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Wahlpflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Gegeben sind die Vektoren
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{3 \\ 0 \\ -1}$, $\overrightarrow{b}=\pmatrix{1 \\ 4 \\ 1}$, $\overrightarrow{c}=\pmatrix{5 \\ -4 \\ -3}$,$\overrightarrow{d}=\pmatrix{-6 \\ 0 \\ 2}$,$\overrightarrow{e}=\pmatrix{-5 \\ 4 \\ 3}$ und $\overrightarrow{f}=\pmatrix{1 \\ 4 \\ 0}$ des dreidimensionalen Raumes.
#vektoren
a)
Weise nach, dass die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{d}$ linear abhängig sind, die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ jedoch linear unabhängig sind.
#lineareabhängigkeit#vektoren
b)
Prüfe ob sich der Vektor $\overrightarrow{e}$ aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ durch $\overrightarrow{e}=2\cdot \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} -2 \cdot \overrightarrow{c}$ linear kombinieren lässt.
Zeige, dass es unendlich viele Linearkombinationen des Vektors $\overrightarrow{e}$ aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ gibt und schlussfolgere daraus auf lineare Abhängigkeit bzw. lineare Unabhängigkeit der Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$.
Charakterisiere den Verlauf des Vektors $\overrightarrow{e}$ bezüglich jeder von den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ aufgespannten Ebene.
#vektoren#lineareabhängigkeit
c)
Der Vektor $\overrightarrow{f}$ lässt sich nicht aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ linear kombinieren.
Wähle aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{e}$ und $\overrightarrow{f}$ Vektoren so aus, dass sie eine Basis des dreidimensionalen Raumes bilden und begründe deine Auswahl.
#lineareabhängigkeit
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Vektoren $\boldsymbol{\overrightarrow{a}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{d}}$ linear abhängig sind
Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie Vielfaches voneinander sind. Die beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{d}$ sind Vielfaches voneinander, wenn es einen Parameter $k$ gibt mit $\overrightarrow{a}= k\cdot \overrightarrow{d} $. Du erhältst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten. Ist das Gleichungssystem lösbar sind die beiden Vektoren linear abhängig.
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Vektoren $\boldsymbol{\overrightarrow{a}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{b}}$ linear unabhägig sind
Bei dieser Aufgabe kannst du wie in der Aufgabe zuvor vorgehen. Die beiden Vektoren sind linear unabhängig, wenn das lineare Gleichungssystem nicht lösbar ist.
b)
$\blacktriangleright$  Aussage überprüfen
In dieser Aufgabe sollst du die Aussage überprüfen, dass sich der Vektor $\overrightarrow{e}$ als Linearkombination durch $\overrightarrow{a},$ $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ mit $\overrightarrow{e} = 2\cdot \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} -2\cdot \overrightarrow{c}$ darstellen lässt.
Um diese Aussage zu überprüfen, kannst du die Koordinaten der Vektoren in die Gleichung einsetzen. Ist die Gleichung erfüllt, hast du die Aussage bestätigt.
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass es unendlich viele Linearkombinationen gibt
Du sollst zeigen, dass es unendlich viele Linearkombinationen von $\overrightarrow{e}$ durch $\overrightarrow{a},$ $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ gibt.
Das heißt die Gleichung $\overrightarrow{e} = k\cdot \overrightarrow{a} +l \cdot \overrightarrow{b} + m\cdot \overrightarrow{c}$ hat unendliche viele Lösungen.
Setze die Werte der Vektoren ein. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Vektors $\boldsymbol{\overrightarrow{e}}$ charakterisieren
Da die beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ linear unabhängig voneinander sind, spannen sie eine Ebene $E$ auf. Wenn du nun den Vektor $\overrightarrow{e}$ als Linearkombination von den beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen kannst, liegt der Vektor $\overrightarrow{e}$ in der Ebene $E$. Gehe wie in der Aufgabe zuvor vor und bestimmen ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten.
c)
$\blacktriangleright$  Basis des dreidimensionalen Raumes finden
In dieser Aufgabe sollst du drei Vektoren aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{e}$ und $\overrightarrow{f}$ aussuchen, die eine Basis des dreidimensionalen Raumes sind. Wichtig ist, dass diese drei Vektoren linear unabhängig voneinander sind.
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass sich der Vektor $\overrightarrow{f}$ nicht aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ kombinieren lässt.
