Aufgabe 3: Stochastik

3.1

Bei einer statistischen Erhebung werden die in einem großen europäischen Land zugelassenen Kraftfahrzeuge betrachtet. Von diesen Kraftfahrzeugen sind $Formula: 80\,\%$ $Formula: 80\,\%$ Personenkraftwagen (Pkw).

Es werden Formula: 200 Kraftfahrzeuge zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter höchstens Formula: 170 Pkw befinden.

2 BE

Im Folgenden wird zusätzlich das Alter der betrachteten Kraftfahrzeuge untersucht. $Formula: 70{,}8 \, \%$ $Formula: 70{,}8 \, \%$ dieser Kraftfahrzeuge sind mindestens fünf Jahre alt.

Vervollständige die abgebildete Vierfeldertafel.

	„Ein Kraftfahrzeug ist mindestens fünf Jahre alt.“
	„Ein Kraftfahrzeug ist ein Pkw.“

Ein einfaches Gitter mit Beschriftungen A, Ā, B, B̄ und den Zahlen 0,044 sowie 1

2 BE

Untersuche, ob der Anteil der Kraftfahrzeuge, die mindestens fünf Jahre alt sind, unter den Pkw größer ist als unter den übrigen Kraftfahrzeugen.

3 BE

In der Folge werden die zugelassenen Pkw betrachtet. Diese werden je nach Alter einem von sieben Zeitintervallen zugeordnet. Abbildung 1 zeigt die entsprechenden Anteile.

Grünes Balkendiagramm mit Anteilen nach Altersgruppen (0–4 bis mindestens 30 Jahre), höchste bei 0–4, Werte nehmen mit Alter ab.

Abbildung 1

Alle zugelassenen Pkw werden nach ihrem Alter in einer Liste sortiert. Angenommen, es gibt einen Pkw, für den die Anzahl jüngerer Pkw gleich der Anzahl älterer Pkw ist.

Gib dasjenige der sieben Zeitintervalle an, in dem das Alter dieses Pkw liegt, und begründe deine Angabe.

2 BE

Beschreibe den mathematischen Zusammenhang zwischen Material 1 und dem Term $Formula: 5\cdot 0{,}26+10\cdot 0{,}21+15\cdot 0{,}13$ $Formula: 5\cdot 0{,}26+10\cdot 0{,}21+15\cdot 0{,}13$ $Formula: +20\cdot 0{,}05+25\cdot 0{,}02+30\cdot 0{,}02$ $Formula: +20\cdot 0{,}05+25\cdot 0{,}02+30\cdot 0{,}02$ und gib die Bedeutung seines Wertes im Sachzusammenhang an.

3 BE

3.2

In einer Region werden die Personen betrachtet, die regelmäßig in einem Pkw zur Arbeit fahren. Um den Anteil Formula: p der Personen zu senken, die dabei allein im Pkw sind, wurden Anreize geschaffen, verstärkt Fahrgemeinschaften zu bilden. Erfahrungsgemäß betrug der beschriebene Anteil vor der Schaffung der Anreize über $Formula: 90\, \%.$ $Formula: 90\, \%.$ Nun soll untersucht werden, ob dieser Anteil deutlich gesunken ist. Dazu werden Formula: 20 Stichproben jeweils vom Umfang Formula: 500 erhoben und es wird jeweils die Anzahl der Personen ermittelt, die allein im Pkw zur Arbeit fahren.

Liniendiagramm mit nummerierten Balken und Wertebereich auf der p-Achse

Abbildung 2

Für jede Stichprobe wird mithilfe der Gleichung $Formula: |h-p|=1,96 \cdot \sqrt{\tfrac{p \cdot(1-p)}{n}}$ $Formula: |h-p|=1,96 \cdot \sqrt{\tfrac{p \cdot(1-p)}{n}}$ jeweils ein Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $Formula: 95\, \%$ $Formula: 95\, \%$ für den unbekannten Anteil Formula: p ermittelt. Diese Konfidenzintervalle sind in Abbildung 2 dargestellt und mit den Nummern Formula: 1 bis Formula: 20 versehen.

Die obere Grenze eines der ermittelten Konfidenzintervalle beträgt etwa Formula: 0,75. Gib die Nummer dieses Konfidenzintervalls an und bestimme für die zugrunde liegende Stichprobe einen passenden Wert für die Anzahl der Personen, die allein im Pkw zur Arbeit fahren.

3 BE

Gib einen möglichen Wert für den beschriebenen unbekannten Anteil Formula: p an, der mit genau Formula: 19 der Formula: 20 Stichprobenergebnisse verträglich ist, und begründe deine Angabe unter Verwendung von Abbildung 2.

2 BE

Nun werden für Formula: 20 weitere Stichproben, die jeweils den Umfang Formula: 500 haben, die zu deren Ergebnissen gehörenden Konfidenzintervalle zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $Formula: 95\, \%$ $Formula: 95\, \%$ ermittelt. Es wird angenommen, dass der Wert von Formula: p für diese Stichproben konstant ist. Betrachtet wird die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von von genau dieser ermittelten Konfidenzintervalle überdeckt wird, beträgt weniger als $Formula: 42\, \%.$ $Formula: 42\, \%.$

Die Zufallsgröße Formula: Y beschreibt die Anzahl derjenigen Konfidenzintervalle unter den ermittelten Konfidenzintervallen, die den Wert von Formula: p überdecken. Gib eine geeignete Wahrscheinlichkeitsverteilung von an und erläutere deine Wahl. Zeige, dass die Aussage wahr ist.

