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Wahlpflichtaufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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Gegeben ist die differenzierbare Funktion $f$ mit $f(x)= \ln \left(\mathrm e^x+1\right),$ $x\in \mathbb{R}.$
a)
Gib die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen der Funktion $f$ mit der $y$-Achse sowie das Verhalten der Funktion $f$ für $x\to -\infty$ und $x\to +\infty$ an.
Weise nach, dass die Funktion $f$ im gesamten Definitionsbereich monoton wachsend und der Wertebereich die Menge aller positiven rellen Zahlen ist.
#definitionsbereich#wertebereich#monotonie
b)
Gegeben ist die Integralfunktion $I$ von $f$ mit $I(x)= \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\;\mathrm dt,$ $x\in \mathbb{R},$ $x>0.$
Zeige, dass der Graph der Funktion $I$ weder lokale Extrempunkte noch Wendepunkte besitzt.
#wendepunkt#extrempunkt
c)
Begründe, dass der Graph der Funktion $f$ und der Graph der zugehörigen Umkehrfunktion $f^{-1}$ keine gemeinsamen Punkte besitzen.
#umkehrfunktion
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts angeben
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& \ln\left(\mathrm e^0 +1\right) \\[5pt] &=& \ln (2) \end{array}$
Der Graph von $f$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0\mid \ln(2)).$
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktion angeben
Es handelt sich um eine verkettete Funktion. Für den inneren Term gilt
$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\mathrm e^x +1\right) = +\infty$
Für die äußere Funktion gilt:
$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln (x) = +\infty$
Damit gilt insgesamt $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)= +\infty.$
Analog ergibt sich für $x \to -\infty :$
$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\mathrm e^x +1\right) = 1$
$\lim\limits_{x\to 1}\ln (x) = 0$
$\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)= 0$
$\blacktriangleright$  Monotonie nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} f(x_1)&<&f(x_2) \\[5pt] \ln \left(\mathrm e^{x_1}+1 \right)&<& \ln \left(\mathrm e^{x_2}+1 \right)&\quad \scriptsize \mid\;\mathrm e^{x} \\[5pt] \mathrm e^{x_1}+1&<&\mathrm e^{x_2}+1&\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] \mathrm e^{x_1}&<& \mathrm e^{x_2}&\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] x_1&<&x_2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x_1)&<&f(x_2) \\[5pt] … \\[5pt] x_1&<&x_2 \end{array}$
Für alle $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ mit $x_1 < x_2$ gilt $f(x_1) < f(x_2).$ Die Funktion $f$ ist demnach im gesamten Definitionsbereich $\mathbb{R}$ monoton wachsend.
$\blacktriangleright$  Wertebereich nachweisen
Bei $f$ handelt es sich um eine verkettete Funktion $f(x)= u(v(x)).$ Der Definitionsbereich von $f$ ist die Menge der reellen Zahlen. Der Wertebereich der inneren Funktion $v(x)=\mathrm e^x+1$ ist $W_{v} = \{x\in \mathbb{R}^+ \mid x > 1\},$ da $\mathrm e^x$ alle positiven reellen Zahlen annehmen kann.
In die äußere Funktion werden also alle positiven reellen Zahlen größer $1$ eingesetzt. Die Logarithmusfunktion besitzt genau eine Nullstelle an der Stelle $x =1$ und ist für alle größeren $x$ positiv. Für $ \{x\in \mathbb{R}\mid x >1\}$ nimmt $\ln(x)$ daher alle positiven reellen Zahlen an, wodurch sich für $f$ der Wertebereich $\mathbb{R}^+$ ergibt.
b)
$\blacktriangleright$  Eigenschaften des Graphen nachweisen
Da $I$ eine Integralfunktion von $f$ ist, ist sie für $x>0$ auch eine Stammfunktion von $f.$ Für eine Extremstelle muss die notwendige Bedingung $I'(x)=0$ erfüllt sein. Da $I'(x)=f(x)$ ist, der Wertebereich von $f$ aber nur aus den positiven reellen Zahlen besteht also insbesondere nicht $0$ enthält, ist das notwendige Kriterium für Extremstellen von $I$ für kein $x$ erfüllt. Der Graph von $I$ kann also keine lokalen Extrempunkte besitzen.
Analoges gilt für die Wendestellen. Hier lautet das notwendige Kriterium $I''(x)=0.$ Die zweite Ableitungsfunktion entspricht der ersten Ableitungsfunktion von $f:$
$\begin{array}[t]{rll} I''(x)&=&f'(x) \\[5pt] &=& \mathrm e^x\cdot \dfrac{1}{\mathrm e^x+1} \\[5pt] \end{array}$
Hier gilt ebenfalls für alle $x\in \mathbb{R}$ mit $x> 0:$ $I''(x)= \mathrm e^x\cdot \dfrac{1}{\mathrm e^x+1} >0.$
Das notwendige Kriterium für Wendestellen ist für kein $x$ aus dem Deifnitionsbereich von $I$ erfüllt. Damit kann der Graph keine Wendepunkte besitzen.
c)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass die beiden Graphen keine Schnittpunkte besitzen
$\begin{array}[t]{rll} y&=& f(x) \\[5pt] y&=&\ln\left(\mathrm e^x+1\right) &\quad \scriptsize \mid\;\mathrm e^x \\[5pt] \mathrm e^y&=&\mathrm e^x +1 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] \mathrm e^y-1&=& \mathrm e^x&\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \ln\left(\mathrm e^y-1\right)&=&x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& f(x) \\[5pt] … \\[5pt] \ln\left(\mathrm e^y-1\right)&=&x \end{array}$
Die Umkehrfunktion von $f$ lautet $f^{-1}(x)=\ln\left(\mathrm e^x-1\right).$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&f^{-1}(x)\\[5pt] \ln\left(\mathrm e^x+1\right)&=&\ln\left(\mathrm e^x-1\right) &\quad \scriptsize \mid\;\mathrm e^x \\[5pt] \mathrm e^x+1&=&\mathrm e^x-1 &\quad \scriptsize \mid\; -\mathrm e^x\\[5pt] 1&=&-1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&f^{-1}(x)\\[5pt] …\\[5pt] 1&=&-1 \end{array}$
Dies ist ein Widerspruch. Die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ können also keine gemeinsamen Punkte besitzen.
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