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Wahlpflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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In einem kartesischen Koordinatensystem sind eine Gerade $t:\; -7x +4y -51 =0$ sowie die Punkte $M(2\mid 0)$ und $S(2,5\mid 1,5)$ gegeben.
Die Gerade $t$ ist Tangente an den Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$.
a)
Berechne das Gradmaß des Winkels, unter dem die Tangente $t$ die $x$-Achse schneidet.
#steigungswinkel
b)
Zeige, dass der Kreis $k$ den Radius $r= \sqrt{65}$ besitzt.
Berechne die Koordinaten des Berührpunktes $B$ der Tangente $t$ an den Kreis $k.$
#tangente
c)
Der Punkt $S$ ist der Mittelpunkt einer Sehne $s$ des Kreises $k.$
Ermittle eine Gleichung der Sehne $s.$
Begründe, dass der Kreis $k_1$ mit der Gleichung $(x-2,5)^2+(y-1,5)^2=62,5$ und der Kreis $k$ einander an genau zwei Punkten schneiden.
#kreis
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Gradmaß berechnen
$\begin{array}[t]{rll} -7x+4y-51&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-4y \\[5pt] -7x-51&=&-4y &\quad \scriptsize \mid\; :(-4)\\[5pt] \frac{7}{4}x+\frac{51}{4}&=&y \end{array}$
$ t: \, y = \frac{7}{4}x+\frac{51}{4}$
Die Steigung der Tangente $t$ beträgt $m = \frac{7}{4}.$
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \frac{7}{4} &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 60,26^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 60,26^{\circ} $
Das Gradmaß des Winkels, unter dem die Tangente $t$ die $x$-Achse schneidet beträgt ca. $60,26^{\circ}.$
b)
$\blacktriangleright$  Radius zeigen und Koordinaten des Berührpunktes angeben
Der Radius $r$ ist der Abstand des Kreismittelpunkts $M$ zur Gerade $t$, also der Abstand von $M$ zum Schnittpunkt von $t$ mit der Geraden $n,$ die senkrecht zu $t$ und durch den Punkt $M$ verläuft.
Die Gleichung von $t$ lässt sich umformen zu $t: \; y = \frac{7}{4}x+\frac{51}{4}.$
Die Steigung von $t$ beträgt $m_t= \frac{7}{4}.$ Eine Gerade $n: \, y= m_n x+ b$ , die senkrecht zu $t$ verläuft, besitzt daher die Steigung $m_n = -\frac{1}{m_t}=-\frac{4}{7}.$
$\begin{array}[t]{rll} n: \; y&=&m_nx +b \\[5pt] y&=&-\frac{4}{7}x +b &\quad \scriptsize \mid\; M(2\mid 0) \\[5pt] 0&=&-\frac{4}{7}\cdot 2 +b &\quad \scriptsize \mid\; +\frac{8}{7} \\[5pt] \frac{8}{7}&=& b \end{array}$
$ \frac{8}{7}= b $
Die Gerade, die senkrecht zu $t$ und durch den Mittelpunkt $M$ verläuft hat die Gleichung $n: \, y =-\frac{4}{7}x +\frac{8}{7}.$
$\begin{array}[t]{rll} -\frac{4}{7}x +\frac{8}{7}&=& \frac{7}{4}x+\frac{51}{4} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 28 \\[5pt] -16x+32&=& 49x + 357 &\quad \scriptsize \mid\; -32; -49x\\[5pt] -65x &=& 325 &\quad \scriptsize \mid\;:(-65) \\[5pt] x&=&-5 \end{array}$
$ x = -5 $
Die beiden Geraden schneiden sich an der Stelle $x =-5.$
$y =-\frac{4}{7}\cdot (-5) +\frac{8}{7} = 4.$
Der Schnittpunkt der beiden Geraden $t$ und $n$ hat die Koordinaten $N\left(-5\mid 4\right).$
$\begin{array}[t]{rll} d(M, N)&=&\sqrt{(-5-2)^2+(4-0)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{65} \end{array}$
$ d(M,N)=\sqrt{65} $
