Wahlpflichtaufgaben

5.1

Gegeben ist eine in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit dem Wertebereich Formula: [-3 ; 2[.

Begründe, dass der Graph von Formula: f nicht symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

1 BE

Betrachtet wird die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: h mit $Formula: h(x)=-2 \cdot f(x-5)+1.$ $Formula: h(x)=-2 \cdot f(x-5)+1.$ Gib den Wertebereich von an und begründe die Angabe.

4 BE

5.2

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten differenzierbaren Funktion Formula: f, die genau zwei Nullstellen hat: Formula: -1,5 und Formula: 0.

Betrachtet wird die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Integralfunktion $Formula: J: x \mapsto \int_0^{x} f(t)\;\mathrm{d}t.$ $Formula: J: x \mapsto \int_0^{x} f(t)\;\mathrm{d}t.$

Beurteile die folgende Aussage:

hat genau zwei Nullstellen.

Koordinatensystem mit eingezeichneter Kurve, die links steigt und rechts flach verläuft.

5 BE

5.3

Gegeben sind für $Formula: a \in \mathbb{R}$ $Formula: a \in \mathbb{R}$ die Geraden $Formula: g_a: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ -3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}1 \\ a \\ -2 a\end{array}\right)$ $Formula: g_a: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ -3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}1 \\ a \\ -2 a\end{array}\right)$ mit $Formula: t \in \mathbb{R}$ $Formula: t \in \mathbb{R}$ sowie für eine reelle Zahl Formula: c die Ebene Formula: E : Formula: 2 x_2+x_3=c. Jede Gerade Formula: g_a liegt in Formula: E.

Bestimme Formula: c.

1 BE

Beurteile die folgende Aussage, ohne Abstände zu berechnen:

Der Punkt $Formula: P(1\mid 3\mid -1)$ $Formula: P(1\mid 3\mid -1)$ hat zu jeder Gerade Formula: g_a den gleichen Abstand.

4 BE

5.4

Betrachtet werden die Dreiecke Formula: A B_s C_t mit $Formula: A(0\mid 0\mid 0),$ $Formula: A(0\mid 0\mid 0),$ $Formula: B_s(4s\mid 3s \mid 0)$ $Formula: B_s(4s\mid 3s \mid 0)$ und $Formula: C_t(0 \mid 0 \mid t)$ $Formula: C_t(0 \mid 0 \mid t)$ mit $Formula: s, t \in \mathbb{R}^{+}.$ $Formula: s, t \in \mathbb{R}^{+}.$

Begründe, dass jedes Dreieck Formula: A B_s C_t im Punkt rechtwinklig ist.

2 BE

Zu jedem Wert von Formula: s gibt es einen Wert von Formula: t, so dass das Dreieck Formula: AB_sC_t gleichschenklig ist.

Zeige, dass die zugehörigen Punkte $Formula: (s \mid t)$ $Formula: (s \mid t)$ auf der in der Abbildung dargestellten Gerade liegen.

3 BE

5.5

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, die jeweils mit einer natürlichen Zahl beschriftet sind. Auf drei der Kugeln steht die Zahl Formula: a, auf den beiden anderen Kugeln die Zahl Formula: b. Die Summe von und ist Formula: 17. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig zufällig entnommen.

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $Formula: 1-\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4}$ $Formula: 1-\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4}$ berechnet werden kann.

1 BE

Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Summe der Zahlen auf den beiden entnommenen Kugeln. Der Erwartungswert von ist Formula: 16. Bestimme Formula: a und Formula: b.

4 BE

5.6

Betrachtet werden die Zufallsgrößen Formula: X und Formula: Y mit folgenden Eigenschaften:

ist normalverteilt mit dem Erwartungswert $Formula: \mu.$ $Formula: \mu.$

Für $Formula: k \in \mathbb{R}^{+}$ $Formula: k \in \mathbb{R}^{+}$ gilt: $Formula: P(\mu-k \leq Y \leq \mu)=\tfrac{3}{10}$ $Formula: P(\mu-k \leq Y \leq \mu)=\tfrac{3}{10}$
ist binomialverteilt mit den Parametern und

Es gilt: $Formula: p=P(Y \leq \mu-k)$ $Formula: p=P(Y \leq \mu-k)$

Ermittle alle Werte von Formula: n, für die die Standardabweichung von Formula: X höchstens Formula: 2 ist.

