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Wahlpflichtaufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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Die gemessene Lufttemperatur unterscheidet sich von der gefühlten Lufttemperatur. Dies hängt hauptsächlich von der Windgeschwindigkeit ab.
Der Zusammenhang zwischen der gemessenen Lufttemperatur und der gefühlten Lufttemperatur kann durch die folgenden stetigen Funktionen annähernd beschrieben werden:
$T_G=f_{T_L}(v)=13,12+0,62\cdot T_L+\left(0,40\cdot T_L-11,37\right)\cdot v^{\frac{1}{6}}$    mit    $\,\,v\geq 5$
und    $-45\leq T_L \leq 10$
Dabei sind:
$T_L$- Maßzahl der in Grad Celsius gemessenen Lufttemperatur
$T_G$- Maßzahl der in Grad Celsius ermittelten gefühlten Lufttemperatur
$v$- Maßzahl der in Kilometer je Stunde gemessenen Windgeschwindigkeit
a)  Berechne $T_G=f_{-5}(20)$ und gib an, welche Information dieses Ergebnis in Bezug auf den Sachverhalt enthält.
Berechne die Windgeschwindigkeit, bei der eine gemessene Lufttemperatur von $-10\,°\text{C}$ eine gefühlte Lufttemperatur von $-20\,°\text{C}$ bewirkt.
Weise nach, dass die Funktionen $f_{T_L}$ monoton fallend sind und interpretiere diese Eigenschaft sachbezogen.
b)  Als Windchill-Effekt wird die Temperaturdifferenz $\Delta T =g_{T_L}(v)=T_L-T_G$ bezeichnet.
Zeige, dass gilt: $g'_0(v)=-f'_0(v)$.
Begründe, dass die Zunahme des Windchill-Effekts für die Temperaturdifferenz $g_0$ mit zunehmender Windgeschwindigkeit kleiner wird.
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a) $\blacktriangleright$ Funktionswert bestimmen
Du hast die Funktion $f_{T_L}(v)$ gegeben, die den Zusammenhang zwischen der Lufttemperatur und der gefühlten Temperatur in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt:
$T_G = f_{T_L}(v)=13,12 + 0,62 \cdot T_L + (0,40 \cdot T_L - 11,37) \cdot v^{\frac{1}{6}}$
Du sollst $f_{-5}(20)$ berechnen. Setze also $T_L=-5$ und $v=20$ in die Funktionsgleichung ein.
$\blacktriangleright$ Windgeschwindigkeit berechnen
Du sollst die Windgeschwindigkeit berechnen, wenn $T_G = -20$ und $T_L=-10$. Setze diese Werte in den Funktionsterm ein und löse nach $v$ auf.
$\blacktriangleright$ Monotonie
Du sollst zeigen, dass die Funktionen $f_{T_L}$ monoton fallend sind. Dafür muss gelten $\boldsymbol{f_{T_L}'(v)\leq 0}$.
Bilder also die erste Ableitung, beachte dann den jeweiligen Definitionsbereich für $v$ und $T_L$ und begründe, warum die erste Ableitung immer negativ ist.
b) $\blacktriangleright$ Gleichheit der Ableitungen zeigen
In diesem Aufgabenteil hast du die Gleichung des Windchill–Effekts gegeben:
$\Delta T = g_{T_L}(v)=T_L - T_G$
Du sollst zeigen, dass $g_{0}'(v) = -f_{0}'(v)$ gilt.
Betrachte zunächst $g_{0}(v)$ und beachte dabei, dass $T_G = f_{T_L}(v)$. Bilde anschließend die Ableitung.
$\blacktriangleright$ Zunahme des Windchill–Effekts
Du sollst nun begründen, warum die Zunahme des Windchill–Effekts bei zunehmender Windgeschwindigkeit kleiner wird.
Die Geschwindigkeit der Zunahme des Effekts wird durch die zweite Ableitung beschrieben. Wenn diese negativ ist, wird die Zunahme kleiner, wenn sie positiv ist, wird die Zunahme größer. Außerdem gilt, dass die Funktion $f_0$ monoton fällt und somit ist $g_0 = -f_0$ monoton steigend, es handelt sich also um eine Zunahme.
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Lösungen
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a) $\blacktriangleright$ Funktionswert bestimmen
Du hast die Funktion $f_{T_L}(v)$ gegeben, die den Zusammenhang zwischen der Lufttemperatur und der gefühlten Temperatur in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt:
$T_G = f_{T_L}(v)=13,12 + 0,62 \cdot T_L + (0,40 \cdot T_L - 11,37) \cdot v^{\frac{1}{6}}$
Du sollst $f_{-5}(20)$ berechnen. Setze also $T_L=-5$ und $v=20$ in die Funktionsgleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} T_G&=&f_{-5}(20) \\[5pt] &=&13,12 + 0,62 \cdot (-5) + (0,40 \cdot (-5) - 11,37) \cdot 20^{\frac{1}{6}}\\[5pt] &\approx&-12,008 \end{array}$
Das bedeutet, dass bei einer Lufttemperatur von -5°C und einer Windgeschwindigkeit von $20\frac{\text{km}}{\text{h}}$ die gefühlte Temperatur bei ungefähr -12°C liegt.
