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Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

Aufgaben
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Die Feststellung des Geschlechts eines Säuglings werde als Zufallsversuch angesehen. Aufgrund langjähriger Beobachtung in einer Region wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Knaben $0,5$ beträgt.
a)
Begründe, dass man diesen Zufallsversuch als BERNOULLI-Versuch und auch als LAPLACE-Versuch ansehen kann.
#laplaceexperiment#bernoullikette
b)
Die Zufallsgrößen $X_n$ beschreiben jeweils die Anzahl von Knabengeburten in einer Stichprobe von $n$ Geburten und werden als binomialverteilt angesehen ($X_n \sim B_{n, 0,5}$).
#binomialverteilung
$\,$
Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße $X_{1.000}$.
Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
    A: Von $100$ Geborenen sind höchstens $50$ Knaben.
    B: Von $80$ Geborenen sind genau $45$ Knaben.
    C: Von $25$ Geborenen sind mehr als die Hälfte Knaben.
#erwartungswert#wahrscheinlichkeit
$\,$
Ein Ereignis $D$ trete ein, wenn gilt: $475\leq X_{1.000} \leq 525$
$\,$
Zeige durch Herleitung, dass für die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses $D$ unter Verwendung der Standardnormalverteilung gilt:
$P(D)\approx 2 \cdot \Phi \left(\frac{25,5}{250}\right) -1$
Berechne die Wahrscheinlichkeit $P(D)$ und gib eine verbale Formulierung für das Ereignis $D$ im Sachzusammenhang an.
Ermittle die Mindestanzahl an Geburten, unter denen sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\; \%$ ein Knabe befindet.
#wahrscheinlichkeit
c)
Aus einer aktuellen statistischen Erhebung wird die Vermutung abgeleitet, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Knabengeburt größer als $50\; \%$ ist. Diese Vermutung soll unter 100 Geburten in einem Signifikanztest mit der Nullhypothese $H_0:p=0,5$ und der Gegenhypothese $H_1: p> 0,5$ auf dem Signifikanzniveau von $\alpha=1\%$ überprüft werden.
#hypothesentest#wahrscheinlichkeit#signifikanzniveau
$\,$
Ermittle den größtmöglichen Ablehnungsbereich $\overline{A}$ der Nullhypothese.
In der Überprüfung wurden unter $100$ Geburten $62$ Knabengeburten registriert. Beurteile folgende Schlussfolgerung:
Da $62 \notin \overline{A}$, ist mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von nicht mehr als $1\; \%$ weiter davon auszugehen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Knabengeburt $50\; \%$ beträgt.
#hypothesentest#wahrscheinlichkeit
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$  Arten des Zufallversuchs begründen
Du sollst begründen, dass der Zufallsversuch, über die Geburt eines Knaben, sowohl als Bernoulli-Versuch, als auch als Laplace-Versuch behandelt werden kann.
Bei einem Bernoulli-Versuch gibt es nur zwei mögliche Ausgänge. Begründe also, ob dies hier gegeben ist.
Aufgrund der langjährigen Studie kannst du davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit einen Knaben zu gebären konstant bei $0,5=50\%$ liegt. Ebenso gibt es nur zwei Möglichkeiten, wie das Geschlecht des Säuglings ausfallen kann. Es handelt sich entweder um einen Knaben oder um ein Mädchen.
Für Laplace-Versuche sind die Wahrscheinlichkeiten von allen möglichen Ausgängen des Experiments gleich. Es kann entweder ein Junge oder ein Mädchen geboren werden.
b)
$\blacktriangleright$  Erwartungswert berechnen
Du sollst den Erwartungswert der Zufallsgröße $X_{1.000}$ berechnen. Da die Zufallsgrößen $X_n$ laut Aufgabenstellung binomialverteilt sind, kannst du den Erwartungswert mit folgender Formel berechnen:
$E(X) = n\cdot p$
$E(X) = n\cdot p$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit zu drei Ereignissen berechnen
Du sollst Wahrscheinlichkeiten zu drei Ereginissen einer binomialverteilten Zufallsvariable $X_n$ berechnen. Dazu benutzt du die Bernoulli-Formel mit $k$ Knaben aus $n$ Geburten, bei einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,5$:
$P(X=k)=B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k)=$
Ereignis $\boldsymbol{A}$: Von $\boldsymbol{100}$ Geborenen sind höchstens $\boldsymbol{50}$ Knaben
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei hundert Geburten höchstens fünfzig Knaben geboren werden. Dazu betrachtest du die Zufallsvariable $X_{100}$ und bestimmst mit der Bernoulli-Formel die Wahrscheinlichkeit.
Zur Berechnung der Summe, kannst du die Tabellen zur kumulierten Binomialverteilung aus deiner Formelsammlung verwenden.
