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Lernbereich Abitur eA
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Pflichtaufgabe 2 - An...
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Wahlpflichtaufgabe 1 ...
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Pflichtaufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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Gegeben sind die Funktionen $f_b$ mit $y= f_b(x)=(b^2-x^2)\cdot(b+x)^2$,
$ x \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, b> 0$.
Ihre Graphen seien $G_b$.
a)
Ermittle die Nullstelle der Funktionen $f_b$ und untersuche das Verhalten der Funktionen $f_b$ für $x \rightarrow \pm \infty $.
Jeder der Graphen $G_b$ besitzt genau einen lokalen Extrempunkt und genau zwei Wendepunkte.
Weise nach, dass die Punkte $P_b(\frac{1}{2}\cdot b\;|\; f_b(\frac{1}{2}\cdot b))$ diese lokalen Extrempunkte sind und bestimme die Art des Extremums.
Tipp
Zur Kontrolle: $f'_b(x)=-4x^3-6bx^2+2b^3$
Tipp
Zur Kontrolle: $f'_b(x)=-4x^3-6bx^2+2b^3$
Ermittle eine Gleichung der Ortskurve der lokalen Extrempunkte.
Berechne die Koordinaten der Wendepunkte der Graphen $G_b$.
Zeichne den Graphen $G_1$ im Intervall $-2\leq x\leq1,5$.
Die Graphen $G_b$ schließen jeweils mit der x-Achse eine Fläche vollständig ein. Ermittle mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche in Abhängigkeit von Parameter b.
#intervall#extrempunkt#nullstelle#wendepunkt
b)
Die Abbildung zeigt den Querschnitt einer Rinne, die aus drei Brettern der gleichen Breite b gebildet werden soll. Die Querschnittsfläche dieser Rinne hat die Form eines Trapezes und soll maximal werden.
Pflichtaufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: nicht maßstäblich
Pflichtaufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: nicht maßstäblich
Zeige, dass $A_b(x)= \sqrt{b^2-x^2}$ $ \cdot (b+x)$ Gleichung einer Zielfunktion dieser Extremwertproblematik ist und gib einen zugehörigen Definitionsbereich für diese Funktion an.
Jede der Funktionen $A_b$ besitzt genau eine lokale Extremstelle und zwar die Maximumstelle $x_E=\frac{1}{2}\cdot b$.
Ermittle die Höhe h der Rinne mit maximaler Querschnittsfläche in Abhängigkeit von b.
#trapez#extrempunkt
c)
Es sei g eine beliebige differenzierbare Funktion und die Funktion z sei durch $z(x)=[g(x)]^2$ definiert.
Beurteile die folgende Aussage:
Für alle Funktionen gilt: Jede lokale Extremstelle der Funktion z ist auch lokale Extremstelle der Funktion g.
#extrempunkt
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a)
$\blacktriangleright$  Nullstellen der Funktion $\boldsymbol{f_b}$ berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Nullstellen der Funktion $f_b(x)=(b^2-x^2)\cdot(b+x)^2 $ berechnen. Gesucht sind also die $x$-Werte, für die $f_b(x)=0$ ist. Dazu kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden.
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Löse also die beiden Gleichungen $b^2-x^2=0$ und $b+x=0$ nach $x$ auf.
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktion $\boldsymbol{f_b}$ für $\boldsymbol{x \longrightarrow \infty}$ untersuchen
Am einfachsten ist es, wenn du als erstes den Funktionsterm ausmultiplizierst und anschließend das Verhalten der Funktion $f_b$ für $x\longrightarrow \infty $ betrachtest. Eine ganzrationale Funktion vierten Grades strebt gegen $\infty$ wenn $x \longrightarrow \infty$.
$\blacktriangleright$  Extrempunkte nachweisen
In dieser Aufgabe sollst du nachweisen, dass die Punkte $P_b\left(\frac{1}{2}b\;\,\bigg \vert \,\;f_b\left(\frac{1}{2}b\right)\right)$ die Extrempunkte des Graphen von $f_b$ sind.