$\blacktriangleright$ Windgeschwindigkeit berechnen
Du sollst die Windgeschwindigkeit berechnen, wenn $T_G = -20$ und $T_L=-10$. Setze diese Werte in den Funktionsterm ein und löse nach $v$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} -20&=&13,12 + 0,62 \cdot (-10) + (0,40 \cdot (-10) - 11,37) \cdot v^{\frac{1}{6}}\\[5pt] -20&=&13,12-6,2-15,37\cdot v^{\frac{1}{6}}\\[5pt] -20&=&6,92-15,37 \cdot v^{\frac{1}{6}}\quad \scriptsize \mid\; -6,92\\[5pt] -26,92 &=&-15,37 \cdot v^{\frac{1}{6}}\quad \scriptsize \mid\; :(-15,37)\\[5pt] 1,7515&\approx&v^{\frac{1}{6}}\quad \scriptsize \mid\; (\ )^6\\[5pt] v&\approx&28,867 \end{array}$
Die Windgeschwindigkeit beträgt $28,867 \frac{\text{km}}{\text{h}}$.
$\blacktriangleright$ Monotonie
Du sollst zeigen, dass die Funktionen $f_{T_L}$ monoton fallend sind. Dafür muss gelten
$\boldsymbol{f_{T_L}'(v)\leq 0}$.
Bilde also die erste Ableitung und schätze anschließend mit Hilfe des Definitionsbereichs ab.
$f'_{T_L}(v) = \dfrac{1}{6} (0,40 \cdot T_L - 11,37) \cdot v^{-\frac{5}{6}}$
Für die Geschwindigkeit gilt $v \geq 5$. Somit ist $v^{-\frac{5}{6}}>0$. Bleibt der Teil in den Klammern zu prüfen:
$\begin{array}[t]{rll} 0,40 \cdot T_L - 11,37&\stackrel{!}{<}& 0\quad \scriptsize \mid\;+11,37 \\[5pt] 0,40 \cdot T_L& < &11,37\quad \scriptsize \mid\;:0,4\\[5pt] T_L & < & 28,425 \end{array}$
Für $T_L$ ist der Definitionsbereich $-45 \leq T_L \leq 10$ gegeben und $10 < 28,425$, somit ist die Bedingung für monoton fallend erfüllt.
$\blacktriangleright$ Interpretation
Da f monoton fallend ist, wird der Funktionswert immer kleiner für größer werdende $x$–Werte. Deshalb gilt, je höher die Windgeschwindigkeit, desto kälter fühlt sich die Lufttemperatur an.
b) $\blacktriangleright$ Gleichheit der Ableitungen zeigen
In diesem Aufgabenteil hast du die Gleichung des Windchill–Effekts gegeben:
$\Delta T = g_{T_L}(v)=T_L - T_G$
Du sollst zeigen, dass $g_{0}'(v) = -f_{0}'(v)$ gilt.
Betrachte zunächst $g_{0}(v)$ und beachte dabei, dass $T_G = f_{T_L}(v)$. Bilde anschließend die Ableitung.
$\begin{array}[t]{rll} g_{0}(v)&=&0-T_G = -f_{0}(v) \\[5pt] g_{0}'(v)&=&-f_{0}'(v) \end{array}$
$\blacktriangleright$ Zunahme des Windchill–Effekts
Du sollst nun begründen, warum die Zunahme des Windchill–Effekts bei zunehmender Windgeschwindigkeit kleiner wird.
Die Geschwindigkeit der Zunahme des Effekts wird durch die zweite Ableitung beschrieben. Wenn diese negativ ist, wird die Zunahme kleiner, wenn sie positiv ist, wird die Zunahme größer. Außerdem gilt, dass die Funktion $f_0$ monoton fällt und somit ist $g_0 = -f_0$ monoton steigend, es handelt sich also um eine Zunahme.
Zeige also, dass $g_0''(v)<0$:
$\begin{array}[t]{rll} g_0''(v)&=&-f_0''(v) \\[5pt] &=&-\left(- \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{5}{6} (- 11,37) \cdot v^{-\frac{11}{6}}\right)\\[5pt] &=&- \dfrac{5}{36}\cdot 11,37 \cdot v^{-\frac{11}{6}} < 0 \end{array}$
Da $g_0''(v)< 0$ wird die Zunahme des Windchill–Effekts bei zunehmender Windgeschwindigkeit kleiner.
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