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Wahlpflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Gegeben sind Vektoren des dreidimensionalen Raumes mit
$\overrightarrow{a} = \pmatrix{2\\-2\\1},$ $\overrightarrow{b} = \pmatrix{3\\1\\-4},$ $\overrightarrow{c} = \pmatrix{7\\11\\8},$ $\overrightarrow{d}=\pmatrix{4\\0\\-3}$
a)
Berechne das Gradmaß des Winkels, den die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{d}$ miteinander einschließen und ermittle die Koordinaten aller Vektoren, die sowohl zum Vektor $\overrightarrow{a}$ als auch zum Vektor $\overrightarrow{d}$ orthogonal verlaufen.
#orthogonal#schnittwinkel
b)
Die Vektoren $\overrightarrow{a}= \overrightarrow{AB} $ und $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{AD}$ spannen das Parallelogramm $ABCD$ auf. Für Punkte $E$ und $F$ gelte $\overrightarrow{DE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.$
Stelle den Vektor $\overrightarrow{EF}$ als Linearkombination der Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{d}$ dar und gib die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{EF}$ an.
#parallelogramm
c)
Die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ sowie $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ verlaufen jeweils orthogonal zueinander.
Weise nach, dass auch die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{c}$ orthogonal zueinander verlaufen.
Begründe unter Verwendung geeignet beschrifteter Skizzen, dass die jeweilige paarweise Orthogonalität von Vektoren $\overrightarrow{x}_1$ und $\overrightarrow{x}_2$ sowie $\overrightarrow{x}_2$ und $\overrightarrow{x}_3$ weder eine notwendige noch eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass die Vektoren $\overrightarrow{x}_1$ und $\overrightarrow{x}_3$ auch orthogonal zueinander verlaufen.
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel berechnenWahlpflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Verwende die Formel für den Winkel $\alpha$ zwischen zwei Vektoren:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{d}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left| \overrightarrow{d}\right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\pmatrix{2\\-2\\1}\circ \pmatrix{4\\0\\-3}}{\left|\pmatrix{2\\-2\\1}\right|\cdot\left| \pmatrix{4\\0\\-3}\right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{2\cdot 4 + (-2)\cdot 0 +1\cdot (-3)}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}\cdot \sqrt{4^2+0^2+(-3)^2}} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{5}{3\cdot 5} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 70,53^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha \approx 70,53^{\circ} $
Die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{d}$ schließen also einen Winkel der Größe $\alpha \approx 70,53\,^{\circ}$ ein.
$\blacktriangleright$  Orthogonale Vektoren bestimmen
Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt. Dadurch ergibt sich für die gesuchten Vektoren $\overrightarrow{v}=\pmatrix{v_1\\v_2\\v_3}$ folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{v} &=& 0 \\[5pt] \pmatrix{2\\-2\\1}\circ \pmatrix{v_1\\v_2\\v_3} &=& 0 \\[5pt] 2v_1-2v_2+v_3&=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{d}\circ \overrightarrow{v} &=& 0 \\[5pt] \pmatrix{4\\0\\-3}\circ \pmatrix{v_1\\v_2\\v_3} &=& 0 \\[5pt] 4v_1-3v_3 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2v_1-2v_2+v_3&=& 0 \\[10pt] 4v_1-3v_3 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Es handelt sich um ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen. Setze also eine der drei Variablen, beispielsweise $v_1:=t.$ Dann sieht dein Gleichungssystem wie folgt aus:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad &v_1&=&t \\[5pt] \text{II}\quad&2t-2v_2+v_3&=& 0 \\[5pt] \text{III}\quad&4t-3v_3&=& 0 &\quad \scriptsize\mid\;-4t \\ &-3v_3&=& -4t &\quad \scriptsize\mid\; :(-3) \\ &v_3&=& \frac{4}{3}t &\quad \scriptsize\mid\; :(-3) \\ \end{array}$
$ $\begin{array}{lrll} \text{I}\quad &… \\[5pt] \text{II}\quad&… \\[5pt] \text{III}\quad&… \\ \end{array}$ $
Einsetzen in die zweite Gleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 2t-2v_2+v_3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; v_3 = \frac{4}{3}t \\[5pt] 2t-2v_2+\frac{4}{3}t&=& 0 \\[5pt] \frac{10}{3}t-2v_2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{10}{3}t \\[5pt] -2v_2 &=& -\frac{10}{3}t &\quad \scriptsize \mid\;:(-2) \\[5pt] v_2&=& \frac{5}{3}t \end{array}$
$ v_2= \frac{5}{3}t $
Die Vektoren $\overrightarrow{v}_t = t\cdot\pmatrix{1\\\frac{5}{3} \\ \frac{4}{3}}$ sind sowohl zu $\overrightarrow{a}$ als auch zu $\overrightarrow{d}$ orthogonal.