Du hast die Funktion $f_b$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f_b''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f_b''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f_b'$ und $f_b''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_b'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f_b''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
$\blacktriangleright$  Gleichung der Ortskurve der lokalen Extrempunkte aufstellen
Du weißt bereits, dass sich die lokalen Extrempunkte an den Stellen $x_b =\frac{1}{2}b $ befinden. Forme diese Gleichung nach $b$ um. Anschließend kannst du dieses Ergebnis in die $y$-Koordinate der Extrempunkte einsetzen.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Wendepunkte der Graphen $\boldsymbol{G_b}$ berechnen
Der Graph der Funktion $f_b$ hat an der Stelle $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
$f''(x_0)=0$ und $f'''(x_0)\neq 0$
$f''(x_0)=0$ und $f'''(x_0)\neq 0$
Berechne dazu als erstes die Nullstellen der zweiten Ableitung der Funktion $f_b$ und überprüfe anschließend mit der dritten Ableitung, ob es sich um Wendepunkte handelt. In der vorherigen Aufgabe hast du schon berechnet, dass $f''(-b)=0$ ist. An dieser Stelle könnte somit der Graph der Funktion einen Wendepunkt haben.
$\blacktriangleright$  Graphen $\boldsymbol{G_1}$ skizzieren
Die Funktionsgleichung für $b=1$ lautet: $f_1(x)=(1-x^2)(1+x)^2$
Zeichne die in den Aufgaben bestimmten Punkte in die Skizze des Graphen $G_1$ ein.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt in Abhängigkeit von b berechnen
In dieser Aufgabe sollst du den Inhalt der Fläche berechnen, die durch den Graph $G_b$ und die $x$-Achse begrenzt wird. Die Grenzen des Intervalls sind somit die Nullstellen des Graphen $G_b$. Bilde dazu als erstes eine Stammfunktion der Funktion $f_b$ und berechne anschließend den Flächeninhalt.
Beide Nullstellen hast du bereits berechnet: $x_1= -b$ und $x_2 = b$.
b)
$\blacktriangleright$  Zielfunktion bestimmen
In dieser Aufgabe ist die Querschnittsfläche eines Trapezes gegeben und diese soll maximal werden. Stelle also eine Funktion für den Flächeninhalt des Trapezes in Abhängigkeit von $x$ und $b$ auf. Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet:
$A_{\text{Trapez}}=\frac{1}{2}(a+c)h $
$A_{Trapez}=\frac{1}{2}(a+c)h $
In dieser Aufgabe sind:
$a=b+2x$
$c=b$
Setze $a$ und $c$ jetzt in die Gleichung ein.
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich der Zielfunktion bestimmen
Da unter einem Wurzelzeichen keine negativen Zahlen stehen dürfen, muss $b^2-x^2\geq0$ sein.
$\blacktriangleright$  Höhe der Rinne ermitteln
In einer vorherigen Aufgabe hast du berechnet, dass die Höhe $h=\sqrt{b^2-x^2} $ ist. Um nun die maximale Höhe auszurechnen, setzt du für $x_E=\frac{1}{2}b$ in die Gleichung ein, denn aus der Aufgabenstellung weißt du, dass der Graph der Funktion $A_b$ an dieser Stelle ein Maximum hat.
c)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
In dieser Aufgabe sollst du die Aussage beurteilen, dass jede lokale Extremstelle der Funktion $z$ auch lokale Extremstelle der Funktion $g$ ist, wobei gilt $z(x)=[g(x)]^2$.
Diese Aussage kannst du widerlegen, indem du eine Funktion $g$ findest, für die die Aussage nicht zutrifft.
Anschließend kannst du die beiden Funktionen ableiten und berechnen, ob die Ableitungen die gleichen Nullstellen haben.
