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Wahlpflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

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Gegeben sind Vektoren des dreidimensionalen Raumes mit
$\overrightarrow{a} = \pmatrix{2\\-2\\1},$ $\overrightarrow{b} = \pmatrix{3\\1\\-4},$ $\overrightarrow{c} = \pmatrix{7\\11\\8},$ $\overrightarrow{d}=\pmatrix{4\\0\\-3}$
a)
Berechne das Gradmaß des Winkels, den die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{d}$ miteinander einschließen und ermittle die Koordinaten aller Vektoren, die sowohl zum Vektor $\overrightarrow{a}$ als auch zum Vektor $\overrightarrow{d}$ orthogonal verlaufen.
#orthogonal#schnittwinkel
b)
Die Vektoren $\overrightarrow{a}= \overrightarrow{AB} $ und $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{AD}$ spannen das Parallelogramm $ABCD$ auf. Für Punkte $E$ und $F$ gelte $\overrightarrow{DE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.$
Stelle den Vektor $\overrightarrow{EF}$ als Linearkombination der Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{d}$ dar und gib die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{EF}$ an.
#parallelogramm
c)
Die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ sowie $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ verlaufen jeweils orthogonal zueinander.
Weise nach, dass auch die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{c}$ orthogonal zueinander verlaufen.
Begründe unter Verwendung geeignet beschrifteter Skizzen, dass die jeweilige paarweise Orthogonalität von Vektoren $\overrightarrow{x}_1$ und $\overrightarrow{x}_2$ sowie $\overrightarrow{x}_2$ und $\overrightarrow{x}_3$ weder eine notwendige noch eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass die Vektoren $\overrightarrow{x}_1$ und $\overrightarrow{x}_3$ auch orthogonal zueinander verlaufen.
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