Aufgabe 3: Stochastik

Unter den Touristen eines Naturparks nutzen erfahrungsgemäß $14\,\%$ das Fahrrad für Ausflüge vor Ort. Im Folgenden werden diese Touristen als Radausflügler bezeichnet. Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl von Touristen des Naturparks die Anzahl der Radausflügler binomialverteilt ist.

3.1

Für eine Stichprobe werden $300$ Touristen des Naturparks zufällig ausgewählt.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau $36$ Radausflügler befinden.

(1 BE)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10\,\%$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl.

(3 BE)

3.2

Um den Naturpark als Reiseziel attraktiver zu machen, setzt der dortige Tourismusverband Shuttlebusse ein. Die Fahrkarten für diese Busse können ausschließlich online gebucht werden und sind jeweils für einen bestimmten Tag gültig. Erfahrungsgemäß werden $80\,\%$ aller gebuchten Fahrkarten spätestens am Vortag der Fahrt gebucht. Von diesen spätestens am Vortag gebuchten Fahrkarten werden $90\,\%$ auch tatsächlich genutzt. Bei den restlichen, erst am Tag der Fahrt gebuchten Fahrkarten liegt dieser Anteil mit $95\,\%$ etwas höher.

Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(3 BE)

Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte. Beurteile die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde.

(3 BE)

Der Tourismusverband vermutet, dass der Anteil der Radausflügler unter allen Touristen durch den Einsatz der Shuttlebusse nun $20\, \%$ beträgt.

Um bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $90\, \%$ einen Schätzwert für den Anteil der Radausflügler unter den Touristen zu ermitteln, wird eine Stichprobe von $900$ zufällig ausgewählten Touristen betrachtet.

Die Abbildung zeigt die Graphen der folgenden für $p \in[0 ; 1]$ definierten Funktionen:

$g_1: p \mapsto p-1,64 \cdot \sqrt{\dfrac{p \cdot(1-p)}{900}}$

$g_2: p \mapsto p+1,64 \cdot \sqrt{\dfrac{p \cdot(1-p)}{900}}$

Diagramm mit zwei Linien auf einem Koordinatensystem, das Achsen für y und p zeigt.

In der Stichprobe werden $153$ Radausflügler gezählt.

Ermittle grafisch das zu dieser Anzahl gehörende Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $90\, \%$ und beurteile damit, ob die Vermutung des Tourismusverbandes mit dem Stichprobenergebnis verträglich ist.

(5 BE)

Betrachtet wird eine Stichprobe vom Umfang $n$ mit einem Anteil $h=0,17$ sowie das zu diesem Anteil gehörende Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $90\, \%.$

Betrachtet wird die folgende Aussage:

Der Wert $0,17$ liegt in der Mitte zwischen $0,14$ und $0,20.$ Trotzdem ist es möglich, dass die Annahme $p=0,14$ mit dem Stichprobenergebnis nicht verträglich ist, die Annahme $p=0,20$ hingegen schon.

Beurteile diese Aussage unter Verwendung der folgenden beiden Rechnungen:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I}: 0,17 &=& 0,14 + 1,64 \cdot\sqrt{\dfrac{0,14\cdot 0,86}{n}} \\[5pt] \rightarrow n &\approx& 359,8 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} \text{II}: 0,17 &=& 0,20 - 1,64 \cdot\sqrt{\dfrac{0,2\cdot 0,8}{n}} \\[5pt] \rightarrow n &\approx& 478,2 \end{array}$

(5 BE)

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3.1

Die Zufallsvariable $X,$ die die Anzahl der Radausflügler angibt, ist binomialverteilt mit $n=300$ und $p=0,14.$ Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit folgt somit:

Rechenweg anzeigen

$P_{0,14}^{300}(X=36) \approx 4,2\,\%$

Für den Erwartungswert gilt:

$\mu=n\cdot p=300\cdot0,14=42$

Es gilt $42\cdot0,1=4,2$ und $42+4,2=46,2.$ Damit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$\begin{array}[t]{rlll} P_{0,14}^{300}(X\geq46,2)&=&P_{0,14}^{300}(X\geq47) \\[5pt] &=&1-P_{0,14}^{300}(X\leq46) \\[5pt] &\approx&1-0,7757 \\[5pt] &=&0,2243 \\[5pt] &=&22,43\,\% \end{array}$

3.2

$A:$

„Die Fahrkarte wird spätestens am Vortag gebucht.“

$B:$

„Die Fahrkarte wird tatsächlich genutzt.“

$\begin{array}[t]{rlll} P_\overline{B}(A)&=& \dfrac{P\left(\overline{B}\cap A\right)}{P\left(\overline{B}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,8\cdot0,1}{P\left(\overline{B}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,08}{P\left(\overline{B}\right)} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} P_\overline{B}\left(\overline{A}\right)&=& \dfrac{P\left(\overline{B}\cap \overline{A}\right)}{P\left(\overline{B}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,2\cdot0,05}{P\left(\overline{B}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,01}{P\left(\overline{B}\right)} \end{array}$

Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} 8\cdot P_\overline{B}\left(\overline{A}\right)&=&8\cdot\dfrac{0,01}{P\left(\overline{B}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,08}{P\left(\overline{B}\right)} \\[5pt] &=&P_\overline{B}(A) \end{array}$

Die Aussage aus der Aufgabenstellung ist somit richtig.

Es gilt $\dfrac{900}{153}=0,17.$ Damit ergibt sich die folgende Abbildung:

Diagramm mit Koordinatensystem, Linien und grünen Markierungen zur Veranschaulichung einer mathematischen Beziehung.

Das Konfidenzintervall ergibt sich in diesem Fall somit ungefähr als $[0,15;0,19].$ Da $0,2$ nicht in diesem Intervall liegt, ist die Vermutung des Tourismusverbandes nicht mit dem Stichprobenergebnis verträglich.

Rechnung $\text{I}$ liefert, dass die untere Grenze des Konfidenzintervalls für $n \geq 360$ größer als $0,14$ ist und Rechnung $\text{II},$ dass die obere Grenze des Konfidenzintervalls für $n \leq 478$ größer als $0,2$ ist.
Für alle Werte von $n$ zwischen $360$ und $478$ ist somit $p=0,2$ mit dem Stichprobenergebnis verträglich, $p=0,14$ aber nicht. Somit ist die Aussage korrekt.

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