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a)
$\blacktriangleright$  Nullstellen der Funktion $\boldsymbol{f_b}$ berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Nullstellen der Funktion $f_b(x)=(b^2-x^2)\cdot(b+x)^2 $ berechnen. Gesucht sind also die $x$-Werte, für die $f_b(x)=0$ ist. Dazu kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden.
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Löse also die beiden Gleichungen $b^2-x^2=0$ und $b+x=0$ nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} b^2-x^2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +x^2 \mid\;\sqrt\; \\[5pt] x_1&=&-b \\[5pt] x_2&=& b \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b+x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-b \\[5pt] x_3&=&-b \end{array}$
$f_b$ hat zwei Nullstellen $x_1 = -b$ und $x_2 = b$. Die Nullstelle $x_1$ ist eine doppelte Nullstelle.
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktion $\boldsymbol{f_b}$ für $\boldsymbol{x \longrightarrow \infty}$ untersuchen
Am einfachsten ist es, wenn du als erstes den Funktionsterm ausmultiplizierst und anschließend das Verhalten der Funktion $f_b$ für $x\longrightarrow \infty $ betrachtest.
$\begin{array}[t]{rll} f_b(x)&=&(b^2-x^2)\cdot(b+x)^2 \\[5pt] &=&(b^2-x^2)(b^2+2bx+x^2) \\[5pt] &=&b^4+2b^3x+b^2x^2-x^2b^2-2bx^3-x^4 \\[5pt] &=&-x^4-2x^3b+2xb^3+b^4 \\[5pt] &=&-(x^4+2x^3b-2xb^3-b^4) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_b(x) &=& \end{array}$
Bei dem Term innerhalb der Klammer handelt es sich um den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vierten Grades. Eine ganzrationale Funktion vierten Grades strebt gegen $\infty$ wenn $x \longrightarrow \infty$. Da die Klammer aber ein negatives Vorzeichen hat, bedeutet das:
$\lim\limits_{x\to\infty}\;f_n(x) =-\infty$
$\blacktriangleright$  Extrempunkte nachweisen
In dieser Aufgabe sollst du nachweisen, dass die Punkte $P_b\left(\frac{1}{2}b\;\,\bigg \vert \,\;f_b\left(\frac{1}{2}b\right)\right)$ die Extrempunkte des Graphen von $f_b$ sind.
Du hast die Funktion $f_b$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f_b''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f_b''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f_b'$ und $f_b''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_b'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f_b''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_b(x)&=&-x^4-2x^3b+2xb^3+b^4 \\[10pt] f'_b(x)&=& -4x^3-6x^2b+2b^3\\[10pt] f''_b(x)&=& -12x^2-12bx \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
Um die Nullstellen zu berechnen, musst du als erstes eine Nullstelle durch probieren bestimmen und dann mit der Polynomdivision auf die anderen Nullstellen schließen. Eine Nullstelle ist $x_1=-b$. Teile somit den Funktionsterm durch $(x+b)$.
$\begin{array}[t]{rll} (-4x^3&-&6x^2b&+& 2b^3)& : & (x+b)&=&-4x^2 & -& 2bx & + & 2b^2 \\[5pt] -(-4x^3& - & 4bx^2) \\[5pt] & - & 2bx^2 & + & 2b^3 \\[5pt] & -& (-2bx^2&-&2b^2x) \\[5pt] & & & &2b^2x&+&2b^3 \\[5pt] & & & -&(2b^2x &+& 2b^3) \\[5pt] & & & & &&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &=&-4x^2 & -& 2bx & + & 2b^2 \\[5pt] \end{array}$
Du kannst nun die $p$-$q$-Formel anwenden, um die weiteren Nullstellen zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} 0& =&-4x^2-2bx+2b^2 & \quad \mid\; :(-4) \\[5pt] 0& =&x^2+\frac{1}{2}bx - \frac{1}{2}b^2 \\[5pt] x_{2,3}&=&- \dfrac{\frac{1}{2}b}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{\frac{1}{2}b}{2}} \right)^2 + \frac{1}{2}b^2} \\[5pt] &=& -\frac{1}{4}b \pm \sqrt {{\frac{1}{16}b^2} + \frac{8}{16}b^2} \\[5pt] &=& -\frac{1}{4}b \pm \frac{3}{4}b\\[5pt] x_1&=& -\frac{1}{4}b + \frac{3}{4}b\\[5pt] &=& \frac{1}{2}b \\[5pt] x_2&=& -\frac{1}{4}b - \frac{3}{4}b\\[5pt] &=& -\frac{1}{4}b \pm \frac{3}{4}b\\[5pt] \end{array}$
Zwei weitere Stellen, an denen Extrempunkte sein könnten sind $x_2=-b$ und $x_3=\frac{1}{2}b$. Wobei es sich an der Stelle $x=-b$ um eine doppelte Nullstelle handelt.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Um nun zu prüfen, ob es sich tatsächlich um Extremstellen handelt, bestimmst du die zweite Ableitungsfunktion und setzt die möglichen Werte für $x$ in den Funktionsterm ein. Ist $f_b''(x)=0$ handelt es sich um keine Extremstelle.