Ereignis $\boldsymbol{B}$: Von $\boldsymbol{80}$ Geborenen sind genau $\boldsymbol{45}$ Knaben
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei $80$ Geburten genau $45$ Knaben geboren werden. Du betrachtest $X_{80}$ und verwendest erneut die Bernoulli-Formel.
Ereignis $\boldsymbol{C}$: Von $\boldsymbol{25}$ Geborenen sind mehr als die Hälfte Knaben
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mehr als die Hälfte von $25$ Säuglingen ($13$ oder mehr) Knaben sind. Mit der Bernoulli-Formel kannst du diese Wahrscheinlichkeit ermitteln.
Zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit mit der Tabelle aus der Formelsammlung, betrachtest du das Gegenereignis.
c)
$\blacktriangleright$  Hypothesentest durchführen
Du sollst den Ablehnungsbereich $\bar{A}$ bezüglich einer Nullhypothese und einer Alternativhypothese bestimmen. Aus der Aufgabenstellung hast du diese zwei Hypothesen gegeben:
$H_1$: $p>0,5$
Da $p>p_0$ liegt ein rechtsseitiger Test vor. Der Ablehnungsbereich hat also die Form $ \overline{A} = [k,…,n]$. Du musst also die Grenze $k$ bestimmen. Nutze dazu das Signifikanzniveau $\alpha$. Dieses besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im Ablehnungsbereich, obwohl die Nullhypothese gilt, höchstens $1\,\%$ betragen soll. Mit Hilfe dieser Aussage, kannst du eine Ungleichung aufstellen. Gesucht ist das kleinste $k$, das gerade noch so diese Ungleichung erfüllt.
Mit dem Gegenereignis kannst du die Ungleichung wieder umschreiben um mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung arbeiten zu können.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art berechnen
Du sollst zur Aussage stellungnehmen, dass bei $62$ Knaben aus $100$ Geburten, die Wahrscheinlichkeit an einer falschen Nullhypothese festzuhalten kleiner als $1\%$ ist. Du berechnest hierzu die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art $\beta$. Für den Fehler 2. Art verwendest du die „tatsächliche“ Wahrscheinlichkeit. Diese erhältst du aus dem Quotienten der Geburten.
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Arten des Zufallversuchs begründen
Du sollst begründen, dass der Zufallsversuch, über die Geburt eines Knaben, sowohl als Bernoulli-Versuch, als auch als Laplace-Versuch behandelt werden kann.
Bei einem Bernoulli-Versuch gibt es nur zwei mögliche Ausgänge. Begründe also, ob dies hier gegeben ist.
Aufgrund der langjährigen Studie kannst du davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit einen Knaben zu gebären konstant bei $0,5=50\%$ liegt. Ebenso gibt es nur zwei Möglichkeiten, wie das Geschlecht des Säuglings ausfallen kann. Es handelt sich entweder um einen Knaben oder um ein Mädchen. Aufgrund der stabilen Wahrscheinlichkeit und genau zwei möglichen Ergebnissen kann der Versuch als Bernoulli-Versuch behandelt werden.
Für Laplace-Versuche sind die Wahrscheinlichkeiten von allen möglichen Ausgängen des Experiments gleich. Es kann entweder ein Junge oder ein Mädchen geboren werden. Bei einem Laplace-Versuch sollte $p=\frac{1}{2}=0,5$ gelten, was der Fall ist. Das Zufallsexperiment kann dementsprechend auch als Laplace-Versuch behandelt werden.
#bernoullikette#laplaceexperiment#wahrscheinlichkeit
b)
$\blacktriangleright$  Erwartungswert berechnen
Du sollst den Erwartungswert der Zufallsgröße $X_{1.000}$ berechnen. Da die Zufallsgrößen $X_n$ laut Aufgabenstellung binomialverteilt sind, kannst du den Erwartungswert mit folgender Formel berechnen:
$E(X) = n\cdot p$
$E(X) = n\cdot p$
Für $X_{1.000}$ ist $n =1.000$ und $p = 0,5$. Setze in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} E(X_{1000})&=& 1.000\cdot 0,5 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 500 \end{array}$
Der Erwartungswert von $X_{1.000}$ beträgt $500$.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit zu drei Ereignissen berechnen
Du sollst Wahrscheinlichkeiten zu drei Ereginissen einer binomialverteilten Zufallsvariable $X_n$ berechnen. Dazu benutzt du die Bernoulli-Formel mit $k$ Knaben aus $n$ Geburten, bei einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,5$:
$P(X=k)=B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k)=$
Ereignis $\boldsymbol{A}$: Von $\boldsymbol{100}$ Geborenen sind höchstens $\boldsymbol{50}$ Knaben
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei hundert Geburten höchstens fünfzig Knaben geboren werden. Dazu betrachtest du die Zufallsvariable $X_{100}$ und bestimmst mit der Bernoulli-Formel und $n=100$, $k\leq 50$ und $p=0,5$ die Wahrscheinlichkeit:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_{100}\leq 50)&=& \sum\limits_{k=0}^{50}\binom{100}{k}\cdot 0,5^k\cdot0,5^{100-k} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \sum\limits_{k=0}^{50}\binom{100}{k}\cdot0,5^{100} \\[5pt] &\approx& 0,5398 =53,98\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X_{100}\leq 50)&=& 53,98\% \end{array}$
Zur Berechnung der Summe, kannst du die Tabellen zur kumulierten Binomialverteilung aus deiner Formelsammlung verwenden.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $53,98\%$ werden höchstens $50$ Knaben bei $100$ Geburten geboren.
