Wahlpflichtaufgaben

5.1

Gegeben sind die in $\mathbb{R}_0^+$ definierten Funktionen $f$ und $g,$ wobei $g$ die Umkehrfunktion von $f$ ist.

Die Abbildung zeigt die Graphen $G_f$ von $f$ und $G_g$ von $g.$

$G_f$ und $G_g$ schneiden sich nur im Koordinatenursprung und im Punkt $(x_S\mid f(x_S)).$

Grafik mit zwei Kurven Gf und Gg in einem Koordinatensystem. Achsen sind beschriftet.

Beurteile die folgende Aussage: $\displaystyle\int_0^{x_S}(g(x)-f(x)) \;\text{d} x=2 \cdot \displaystyle\int_0^{x_S}(x-f(x)) \;\text{d} x$

(5 BE)

5.2

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto \sqrt{x-2}$ mit $x \in[2 ;+\infty[.$

Die Abbildung zeigt den Graphen $G$ von $f$ sowie den Punkt $P(3\mid1).$

Die Gerade mit der Gleichung $y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$ ist die Tangente an $G$ im Punkt $P$ und hat mit $G$ nur den Punkt $P$ gemeinsam.

Graf mit einer Kurve und den Punkten P und G im Koordinatensystem. Achsen beschriftet mit x und y.

Zeichne die Tangente in die Abbildung ein.

(1 BE)

Betrachtet werden alle Geraden, die mit $G$ sowohl den Punkt $P$ als auch einen weiteren Punkt gemeinsam haben.

Gib die Steigungen dieser Geraden an.

(4 BE)

5.3

Der abgebildete Körper $ABCDEFGH$ ist Teil einer geraden Pyramide mit rechteckiger Grundfläche $EFGH.$

Die Rechtecke $ABCD$ und $EFGH$ liegen in zwei zueinander parallelen Ebenen mit dem Abstand $5.$

Der Flächeninhalt von $EFGH$ ist viermal so groß wie der von $ABCD.$

Es gilt:

$A(0\mid 0\mid 0), B(4\mid 0\mid 0), C(4\mid 6\mid 0), D(0\mid 6\mid 0)$

Gib eine Gleichung einer der beiden Symmetrieebenen des Körpers $A B C D E F G H$ an.

(1 BE)

Begründe, dass die Koordinaten des Punkts $F$ mit folgendem Term ermittelt werden können: $\pmatrix{2\\3\\5}+2 \cdot\left(\pmatrix{4\\0\\0}-\pmatrix{2\\3\\0}\right)$

(4 BE)

5.4

Die Abbildung zeigt einen Kreiskegel. Der Punkt $S(0\mid 6\mid 6)$ beschreibt die Spitze des Kreiskegels.

Die Grundfläche wird von einem Kreis mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt begrenzt.

Die Punkte $(5\mid 0\mid 0)$ und $(0\mid 5\mid 0)$ sind Punkte dieses Kreises.

Grafik eines Kegels mit Spitze S und einer gestrichelten Basislinie.

Betrachtet wird die Gerade $g$ durch $S$ und den Punkt $(6\mid -14\mid -6).$

Untersuche, ob der Durchstoßpunkt von $g$ mit der $xz$ -Ebene ein Punkt der Mantelfläche des Kreises ist.

(5 BE)

5.5

Zu einem Zufallsexperiment werden zwei stochastisch unabhängige Ereignisse $A$ und $B$ betrachtet. Es gilt $P(B)=P(A)+0,6$ sowie $P(A \cap \overline{B})=0,04.$

Bestimme $P(A).$

(5 BE)

5.6

Betrachtet wird ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von $1$ bis $6$ durchnummeriert sind.

Der Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der dabei erzielten Zahlen an.

Begründe, dass $P(X=10)=P(X=15)$ ist.

(2 BE)

Nun wird der Würfel $n$ -mal geworfen, wobei $n$ größer als 2 ist.

Ermittle einen Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnen kann: „Das Produkt der $n$ erzielten Zahlen ist $2, 3$ oder $5.$ "

(3 BE)

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5.1

Die linke Seite der Gleichung gibt den Flächeninhalt der Fläche an, die $G_g$ und $G_f$ miteinander einschließen. Die rechte Seite der Gleichung gibt den doppelten Inhalt der Fläche an, die die Graphen der Gerade $y=x$ und $f$ miteinander einschließen.

Da $g$ die Umkehrfunktion von $f$ ist und somit durch Spiegelung von $f$ an der Gerade $y=x$ hervorgeht, hat die von $G_g$ und $G_f$ eingeschlossene Fläche den doppelten Inhalt wie die Fläche, die von der Graphen von $y=x$ und $f$ eingeschlossen wird. Damit ist die Aussage korrekt.

5.2

Diagramm mit zwei Kurven, einer grünen und einer grauen, im Koordinatensystem dargestellt. Punkt P ist markiert.