3 BE

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3.1

Es sei Formula: X die Anzahl der Pkw unter den Formula: 200 zufällig ausgewählten Kraftfahrzeugen. Da $Formula: 80 \, \%$ $Formula: 80 \, \%$ der Kraftfahrzeuge Pkw sind, gilt $Formula: X \sim B(200; 0{,}8).$ $Formula: X \sim B(200; 0{,}8).$ Mit dem WTR ergibt sich:

$Formula: P(X \leq 170) \approx 0{,}972$ $Formula: P(X \leq 170) \approx 0{,}972$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den Formula: 200 zufällig ausgewählten Kraftfahrzeugen höchstens Formula: 170 Pkw befinden, beträgt ungefähr $Formula: 97{,}2 \, \%.$ $Formula: 97{,}2 \, \%.$

$Formula: \begin{array}{c|c|c|c}\phantom{00000} & \phantom{00}A\phantom{00} & \phantom{00}\overline{A}\phantom{00} & \phantom{00000} \\ \hline B & 0{,}552 & 0{,}248 & 0{,}8 \\ \hline \overline{B} & 0{,}156 & 0{,}044 & 0{,}2 \\ \hline & 0{,}708 & 0{,}292 & 1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{c|c|c|c}\phantom{00000} & \phantom{00}A\phantom{00} & \phantom{00}\overline{A}\phantom{00} & \phantom{00000} \\ \hline B & 0{,}552 & 0{,}248 & 0{,}8 \\ \hline \overline{B} & 0{,}156 & 0{,}044 & 0{,}2 \\ \hline & 0{,}708 & 0{,}292 & 1 \end{array}$

Der Anteil der Kraftfahrzeuge, die mindestens fünf Jahre alt sind, beträgt unter den Pkw:

$Formula: \dfrac{0{,}522}{0{,}8} = 0{,}69$ $Formula: \dfrac{0{,}522}{0{,}8} = 0{,}69$

Der Anteil der Kraftfahrzeuge, die mindestens fünf Jahre alt sind, beträgt unter den übrigen Kraftfahrzeugen:

$Formula: \dfrac{0{,}156}{0{,}2} = 0{,}78$ $Formula: \dfrac{0{,}156}{0{,}2} = 0{,}78$

Mit Formula: 0{,}69 < 0{,}78 ist der Anteil der mindestens fünf Jahre alten Kraftfahrzeuge unter den Pkw nicht größer, sondern kleiner als unter den übrigen Kraftfahrzeugen.

Aus Abbildung 1 lässt sich entnehmen, dass $Formula: 31 \, \%$ $Formula: 31 \, \%$ der Pkw Formula: 0 bis Formula: 4 Jahre alt sind. Damit sind nach dem ersten Intervall noch weniger als $Formula: 50 \, \%$ $Formula: 50 \, \%$ erreicht.
Für die ersten beiden Intervalle gilt $Formula: 31 \, \% + 26 \, \% = 57 \, \%$ $Formula: 31 \, \% + 26 \, \% = 57 \, \%$

Damit wird die $Formula: 50 \, \%\text{-}$ $Formula: 50 \, \%\text{-}$ Grenze im Intervall von bis Formula: 9 Jahren überschritten. Der gesuchte PKW muss also zwischen und Jahren alt sein.

Die Summanden sind jeweils das Produkt aus der unteren Intervallgrenze und dem zugehörigen Anteil der abgebildeten Zeitintervalle. Der Wert des Terms ist eine untere Grenze für das durchschnittliche Alter der zugelassenen Pkw in Jahren.

3.2

Nummer des Konfidenzintervalls: Formula: 14

Um die absolute Anzahl Formula: x der Personen zu berechnen, die alleine fahren, wird die relative Anzahl Formula: h mit der Stichprobengröße Formula: n=500 multipliziert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h \cdot n &=& x \\[5pt] \left(0,75-1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,75 \cdot 0,25}{500}}\right) \cdot 500 &\approx& 356 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h \cdot n &=& x \\[5pt] \left(0,75-1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,75 \cdot 0,25}{500}}\right) \cdot 500 &\approx& 356 \end{array}$

Die Anzahl der Personen, die alleine im Pkw zur Arbeit fahren, beträgt somit Formula: 356.

Für Formula: p=0,73 ist der Abbildung 2 zu entnehmen, dass alle Konfidenzintervalle bis auf das mit der Nummer Formula: 13 diesen Wert von überdecken.

Für jedes der ermittelten Konfidenzintervalle hat die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es Formula: p überdeckt, in etwa den gleichen Wert wie die Sicherheitswahrscheinlichkeit. Daher kann Formula: Y als binomialverteilt mit den Parametern Formula: n=20 und Formula: q=0,95 angenommen werden. Es folgt somit:

$Formula: P(Y=19) \approx 0,38 \lt 0,42$ $Formula: P(Y=19) \approx 0,38 \lt 0,42$

Folglich ist die Aussage wahr.

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