Ereignis $\boldsymbol{B}$: Von $\boldsymbol{80}$ Geborenen sind genau $\boldsymbol{45}$ Knaben
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei $80$ Geburten genau $45$ Knaben geboren werden. Du betrachtest $X_{80}$ und verwendest erneut die Bernoulli-Formel mit $n=80$, $k=45$ und $p=0,5$:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_{80}=45)&=& \binom{80}{45}\cdot 0,5^{80} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx & 0,0479 =4,79\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $4,79\%$ sind genau $45$ von $80$ Säuglingen männlich.
Ereignis $\boldsymbol{C}$: Von $\boldsymbol{25}$ Geborenen sind mehr als die Hälfte Knaben
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mehr als die Hälfte von $25$ Säuglingen ($13$ oder mehr) Knaben sind. Mit der Bernoulli-Formel für $n=25$ und $p=0,5$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} P(13\leq X)&=& \sum\limits_{k=13}^{25}\binom{25}{k}\cdot 0,5^k\cdot 0,5^{25-k} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=&\sum\limits_{k=13}^{25}\binom{25}{k}\cdot 0,5^{25} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(13\leq X)&=& \sum\limits_{k=13}^{25}\binom{25}{k}\cdot 0,5^{25} \end{array}$
Zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit mit der Tabelle aus der Formelsammlung, betrachtest du das Gegenereignis:
$\begin{array}[t]{rll} P(13\leq X)&=& 1-\sum\limits_{k=0}^{12}\binom{25}{k}\cdot 0,5^{25}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 1-0,5 \\[5pt] &=& 0,5 =50\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $50\%$ sind bei $25$ Geburten mehr als die Hälfte Knaben.
#binomialverteilung#erwartungswert#bernoullikette
$\,$
$\blacktriangleright$  Berechnung herleiten
Du sollst verifizieren, dass für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $D$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(D)&\approx& 2\cdot \Phi\left(\dfrac{25,5}{\sqrt{250}}\right)-1 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Dazu näherst du die Binomialverteilung durch die Normalverteilung an. Für $D$ gilt:
    $D$: Bei $1.000$ Geburten werden zwischen $475$ und $525$ Knaben geboren
Die exakte Wahrscheinlichkeit berechnet sich mit der Bernoulli-Formel und $n=1.000$ sowie $p=0,5$:
$\begin{array}[t]{rll} P(475\leq X_{1000}\leq 525)&=& \sum\limits_{k=475}^{525}\binom{1.000}{k}\cdot 0,5^{k}\cdot 0,5^{1.000-k} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \sum\limits_{k=475}^{525}\binom{1.000}{k}\cdot 0,5^{1.000} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(475\leq X_{1000}\leq 525)&=& \\[5pt] \end{array}$
Für die Näherung durch die Standardnormalverteilung sind zwei Bedingungen zu überprüfen:
$\begin{array}[t]{rll} n\cdot (1-p)&=& 1.000\cdot 0,5&\quad \scriptsize \; \\[5pt] 500&>& 6 \end{array}$
Verwendest du nun die Näherungsformel mit dem Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ und der Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$:
$\begin{array}[t]{rll} P(k_1\leq X\leq k_2)&=& \sum\limits_{k=k_1}^{k_2}\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx & \Phi\left(\dfrac{k_2+0,5-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\dfrac{k_1-0,5-\mu}{\sigma}\right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(k_1\leq X\leq k_2)&=& \end{array}$
Für das Ereignis $D$ erhältst du mit $\mu=500$ und $\sigma=\sqrt{250}$:
$\begin{array}[t]{rll} P(D)&\approx & \Phi\left(\dfrac{525+0,5-500}{15,81}\right)-\Phi\left(\dfrac{475-0,5-500}{15,81}\right) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &= & \Phi\left(\dfrac{25,5}{\sqrt{250}}\right)-\Phi\left(-\dfrac{25,5}{\sqrt{250}}\right) \\[5pt] &=& \Phi\left(\dfrac{25,5}{\sqrt{250}}\right)-1+\Phi\left(\dfrac{25,5}{\sqrt{250}}\right) \\[5pt] &=& 2\cdot \Phi\left(\dfrac{25,5}{\sqrt{250}}\right)-1 \\[5pt] &\approx & 2\cdot \Phi(1,61)-1 \\[5pt] &\approx & 2\cdot 0,9463 -1 \\[5pt] &=& 0,8926 =89,26\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(D) &=& 89,26\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $89,26\%$ werden zwischen $475$ und $525$ Knaben von $1.000$ Säuglingen geboren.