Für die Steigungen $m$ der Geraden mit der Eigenschaft aus der Aufgabenstellung gilt $\frac{1}{2}\lt m \leq 1$ oder $0\lt m\lt\frac{1}{2}.$

5.3

Eine mögliche Ebenengleichung ist gegeben durch $x=2.$

Da die Pyramide gerade ist, unterscheiden sich die Koordinaten der Mittelpunkte der beiden Rechtecke $ABCD$ und $EFGH$ nur in der $z$ -Koordinate. Anhand der Koordinaten der Eckpunkte des Rechtecks $ABCD$ folgt für den Mittelpunkt direkt:

$M(2\mid3\mid0)$

Mit der Anmerkung aus der Aufgabenstellung, dass die beiden Rechtecke um $5\;\text{LE}$ auseinander liegen, und der Darstellung der Pyramide in der Abbildung folgt für die Koordinaten des Mittelpunkts des Rechtecks $EFGH$ direkt $\(M$

Die Aufgabenstellung liefert zudem, dass der Flächeninhalt von $EFGH$ viermal so groß ist, wie der von $ABCD.$ Da die Pyramide gerade ist, sind die beiden Rechtecke ähnlich und es gilt somit, dass die Diagonalen von $EFGH$ doppelt so lang sind wie die von $ABCD.$ Insgesamt folgt damit für den Ortsvektor des Punktes $F:$

$\(\begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{OF}&=&\overrightarrow{OM$

5.4

Mit dem Verbindungsvektor zwischen $S$ und dem anderen Punkt auf $g$ aus der Aufgabenstellung ergibt sich folgende mögliche Geradengleichung für $g:$

$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\6\\6}+r\cdot\pmatrix{6\\-20\\-12}$

Anhand der Koordinaten der beiden Punkte auf dem Kreis lässt sich erkennen, dass dieser in der $xy$ -Ebene liegt. Nullsetzen der dritten Koordinate der Geradengleichung ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} 6-12r&=&0 &\mid\;-6 \\[5pt] -12r&=&-6 &\mid\;:(-12) \\[5pt] r&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$

Einsetzen in die Geradengleichung liefert die Koordinaten $P_{xy}(3\mid-4\mid0).$
Nullsetzen der dritten Koordinate der Geradengleichung ergibt zudem:

$\begin{array}[t]{rlll} 6-20r&=&0 &\mid\;-6 \\[5pt] -20r&=&-6 &\mid\;:(-20) \\[5pt] r&=&\dfrac{3}{10} \end{array}$

Einsetzen in die Geradengleichung liefert die Koordinaten $P_{xz}(1,8\mid0\mid2,4)$ für den Durchstoßpunkt mit der $xz$ -Ebene. Es gilt:

$\begin{array}[t]{rlll} \left\vert\overrightarrow{OP_{xy}}\right\vert&=&\sqrt{3^2+(-4)^2+0^2} \\[5pt] &=&\sqrt{25} \\[5pt] &=&5 \end{array}$

Da $P_{xy}$ in der $xy$ -Ebene liegt und genau um die Länge des Radius vom Mittelpunkt des Kreises entfernt ist, liegt dieser Punkt somit auf dem Kreis.
Damit folgt, dass die Strecke, die die Gerade $g$ für $0\leq r\leq\frac{1}{2}$ parametrisiert, eine Mantellinie des Kegels ist. Da der Durchstoßpunkt $P_{xz}$ für $r=\frac{3}{10}$ auf $g$ liegt und $0\leq\frac{3}{10}\leq\frac{1}{2}$ gilt, ist dieser somit ein Punkt der Mantelfläche des Kreises.

5.5

Da die Ereignisse stochastisch unabhängig sind, gilt $P(A)\cdot P\left(\overline{B}\right)=P\left(A\cap\overline{B}\right).$ Wenn $P(A)=x$ gesetzt wird, ergibt sich somit:

Rechenweg anzeigen

$x^2-0,4x+0,04=0$

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{0,4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{0,4}{2}\right)^2-0,04} \\[5pt] &=&0,2\pm\sqrt{0} \\[5pt] &=&0,2 \end{array}$

Somit gilt $P(A)=x=0,2.$

5.6

Sowohl $10$ als auch $15$ können jeweils nur durch genau ein Produkt von zwei Zahlen erhalten werden, nämlich das Produkt von $2$ und $5$ bzw. das Produkt von $3$ und $5.$ Hierbei ist egal, in welcher Reihenfolge die beiden Zahlen gewürfelt werden, d.h. es gibt jeweils zwei Ergebnisse, die $X=10$ bzw. $X=15$ liefern. Da jede zahl auf dem Würfel mit gleicher Wahrscheinlichkeit erzielt wird, gilt damit $P(X=10)=P(X=15).$

Die Zahlen $2,3$ und $5$ sind Primzahlen. Somit ist die einzige Möglichkeit, dass das Produkt der $n$ erzielten Zahlen $2,3$ oder $5$ ist, dass $(n-1)$ -mal die Zahl $1$ gewürfelt wird, und einmal $2,3$ bzw. $5.$ Da es $n$ mögliche Würfe gibt, in denen die Zahl ungleich $1$ gewürfelt werden kann, folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $p$ somit:

$p=3\cdot n\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\left(\dfrac{1}{6}\right)^{n-1}$

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