$f''_b(x)= -12x^2-12bx $
$f''_b(-b)=-12(-b)^2-12(-b)b = -12b^2+12b^2 =0 $
$f''_b(-b)=0 $
$f''_b\left(\frac{1}{2}b\right) = -12\left(\frac{1}{2}b\right)^2-12b\cdot \frac{1}{2}b = -3b^2-6b^2= -9b^2 \neq 0 $ da $b>0$
$f''_b\left(\frac{1}{2}b\right)\neq 0 $ da $b> 0$
Da der Graph der Funktion an der Stelle $x_1=-b$ keinen Extrempunkt besitzt, sind alle möglichen Extrempunkte im Punkt $P_b\left(\frac{1}{2}b\;\,\bigg \vert \,\;f_b\left(\frac{1}{2}b\right)\right)$. Da die zweite Ableitung an der Stelle $x_2=-9b^2$ auf jeden fall negativ ist, handelt es sich um Hochpunkte.
$\blacktriangleright$  Gleichung der Ortskurve der lokalen Extrempunkte aufstellen
Du weißt bereits, dass sich die lokalen Extrempunkte an den Stellen $x_b =\frac{1}{2}b $ befinden. Forme diese Gleichung nach $b$ um. Anschließend kannst du dieses Ergebnis in die $y$-Koordinate der Extrempunkte einsetzen.
1. Schritt: Gleichung umstellen
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \frac{1}{2}b &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] 2x&=&b \end{array}$
2. Schritt: $\boldsymbol{b=2x}$ in die Funktionsgleichung einsetzen
Berechne zunächst die $y$-Koordinaten der Extrempunkte:
$\begin{array}[t]{rll} f_b\left(\frac{1}{2}b\right)&=&\left(\left(2\cdot \frac{1}{2}b\right)^2-\left(\frac{1}{2}b\right)^2\right)\left(2\cdot \frac{1}{2}b+\frac{1}{2}b\right)^2 \\[5pt] &=& \left(b^2-\frac{1}{4}b^2\right)\left(\frac{3}{2}b\right)^2 \\[5pt] &=& \frac{3}{4}b^2 \cdot \frac{9}{4}b^2 \\[5pt] &=& \frac{27}{16}b^4 \\[5pt] \end{array}$
$ f_b\left(\frac{1}{2}b\right) = \frac{27}{16}b^4 $
$\begin{array}[t]{rll} y_b&=& \frac{27}{16}b^4 &\quad \scriptsize \mid\; b=2x \\[5pt] y_b&=& \frac{27}{16}(2x)^4 \\[5pt] &=& 27x^4 \end{array}$
Die Ortskurve der lokalen Extrempunkte hat die Gleichung $y=27x^4$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Wendepunkte der Graphen $\boldsymbol{G_b}$ berechnen
Der Graph der Funktion $f_b$ hat an der Stelle $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
$f''(x_0)=0$ und $f'''(x_0)\neq 0$
$f''(x_0)=0$ und $f'''(x_0)\neq 0$
Berechne dazu als erstes die Nullstellen der zweiten Ableitung der Funktion $f_b$ und überprüfe anschließend mit der dritten Ableitung, ob es sich um Wendepunkte handelt. In der vorherigen Aufgabe hast du schon berechnet, dass $f''(-b)=0$ ist. An dieser Stelle könnte somit der Graph der Funktion einen Wendepunkt haben.
