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Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

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Die Feststellung des Geschlechts eines Säuglings werde als Zufallsversuch angesehen. Aufgrund langjähriger Beobachtung in einer Region wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Knaben $0,5$ beträgt.
a)
Begründe, dass man diesen Zufallsversuch als BERNOULLI-Versuch und auch als LAPLACE-Versuch ansehen kann.
#laplaceexperiment#bernoullikette
b)
Die Zufallsgrößen $X_n$ beschreiben jeweils die Anzahl von Knabengeburten in einer Stichprobe von $n$ Geburten und werden als binomialverteilt angesehen ($X_n \sim B_{n, 0,5}$).
#binomialverteilung
$\,$
Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße $X_{1.000}$.
Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
    A: Von $100$ Geborenen sind höchstens $50$ Knaben.
    B: Von $80$ Geborenen sind genau $45$ Knaben.
    C: Von $25$ Geborenen sind mehr als die Hälfte Knaben.
#erwartungswert#wahrscheinlichkeit
$\,$
Ein Ereignis $D$ trete ein, wenn gilt: $475\leq X_{1.000} \leq 525$
$\,$
Zeige durch Herleitung, dass für die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses $D$ unter Verwendung der Standardnormalverteilung gilt:
$P(D)\approx 2 \cdot \Phi \left(\frac{25,5}{250}\right) -1$
Berechne die Wahrscheinlichkeit $P(D)$ und gib eine verbale Formulierung für das Ereignis $D$ im Sachzusammenhang an.
Ermittle die Mindestanzahl an Geburten, unter denen sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\; \%$ ein Knabe befindet.
#wahrscheinlichkeit
c)
Aus einer aktuellen statistischen Erhebung wird die Vermutung abgeleitet, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Knabengeburt größer als $50\; \%$ ist. Diese Vermutung soll unter 100 Geburten in einem Signifikanztest mit der Nullhypothese $H_0:p=0,5$ und der Gegenhypothese $H_1: p> 0,5$ auf dem Signifikanzniveau von $\alpha=1\%$ überprüft werden.
#hypothesentest#wahrscheinlichkeit#signifikanzniveau
$\,$
Ermittle den größtmöglichen Ablehnungsbereich $\overline{A}$ der Nullhypothese.
In der Überprüfung wurden unter $100$ Geburten $62$ Knabengeburten registriert. Beurteile folgende Schlussfolgerung:
Da $62 \notin \overline{A}$, ist mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von nicht mehr als $1\; \%$ weiter davon auszugehen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Knabengeburt $50\; \%$ beträgt.
#hypothesentest#wahrscheinlichkeit
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