Da für keine Nullstelle besitzt, stetig ist und 
ist, gilt insgesamt 
für alle 
Daher ist
streng monoton wachsend.
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