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a)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Vektoren $\boldsymbol{\overrightarrow{a}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{d}}$ linear abhängig sind
Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie Vielfaches voneinander sind. Die beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{d}$ sind Vielfaches voneinander, wenn es einen Parameter $k$ gibt mit $\overrightarrow{a}= k\cdot \overrightarrow{d} $. Du erhältst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten. Ist das Gleichungssystem lösbar sind die beiden Vektoren linear abhängig.
$\pmatrix{3 \\ 0 \\ -1}= k\cdot \pmatrix{-6 \\ 0 \\ 2}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad& 3&=&-6k \\[5pt] \text{II}\quad& 0&=&0 \\[5pt] \text{III}\quad& -1&=& 2k \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad& 3 &=& -6k &\quad \scriptsize \mid\; : (-6) \\[5pt] & k &=& -0,5 \end{array}$
Du siehst direkt, dass die Gleichung $\text{II}$ erfüllt ist und wenn du $k=-0,5$ in die dritte Gleichung einsetzt folgt:
$-0,5\cdot 2= -1 $
Somit folgt: $\pmatrix{3 \\ 0 \\ -1}= -0,5 \cdot \pmatrix{-6 \\ 0 \\ 2}$
Das bedeutet, dass die beiden Vektoren linear abhängig sind.
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Vektoren $\boldsymbol{\overrightarrow{a}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{b}}$ linear unabhägig sind
Bei dieser Aufgabe kannst du wie in der Aufgabe zuvor vorgehen. Die beiden Vektoren sind linear unabhängig, wenn das lineare Gleichungssystem nicht lösbar ist.
$\pmatrix{3 \\ 0 \\ -1}= k\cdot \pmatrix{1 \\ 4 \\ 1}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad& 3&=& k \\[5pt] \text{II}\quad& 0&=& 4k\\[5pt] \text{III}\quad& -1&=& k \end{array}$
Nach der ersten Gleichung müsste $k=3$ sein. In der dritten Gleichung steht allerdings, dass $k=-1$ sein soll. Somit ist das lineare Gleichungssystem nicht lösbar.
Die beiden Vektoren sind linear unabhängig.
#vektoren#lineareabhängigkeit
b)
$\blacktriangleright$  Aussage überprüfen
In dieser Aufgabe sollst du die Aussage überprüfen, dass sich der Vektor $\overrightarrow{e}$ als Linearkombination durch $\overrightarrow{a},$ $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ mit $\overrightarrow{e} = 2\cdot \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} -2\cdot \overrightarrow{c}$ darstellen lässt.
Um diese Aussage zu überprüfen, kannst du die Koordinaten der Vektoren in die Gleichung einsetzen. Ist die Gleichung erfüllt, hast du die Aussage bestätigt.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-5 \\ 4 \\ 3}&=& 2\cdot \pmatrix{3 \\ 0 \\ -1} - \pmatrix{1 \\ 4 \\ 1} - 2\cdot \pmatrix{5 \\ -4 \\ -3} \\[5pt] \pmatrix{-5 \\ 4 \\ 3} &=& \pmatrix{6\\ 0 \\ -2} - \pmatrix{1 \\ 4 \\ 1} - \pmatrix{10 \\ -8 \\ -6} \\[5pt] \pmatrix{-5 \\ 4 \\ 3} &=& \pmatrix{5\\ -4 \\ -3} - \pmatrix{10 \\ -8 \\ -6} \\[5pt] \pmatrix{-5 \\ 4 \\ 3} &=& \pmatrix{-5 \\ 4 \\ 3} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-5 \\ 4 \\ 3}&=&\pmatrix{-5 \\ 4 \\ 3} \end{array}$
Somit hast du gezeigt, dass die Aussage richtig ist.
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass es unendlich viele Linearkombinationen gibt
Du sollst zeigen, dass es unendlich viele Linearkombinationen von $\overrightarrow{e}$ durch $\overrightarrow{a},$ $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ gibt.
Das heißt die Gleichung $\overrightarrow{e} = k\cdot \overrightarrow{a} +l \cdot \overrightarrow{b} + m\cdot \overrightarrow{c}$ hat unendliche viele Lösungen.
Setze die Werte der Vektoren ein. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten.
