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Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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a)
Begründe, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig und gleichschenklig ist. Gib den Flächeninhalt dieses Dreiecks an.
#rechtwinkligesdreieck#gleichschenkligesdreieck
b)
Gib eine Gleichung der Gerade an, die durch $A$ und $C$ verläuft. Begründe, dass diese Gerade windschief zur Geraden $h$ ist.
#windschief
Die Punkte der Geraden $h$ lassen sich durch $P_t(4\mid4\mid t)$ mit $t \in \mathbb{R}$ darstellen. Für jeden Wert von $t$ liegen $A,$ $C$ und $P_t$ in der Ebene
$E_t:\quad t \cdot x+ t \cdot y− 4 \cdot z− 4 \cdot t = 0.$
$E_t:\, t \cdot x+ t \cdot y− 4 \cdot z− 4 \cdot t = 0.$
#ebenenschar
c)
Ermittle diejenigen Werte von $t,$ für die die zugehörige Ebene $E_t$ mit der $xy$-Ebene einen Winkel der Größe $60^{\circ}$ einschließt.
#schnittwinkel
Der abgebildete Quader wird durch eine der Ebenen $E_t$ in zwei Teilkörper zerlegt. Die Seiten der Schnittfigur dieser Ebene und des Quaders sind in der Abbildung gestrichelt dargestellt.
d)
Beschreibe, wie man mithilfe der Abbildung ermitteln kann, dass $t=6$ ist.
e)
Berechne das Volumen desjenigen der beiden Teilkörper, zu dem der Punkt $B$ gehört, und erläutere dein Vorgehen.
f)
Es gibt Werte von $t,$ für die die Schnittfigur des Quaders und der Ebene $E_t$ die Form eines Dreiecks hat.
Gib alle diese Werte von $t$ an und beschreibe in Abhängigkeit von $t$ die Lage der Eckpunkte des Dreiecks.
g)
Die folgende Aussage stellt die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den bisher betrachteten geometrischen Objekten dar:
$\left| \dfrac{t\cdot 4+t\cdot 4 -4\cdot 0 -4\cdot t}{\sqrt{t^2+t^2+16}}\right| =2$ $\quad\Leftrightarrow\quad$ $t=-2\sqrt{2}$ oder $t=2\sqrt{2}$
Formuliere eine dazu passende Aufgabenstellung.
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  Rechtwinkligkeit und Gleichschenkligkeit begründenPflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Alle Seitenflächen eines Quaders sind mindestens Rechtecke. Da $A,$ $B$ und $C$ Eckpunkte einer gemeinsamen Seitenfläche des Quaders und $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ zwei der Kanten sind, muss das Dreieck $ABC$ im Punkt $B$ einen rechten Winkel besitzen.
Die Länge der Seite $\overline{AB}$ ergibt sich mithilfe des zugehörigen Verbindungsvektors und seinem Vektorbetrag zu:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB} \right|&=& \left|\pmatrix{0\\4\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+4^2+0^2} \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{AB} \right| = 4 $
Für $\overline{BC}$ gilt analog:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{BC} \right|&=& \left|\pmatrix{-4\\0\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-4)^2+0^2+0^2} \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{BC} \right| = 4 $
Das Dreieck $ABC$ ist also gleichschenklig.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt angeben
Aufgrund des rechten Winkels ergibt sich der Flächeninhalt zu:
$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=& \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4 \\[5pt] &=& 8 \end{array}$
Das Dreieck $ABC$ hat einen Flächeninhalt von $8\,\text{FE}.$
#vektorbetrag
b)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung angeben
$\begin{array}[t]{rll} g: \quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA} + r\cdot \overrightarrow{AC} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\\0\\0} + r\cdot \pmatrix{-4\\4\\0} \end{array}$
$ g: \quad \overrightarrow{x} = … $
$\blacktriangleright$  Windschiefe Lage begründen
$g$ verläuft durch die Diagonale $\overline{AC}$ einer Seitenfläche des Quaders. $h$ verläuft entlang der Kante $\overline{BF},$ die senkrecht zu dieser Seitenfläche steht. $g$ und $h$ können also nicht parallel verlaufen. Da $B$ ein weiterer Eckpunkt der Seitenfläche ist, in der $A$ und $C$ liegen, können $g$ und $h$ keine gemeinsamen Punkte besitzen. Sie müssen also windschief sein.
