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Pflichtaufgabe 1 - Analysis

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Gegeben sind die Funktionen $f_b$ mit $y= f_b(x)=(b^2-x^2)\cdot(b+x)^2$,
$ x \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, b> 0$.
Ihre Graphen seien $G_b$.
a)
Ermittle die Nullstelle der Funktionen $f_b$ und untersuche das Verhalten der Funktionen $f_b$ für $x \rightarrow \pm \infty $.
Jeder der Graphen $G_b$ besitzt genau einen lokalen Extrempunkt und genau zwei Wendepunkte.
Weise nach, dass die Punkte $P_b(\frac{1}{2}\cdot b\;|\; f_b(\frac{1}{2}\cdot b))$ diese lokalen Extrempunkte sind und bestimme die Art des Extremums.
Tipp
Zur Kontrolle: $f'_b(x)=-4x^3-6bx^2+2b^3$
Tipp
Zur Kontrolle: $f'_b(x)=-4x^3-6bx^2+2b^3$
Ermittle eine Gleichung der Ortskurve der lokalen Extrempunkte.
Berechne die Koordinaten der Wendepunkte der Graphen $G_b$.
Zeichne den Graphen $G_1$ im Intervall $-2\leq x\leq1,5$.
Die Graphen $G_b$ schließen jeweils mit der x-Achse eine Fläche vollständig ein. Ermittle mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche in Abhängigkeit von Parameter b.
#intervall#extrempunkt#nullstelle#wendepunkt
b)
Die Abbildung zeigt den Querschnitt einer Rinne, die aus drei Brettern der gleichen Breite b gebildet werden soll. Die Querschnittsfläche dieser Rinne hat die Form eines Trapezes und soll maximal werden.
Abb. 1: nicht maßstäblich
Abb. 1: nicht maßstäblich
Zeige, dass $A_b(x)= \sqrt{b^2-x^2}$ $ \cdot (b+x)$ Gleichung einer Zielfunktion dieser Extremwertproblematik ist und gib einen zugehörigen Definitionsbereich für diese Funktion an.
Jede der Funktionen $A_b$ besitzt genau eine lokale Extremstelle und zwar die Maximumstelle $x_E=\frac{1}{2}\cdot b$.
Ermittle die Höhe h der Rinne mit maximaler Querschnittsfläche in Abhängigkeit von b.
#trapez#extrempunkt
c)
Es sei g eine beliebige differenzierbare Funktion und die Funktion z sei durch $z(x)=[g(x)]^2$ definiert.
Beurteile die folgende Aussage:
Für alle Funktionen gilt: Jede lokale Extremstelle der Funktion z ist auch lokale Extremstelle der Funktion g.
#extrempunkt
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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