1. Schritt: Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-12x^2-12bx \\[5pt] 0&=&x(-12x - 12b) &\quad \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] x&=&0 \\[5pt] x&=&-b \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x&=&-b \end{array}$
An der Stelle $x=-b$ könnte der Graph der Funktion einen Wendepunkt haben.
2. Schritt: Überprüfen, ob ein Wendepunkt vorliegt
$f'''_b(x)= -24x -12b $
$f'''_b(0)= -24\cdot 0 - 12b = -12b$
$f'''_b(-b)= -24(-b) -12b = 24b-12b= 12b$
$f'''_b(-b)= 12b$
Der Graph der Funktion $f$ hat in den Punkt $W1(0\;|\; f(0))$ und $W2(-b\;|\;f(-b))$ jeweils einen Wendepunkt.
$\blacktriangleright$  Graphen $\boldsymbol{G_1}$ skizzieren
Die Funktionsgleichung für $b=1$ lautet: $f_1(x)=(1-x^2)(1+x)^2$
Zeichne die in den Aufgaben bestimmten Punkte in die Skizze des Graphen $G_1$ ein.
Pflichtaufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Skizze des Graphen $G_1$
Pflichtaufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Skizze des Graphen $G_1$
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt in Abhängigkeit von b berechnen
In dieser Aufgabe sollst du den Inhalt der Fläche berechnen, die durch den Graph $G_b$ und die $x$-Achse begrenzt wird. Die Grenzen des Intervalls sind somit die Nullstellen des Graphen $G_b$. Bilde dazu als erstes eine Stammfunktion der Funktion $f_b$ und berechne anschließend den Flächeninhalt.
Beide Nullstellen hast du bereits berechnet: $x_1= -b$ und $x_2 = b$.
1. Schritt: Stammfunktion bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_b(x)&=& (b^2-x^2)\cdot(b+x)^2 \\[5pt] &=& (b^2-x^2)\cdot(b^2+2bx +x^2) \\[5pt] &=& -x^4-2x^3b+2xb^3+b^4 \\[5pt] \end{array}$
$F_b(x)=-\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{4}x^4b+\frac{2}{2}x^2b^3+xb^4 = -\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{2}x^4b+x^2b^3+xb^4 $
$F_b(x) = -\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{2}x^4b+x^2b^3+xb^4 $
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-b}^{b} f(x) \; \mathrm dx&=& \left[-\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{2}x^4b+x^2b^3+xb^4 \right]_{-b}^b \\[5pt] &=&\left(-\frac{1}{5}b^5-\frac{1}{2}b^4b+b^2b^3+bb^4 \right)-\left(-\frac{1}{5}(-b)^5-\frac{1}{2}(-b)^4b+(-b)^2b^3+(-b)b^4 \right) \\[5pt] &=&-\frac{1}{5}b^5-\frac{1}{2}b^5+b^5+b^5 - \frac{1}{5}b^5+\frac{1}{2}b^5 -b^5 + b^5 \\[5pt] &=&-\frac{1}{5}b^5 -\frac{1}{5}b^5 + b^5 \\[5pt] &=& \frac{8}{5}b^5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-b}^{b}\; f(x) \mathrm dx&=& \frac{8}{5}b \end{array}$
Die Kurve $f_b(x)$ und die $x$-Achse schließen eine Fläche mit dem Flächeninhalt $\frac{8}{5}b\,\text{[FE]}$ ein.