Der kürzeste Abstand des Punkts $M$ zur Kreistangente $t$ beträgt $\sqrt{65},$ weshalb der Radius des Kreises ebenfalls $\sqrt{65}$ beträgt. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist gleichzeitig der Berührpunkt der Tangente mit dem Kreis $k,$ da dieser auf $t$ liegt und von $M$ den Abstand $r = \sqrt{65}$ besitzt und damit auch auf $k$ liegt. Der Berührpunkt hat also die Koordinaten $B\left(-5\mid 4\right).$
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Sehne ermitteln
Da $S$ der Mittelpunkt der Sehne ist, muss die Sehne senkrecht zur Strecke $\overline{MS}$ verlaufen. Die Strecke $\overline{MS}$ ist Teil einer Geraden mit folgender Steigung $m:$
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{y_S-y_M}{x_S-x_M} \\[5pt] &=& \dfrac{1,5-0}{2,5-2} \\[5pt] &=& \dfrac{1,5}{0,5} \\[5pt] &=& 3 \\[5pt] \end{array}$
Die Sehne liegt daher auf der Geraden $g: \, y = m_gx+b$ durch den Punkt $S$ mit der Steigung $m_g = -\frac{1}{m}= -\frac{1}{3}.$
$\begin{array}[t]{rll} g:\; y&=&m_g x +b \\[5pt] y&=& -\frac{1}{3}x +b &\quad \scriptsize \mid\;S(2,5\mid 1,5) \\[5pt] 1,5&=&-\frac{1}{3}\cdot 2,5+b &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{5}{6} \\[5pt] \frac{7}{3}&=& b \end{array}$
$ \frac{7}{3}= b $
Die Sehne liegt auf der Geraden mit der Gleichung $g: \; y= -\frac{1}{3}x +\frac{7}{3}$ und wird von der Kreislinie begrenzt.
Der Kreis kann mit der Gleichung $(x-2)^2+y^2 = 65$ beschrieben werden.
$\begin{array}[t]{rll} (x-2)^2+\left( -\frac{1}{3}x +\frac{7}{3}\right)^2&=& 65 \\[5pt] x^2-4x+4+\frac{1}{9}x^2-\frac{14}{9}x+\frac{49}{9}&=& 65 \\[5pt] \frac{10}{9}x^2 -\frac{50}{9}x+\frac{85}{9}&=&65 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 9 \\[5pt] 10x^2-50x+85&=&585 &\quad \scriptsize \mid\; -585\\[5pt] 10x^2-50x-500&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;:10 \\[5pt] x^2-5x-50 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ x^2-5x-50 = 0 $
Mit der $pq$-Formel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\frac{-5}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2 +50} \\[5pt] &=& \frac{5}{2}\pm \frac{15}{2} \\[5pt] x_1&=&\frac{5}{2}+ \frac{15}{2} \\[5pt] &=& 10\\[10pt] x_2&=& \frac{5}{2} - \frac{15}{2} \\[5pt] &=& -5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&10\\[10pt] x_2&=&-5 \end{array}$
Die Gerade $g,$ auf der die Sehne $s$ liegt, schneidet die Kreislinie an den Stellen $x_1= -5$ und $x_2 = 10.$ Die Sehne $s$ kann daher von der Gleichung $y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$ mit $x \in [-5; 10]$ beschrieben werden.
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte begründen
$\begin{array}[t]{rll} d(M,S)&=& \sqrt{(2-2,5)^2+(0-1,5)^2}\\[5pt] &=& \sqrt{2,5}\\[5pt] \end{array}$
$ d(M,S)= \qrt{2,5} $
Der Kreis $k_1$ mit dem Mittelpunkt $S$ hat den Radius $r_{k_1}=\sqrt{62,5},$ der Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ besitzt den Radius $r_k = \sqrt{65}.$ Es gilt:
$\left| r_k -r_{k_1}\right| < d(M,S) < r_{k}+ r_{k_1} $
$\begin{array}[t]{rll} &\left| r_k -r_{k_1}\right| \\[5pt] < & d(M,S) \\[5pt] <& r_{k}+ r_{k_1} \end{array}$
Daher müssen sich die beiden Kreis in genau zwei Punkten schneiden.
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