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl an Geburten berechnen
Du sollst bestimmen, wie viele Geburten betrachtet werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\%$ mindestens ein Knabe geboren wird. Du betrachtest das Gegenereignis: Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Knabe geboren wird soll weniger als $1\%$ betragen. Mit der Bernoulli-Formel für $k=0$ und $p=0,5$ erhältst du eine Ungleichung in $n$:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_{n}=0)&=& \binom{n}{0}\cdot0,5^{n} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 0,01&\geq & 0,5^{n} &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] \ln(0,01) &\geq & n\cdot \ln(0,5) &\quad \scriptsize \mid\; :\ln(0,5)< 0 \\[5pt] n&\geq& \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,5)} \\[5pt] n&\geq& 6,64 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} n&\geq& 6,64 \end{array}$
Da ein ganzzahliges Ergebnis anzugeben ist, müssen mindestens $7$ Geburten betrachtet werden.
#bernoullikette#erwartungswert#normalverteilung
c)
$\blacktriangleright$  Hypothesentest durchführen
Du sollst den Ablehnungsbereich $\bar{A}$ bezüglich einer Nullhypothese und einer Alternativhypothese bestimmen. Aus der Aufgabenstellung hast du diese zwei Hypothesen gegeben:
$H_1$: $p>0,5$
Da $p>p_0$ liegt ein rechtsseitiger Test vor. Der Ablehnungsbereich hat also die Form $ \overline{A} = [k,…,n]$. Du musst also die Grenze $k$ bestimmen. Nutze dazu das Signifikanzniveau $\alpha$. Dieses besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im Ablehnungsbereich, pbwohl die Nullhypothese gilt, höchstens $1\,\%$ betragen soll. Mit Hilfe dieser Aussage, kannst du eine Ungleichung aufstellen. Gesucht ist das kleinste $k$, das gerade noch so diese Ungleichung erfüllt.
$\begin{array}[t]{rll} P(k\leq X) &\leq & 0,01 \\[5pt] \end{array}$
Mit dem Gegenereignis kannst du die Ungleichung wieder umschreiben um mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung arbeiten zu können.
$\begin{array}[t]{rll} P(k\leq X) &\leq & 0,01 \\[5pt] 1-P(X \leq k-1) &\leq & 0,01 \\[5pt] -P(X \leq k-1) &\leq & -0,99 \\[5pt] P(X \leq k-1) &\geq & 0,99 \\[5pt] \end{array}$
Du entnimmst der Tabelle, dass die Wahrscheinlichkeit für $k-1=62$ gerade noch größer oder gleich $99\%$. Für den ursprünglichen Hypothesentest erhältst du $k=63$. Werden mehr als $62$ Knaben geboren, ist davon auszugehen, dass die Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese $H_0=0,5$ nicht zutreffend ist. Für den Ablehnungsbereich gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \bar{A}&=& [ 63,\,64,\,\cdots,\,100\rbrace] \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art berechnen
Du sollst zur Aussage stellungnehmen, dass bei $62$ Knaben aus $100$ Geburten, die Wahrscheinlichkeit an einer falschen Nullhypothese festzuhalten kleiner als $1\%$ ist. Du berechnest hierzu die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art $\beta$. Für den Fehler 2. Art verwendest du die „tatsächliche“ Wahrscheinlichkeit. Diese erhältst du aus dem Quotienten der Geburten. Es ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} p=&=& \frac{62}{100} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 0,62 \\[5pt] 1-p&=& 0,38 \end{array}$
Für die Berechnung benötigst du als Obergrenze den größten Wert des Annahmebereichs $62$:
$\begin{array}[t]{rll} \beta&=& 1-\sum\limits_{k=0}^{62}\binom{100}{k}\cdot 0,62^k\cdot 0,38^{100-k} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] & \approx & 0,4623 =46,23\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \beta & \approx & 0,4623 =46,23\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $ 0,4623 =46,23\%$ liegt ein Fehler 2. Art vor. Die Aussage der Aufgabenstellung ist dementsprechend falsch.
#signifikanzniveau#hypothesentest
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