$\pmatrix{-5 \\ 4 \\ 3} = $$ k\cdot \pmatrix{3 \\ 0 \\ -1} +l \cdot \pmatrix{1 \\ 4 \\ 1} + m\cdot \pmatrix{5 \\ -4 \\ -3} $
$\begin{array}{} \text{I}\quad& -5 &=& 3k +l +5m \quad\\ \text{II}\quad& 4 &=& 0k + 4l -4m \quad\\ \text{II}\quad& 3 &=& -k + l -3m \quad\\ \end{array}$
Löse die zweite Gleichung nach $m$ auf und die dritte Gleichung nach $k$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad& 4 &=& 4l -4m &\quad \scriptsize \mid\; +4m\; \mid\; -4 \\[5pt] & 4m&=& 4l - 4 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] & m&=& l-1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} & m&=& l-1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{III}\quad& 3 &=& -k + l -3m & \scriptsize \mid\; +k,\,-3\\[5pt] & k&=& l -3m -3 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \ & k&=& l -3m -3 \\[5pt] \end{array}$
Setze in die erste Gleichung nun für $k=l -3m -3 $ und für $m= l-1$ ein und löse die Gleichung nach $l$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad&-5&=&3( l -3m -3) + l +5(l-1) \\[5pt] \quad& -5 &=& 3l -9m -3 + l +5l -5 \\[5pt] \quad& -5 &=& 9l - 9m -8 &\quad \scriptsize \mid\; +5 \; \mid\; -9l \\[5pt] \quad& -9l &=& -9m -8 +5 &\quad \scriptsize \mid\; : (-9) \\[5pt] \quad& l &=& m + \frac{1}{3} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \quad& l &=& m + \frac{1}{3} \\[5pt] \end{array}$
Da $l$ nur in Abhängigkeit von $k$ und $m$ dargestellt werden kann, gibt es unendlich viele Lösungen und damit unendlich viele Linearkombinationen. Die drei Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ spannen also eine Ebene auf, in der der Vektor $\overrightarrow{e}$ liegt. Würden die drei Vektoren einen dreidimensionalen Raum aufspannen, wären die drei Vektoren linear unabhängig. Da dies aber nicht der Fall ist, sind die Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ linear abhängig.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Vektors $\boldsymbol{\overrightarrow{e}}$ charakterisieren
Da die beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ linear unabhängig voneinander sind, spannen sie eine Ebene $E$ auf. Wenn du nun den Vektor $\overrightarrow{e}$ als Linearkombination von den beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen kannst, liegt der Vektor $\overrightarrow{e}$ in der Ebene $E$. Gehe wie in der Aufgabe zuvor vor und bestimme ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& -5 &=& 3k +l \quad\\ \text{II}\quad& 4 &=& 0k + 4l \quad\\ \text{II}\quad& 3 &=& -k + l \quad\\ \end{array}$
Löse die zweite Gleichung nach $l$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad& 4&=&4l &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] &l&=&1 \end{array}$
Jetzt kannst du für $l=1$ in die dritte Gleichung einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{III}\quad& 3&=&-k +1 &\scriptsize \mid\; +k,\;-3 \\[5pt] &k&=&-2 \end{array}$
Setze jetzt für $l=1$ und für $k=-2$ in die erste Gleichung ein, um zu prüfen, ob diese Gleichung erfüllt ist.
$-5=3\cdot (-2) + 1 =-5$
Da der Vektor $\overrightarrow{e}$ als Linearkombination aus den beiden Vektoren dargestellt werden kann, liegt der Vektor $\overrightarrow{e}$ in der Ebene $E$.
#lineareabhängigkeit#gleichungssystem#vektoren
c)
$\blacktriangleright$  Basis des dreidimensionalen Raumes finden
In dieser Aufgabe sollst du drei Vektoren aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{e}$ und $\overrightarrow{f}$ aussuchen, die eine Basis des dreidimensionalen Raumes sind. Wichtig ist, dass diese drei Vektoren linear unabhängig voneinander sind.
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass sich der Vektor $\overrightarrow{f}$ nicht aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ kombinieren lässt. Das bedeutet, dass der Vektor $\overrightarrow{f}$ linear unabhängig von diesen drei Vektoren ist.
Der erste Vektor der Basis ist somit $\overrightarrow{f}$.
Da die beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ auch linear unabhängig voneinander sind, sind sie und der Vektor $\overrightarrow{f}$ auch linear unabhängig.
Eine Basis des dreidimensionalen Raumes besteht somit aus den drei Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{f}$.
#lineareabhängigkeit
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