#integral#satzvomnullprodukt#ableitung#wendepunkt#extrempunkt
b)
$\blacktriangleright$  Zielfunktion bestimmen
In dieser Aufgabe ist die Querschnittsfläche eines Trapezes gegeben und diese soll maximal werden. Stelle also eine Funktion für den Flächeninhalt des Trapezes in Abhängigkeit von $x$ und $b$ auf. Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet:
$A_{\text{Trapez}}=\frac{1}{2}(a+c)h $
$A_{Trapez}=\frac{1}{2}(a+c)h $
In dieser Aufgabe sind:
$a=b+2x$
$c=b$
Wenn du $a$ und $c$ jetzt in die Gleichung einsetzt erhältst du:
$A_{Trapez}=\frac{1}{2}(b+2x+b)h = (b+x)h$
Um $h$ in Abhängigkeit von $b$ und $x$ darzustellen, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden. Löse die Gleichung nach $h$ auf und setze sie in die Formel für den Flächeninhalt ein.
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=&h^2+x^2 &\quad \scriptsize \mid\; -b^2 \mid\;-h^2 \\[5pt] -h^2&=&x^2-b^2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \mid\;\sqrt\; \\[5pt] h&=&\sqrt{b^2-x^2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_b(x)&=&(b+x)\sqrt{b^2-x^2} \end{array}$
Somit hast du gezeigt, dass $A_b(x)=(b+x)\sqrt{b^2-x^2}$ die Zielfunktion des Extremwertproblems ist.
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich der Zielfunktion bestimmen
Da unter einem Wurzelzeichen keine negativen Zahlen stehen dürfen, muss $b^2-x^2\geq0$ sein. Da x und b quadriert werden folgt daraus, dass $|x|\leq|b|$ sein muss.
Der Definitionsbereich ist somit $D=\{x\in \mathbb{R} \setminus \{|x|\leq|b|\}\}$
$\blacktriangleright$  Höhe der Rinne ermitteln
In einer vorherigen Aufgabe hast du berechnet, dass die Höhe $h=\sqrt{b^2-x^2} $ ist. Um nun die maximale Höhe auszurechnen, setzt du für $x_E=\frac{1}{2}b$ in die Gleichung ein, denn aus der Aufgabenstellung weißt du, dass der Graph der Funktion $A_b$ an dieser Stelle ein Maximum hat.
$\begin{array}[t]{rll} h&=&\sqrt{b^2-(\frac{1}{2}b)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{b^2-\frac{1}{4}b^2} \\[5pt] &=&\sqrt{\frac{3}{4}b^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}b \end{array}$
Die Höhe der maximalen Querschnittsfläche in Abhängigkeit von b ist $h=\frac{\sqrt{3}}{2}b$
#definitionsbereich#trapez#satzdespythagoras
c)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
In dieser Aufgabe sollst du die Aussage beurteilen, dass jede lokale Extremstelle der Funktion $z$ auch lokale Extremstelle der Funktion $g$ ist, wobei gilt $z(x)=[g(x)]^2$.
Diese Aussage kannst du widerlegen, indem du eine Funktion $g$ findest, für die die Aussage nicht zutrifft.
Eine mögliche Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Die Funktionsgleichung von $z$ lautet dann: $z(x)=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1$.
Jetzt kannst du die beiden Funktionen ableiten und berechnen, ob die Ableitungen die gleichen Nullstellen haben.
$g'(x)= 2x$
$z'(x)= 4x^3-4x$
Das Schaubild der Ableitung $g'$ hat nur eine Nullstelle, nämlich bei $x_1= 0$. Das Schaubild der Ableitung $z'$ hat aber mindestens zwei Nullstellen, welche du direkt ablesen kannst. Die erste befindet sich an der Stelle $x_2 =0$ und die zweite an der Stelle $x_3 =1$.
Somit hat die Funktion $z$ mindestens eine Extremstelle mehr als die Funktion $g$ und du hast gezeigt, dass die Aussage nicht gilt.
#ableitung#nullstelle
Bildnachweise [nach oben]
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