#skalarprodukt
b)
$\blacktriangleright$  Vektor als Linearkombination darstellen
Verwende folgende Eigenschaften:
  1. $ABCD$ ist ein Parallelogramm. Es ist also $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$
  2. $\overrightarrow{DE} = \frac{3}{4} \overrightarrow{DC}$
  3. $\overrightarrow{AF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$
  4. Für jeden Vektor $\overrightarrow{XY}$ gilt $\overrightarrow{YX} = -\overrightarrow{XY}$
Das Ziel ist es eine Gleichung der folgenden Art aufzustellen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EF} &=& x\cdot \overrightarrow{a} + y\cdot \overrightarrow{d} \\[5pt] \overrightarrow{EF} &=& x\cdot \overrightarrow{AB} + y\cdot \overrightarrow{AD} \end{array}$
Wahlpflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Skizze
Wahlpflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Skizze
Forme $\overrightarrow{EF}$ so weit um:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EF} &=& \overrightarrow{ED} +\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AF} &\quad \scriptsize 4. \text{ Bedingung} \\[5pt] &=& -\overrightarrow{DE} -\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AF}&\quad \scriptsize 3. \text{ Bedingung} \\[5pt] &=& -\overrightarrow{DE} -\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} &\quad \scriptsize 2. \text{ Bedingung} \\[5pt] &=& -\frac{3}{4} \overrightarrow{DC} -\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} &\quad \scriptsize 1. \text{ Bedingung} \\[5pt] &=& -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \\[5pt] &=& -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD} \\[5pt] &=& -\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{a} -1\cdot\overrightarrow{d} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{EF} = -\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{a} -1\cdot\overrightarrow{d}$
$\blacktriangleright$  Vektorkoordinaten angeben
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EF}&=& -\frac{1}{2}\cdot \pmatrix{2\\-2\\1} -1\cdot\pmatrix{4\\0\\-3} \\[5pt] &=& \pmatrix{-5\\1\\ \frac{5}{2}} \end{array}$
$ \overrightarrow{EF} = \pmatrix{-5\\1\\ \frac{5}{2}} $
c)
$\blacktriangleright$  Orthogonalität zeigen
Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{c}&=& \pmatrix{2\\-2\\1}\circ\pmatrix{7\\11\\8} \\[5pt] &=& 2\cdot 7 -2\cdot 11 +1\cdot 8 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{c} = 0 $
Die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{c}$ sind also ebenfalls orthogonal zueinander.
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Sind beispielsweise $\overrightarrow{x_1}$ und $\overrightarrow{x_3}$ wie in der Abbildung dargestellt parallel zueinander, können diese nicht orthogonal zueinander sein, obwohl es den Vektor $\overrightarrow{x_2}$ gibt, der jeweils zu beiden orthogonal ist.
Aus der paarweisen Orthogonalität von $\overrightarrow{x_1}$ und $\overrightarrow{x_2}$ sowie $\overrightarrow{x_2}$ und $\overrightarrow{x_3}$ folgt also nicht zwangsläufig die Orthogonalität von $\overrightarrow{x_1}$ und $\overrightarrow{x_3}.$
Die paarweise Orthogonalität ist damit keine hinreichende Bedingung.
Sind umgekehrt zwei Vektoren $x_1$ und $x_3$ orthogonal und man nimmt einen dritten Vektor $x_2$ hinzu, so muss $x_2$ weder orthogonal zu $x_1,$ noch orthogonal zu $x_3$ und damit insbesondere auch nicht paarweise orthogonal zu beiden sein. In der Skizze ist ein solches Beispiel dargestellt. Es ist also nicht zwangsläufig notwendig, dass ein dritter Vektor paarweise orthogonal zu den beiden Vektoren ist.
Die paarweise Orthogonalität zu einem dritten Vektor ist daher auch keine notwendige Bedingung für die Orthogonalität zweier Vektoren.
#skalarprodukt
Bildnachweise [nach oben]
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