c)
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Ein Normalenvektor von $E_t$ ist $\overrightarrow{n_t}=\pmatrix{t\\t\\-4},$ einer der $xy$-Ebene ist $\overrightarrow{n_3}= \pmatrix{0\\0\\1}.$
Einsetzen in die Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \cos 60^{\circ}&=& \dfrac{\left|\pmatrix{t\\t\\-4}\circ \pmatrix{0\\0\\1} \right|}{\left| \pmatrix{t\\t\\-4}\right| \cdot \left| \pmatrix{0\\0\\1}\right|} \\[5pt] \cos 60^{\circ}&=& \dfrac{4}{\sqrt{t^2+t^2+(-4)^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} \\[5pt] \cos 60^{\circ}&=& \dfrac{4}{\sqrt{2t^2+16}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sqrt{2t^2+16} \\[5pt] \sqrt{2t^2+16}\cdot \cos 60^{\circ}&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; :\cos 60^{\circ} \\[5pt] \sqrt{2t^2+16}&=& \dfrac{4}{\cos 60^{\circ}}&\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] 2t^2+16&=& \dfrac{16}{\left(\cos 60^{\circ}\right)^2} &\quad \scriptsize \mid\;-16 \\[5pt] 2t^2&=& \dfrac{16}{\left(\cos 60^{\circ}\right)^2}-16 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] t^2&=&\dfrac{8}{\left(\cos 60^{\circ}\right)^2}-8 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[10pt] t_1&=& -2\sqrt{6}\\[5pt] &\approx& -4,90 \\[10pt] t_2&=& 2\sqrt{6}\\[5pt] &\approx& 4,90 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&=& -2\sqrt{6}\\[5pt] &\approx& -4,90 \\[10pt] t_2&=& 2\sqrt{6}\\[5pt] &\approx& 4,90 \\[10pt] \end{array}$
Für $t=\pm 2\sqrt{6}\approx \pm 4,90$ schließen $E_t$ und die $x_1x_2$-Ebene einen Winkel der Größe $60^{\circ}$ ein.
d)
$\blacktriangleright$  Vorgehen beschreiben
Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass der Mittelpunkt der Strecke $\overline{EF}$ in der Ebene $E_t$ liegt. Die Koordinaten dieses Mittelpunkts können anhand der Koordinaten von $F$ ermittelt werden.
Anschließend kann man mit den Koordinaten des Mittelpunkts eine Punktprobe in der Ebenengleichung von $E_t$ durchführen und so aus der resultierenden Gleichung $t$ bestimmen.
e)
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Für $t=6$ liegt der Punkt $P_t$ außerhalb des Quaders. Bei dem beschriebenen Teilkörper handelt es sich daher um den Stumpf einer dreiseitigen Pyramide. Da Grund- und Deckfläche des Stumpfs in gegenüberliegenden Seiten des Quaders liegen, entspricht die Höhe $h$ dem Abstand der beiden Punkte $B$ und $F$, also $h=3.$
Die Grundfläche des Pyramidenstumpfs ist das Dreieck $ABC,$ dessen Flächeninhalt bereits berechnet wurde:
$G = 8$
Die Deckfläche ist das rechtwinklige und gleichschenklige Dreieck mit den Mittelpunkten der beiden Seiten $\overline{EF}$ und $\overline{FG}$ und $F$ als Eckpunkte. Der Flächeninhalt kann daher wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} D&=& \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2 \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$
Insgesamt ergibt sich das Volumen des Pyramidenstumpfs mit der entsprechenden Formel:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{1}{3} \cdot h \cdot \left(G+D +\sqrt{G\cdot D} \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \left(8+2 +\sqrt{8\cdot 2} \right) \\[5pt] &=& 10 +4 \\[5pt] &=& 14\\[5pt] \end{array}$
$ V= 14 $
Das Volumen des Teilkörpers, der $B$ enthält, beträgt $14\,\text{VE}.$
f)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte angeben
Der Verlauf der Ebene wird durch den Punkt $P_t$ bestimmt. Dieser bewegt sich abhängig von $t$ entlang der Geraden $h.$ Es ist angegeben, dass die Punkte $A$ und $C$ in jeder der Ebenen $E_t$ liegen. Sie bilden in jedem Fall zwei Eckpunkte der Schnittfigur.
Liegt der Punkt $P_t$ innerhalb des Quaders, also auf der Strecke zwischen $B$ und $F,$ so handelt es sich bei der Schnittfigur um das Dreieck $ACP_t.$
Dies ist wegen der Koordinaten von $P_t(4\mid4\mid t)$ der Fall für $0< t \leq 3,$ da die Grundfläche des Quaders in der $x_1x_2$-Ebene liegt.
Für $-3\leq t < 0$ liegt der dritte Schnittpunkt der Ebene auf der Würfelkante $\overline{DH}.$ In diesem Fall handelt es sich bei der Schnittfigur ebenfalls um ein Dreieck mit den Eckpunkten $A$ und $C$ und dem dritten Eckpunkt auf der Kante $\overline{DH}.$
Für $t=0$ liegt die gesamte Grundfläche des Quaders in der Ebene, wodurch die Schnittfigur ein Quadrat wäre. Dieser Wert muss also ausgeschlossen werden.
Insgesamt handelt es sich bei der Schnittfigur des Quaders und der Ebene $E_t$ um ein Dreieck für $-3 \leq t < 0$ und $0< t \leq 3.$
g)
$\blacktriangleright$  Aufgabenstellung formulieren
Im linken Teil der Äquivalenzumformung wird mithilfe der Hesseschen Normalenform von $E_t$ der Abstand von $B$ zu $E_t$ mit $2$ gleichgesetzt. Die dabei entstandene Gleichung wird nach $t$ aufgelöst und liefert zwei Lösungen. Eine mögliche Aufgabenstellung wäre:
Berechne diejenigen Werte von $t,$ für die der Punkt $B$ zur Ebene $E_t$ einen Abstand von $2$ Längeneinheiten hat.
#hesseschenormalform
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