5 BE

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

5.1

Eine Punktsymmetrie zum Ursprung würde voraussetzen, dass die Wertemenge symmetrisch zu Formula: 0 ist. Da Formula: -3 in der Wertemenge enthalten ist aber Formula: 3 nicht, kann der Graph von Formula: f nicht punktsymmetrisch zum Ursprung sein.

Wertemenge angeben

$Formula: W=\,]-3;7]$ $Formula: W=\,]-3;7]$

Angabe begründen

Der Graph von Formula: h kann aus dem Graphen von Formula: f schrittweise erzeugt werden. Dabei haben die Spiegelung an der Formula: x -Achse, die Streckung mit dem Faktor Formula: 2 in Formula: y -Richtung und die anschließende Verschiebung um Formula: 1 in positive -Richtung einen entsprechenden Einfluss auf die Wertemenge, die Verschiebung in -Richtung hat hingegen keinen Einfluss auf die Wertemenge.

5.2

Für Formula: x=0 besitzt das Integral die gleiche untere und obere Grenze. Somit gilt Formula: J(0)=0.

Für $Formula: x\gt0$ $Formula: x\gt0$ ist der Wert von Formula: J durchgehend positiv, da Formula: -1,5 und Formula: 0 die einzigen Nullstellen von Formula: f sind. Da der Graph von für $Formula: x\lt0$ $Formula: x\lt0$ zwischen Formula: x=-1,5 und Formula: x=0 oberhalb der -Achse verläuft und links von unterhalb der -Achse, ist die Flächenbilanz von für genau einen Wert $Formula: x\lt-1,5$ $Formula: x\lt-1,5$ Null.

Für $Formula: x\lt0$ $Formula: x\lt0$ gibt Formula: J die negative Flächenbilanz von Formula: f an, somit existiert genau ein Wert $Formula: x\lt0$ $Formula: x\lt0$ mit Formula: J(x)=0. Insgesamt hat somit genau zwei Nullstellen.

5.3

Das Einsetzen des Stützvektors von Formula: g_a in Formula: E liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2\cdot (-1) + (-3)&=&c \\[5pt] -5&=&c \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2\cdot (-1) + (-3)&=&c \\[5pt] -5&=&c \end{array}$

Wenn jede Gerade Formula: g_a den Fußpunkt des Lots von Formula: P auf Formula: E enthält, dann hat zu jeder Gerade den gleichen Abstand.

Der Punkt mit den Koordinaten $Formula: Q(1\mid -1\mid -3)$ $Formula: Q(1\mid -1\mid -3)$ ist ein gemeinsamer Punkt aller Geraden Formula: g_a. Da $Formula: \overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{r}0 \\ -4 \\ -2\end{array}\right)$ $Formula: \overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{r}0 \\ -4 \\ -2\end{array}\right)$ kollinear zum Normalenvektor $Formula: \left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$ von Formula: E ist, ist Formula: Q der Lotfußpunkt und somit ist die Aussage wahr.

5.4

Die Seite $Formula: \overline{AB_s}$ $Formula: \overline{AB_s}$ liegt in der Formula: xy -Ebene und die Seite $Formula: \overline{AC_t}$ $Formula: \overline{AC_t}$ liegt auf der Formula: z -Achse. Folglich ist jedes Dreieck Formula: AB_sC_t im Punkt rechtwinklig.

Formula: t=5s ist eine Gleichung der dargestellten Geraden. Dann folgt für die gleichschenkligen Dreiecke:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left|\overline{A B_s}\right|&=&\left|\overline{A C_t}\right| \\[5pt] \sqrt{(4 s)^2+(3 s)^2}&=&t \\[5pt] \sqrt{25s^2}&=& t \\[5pt] 5s&=& t \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left|\overline{A B_s}\right|&=&\left|\overline{A C_t}\right| \\[5pt] \sqrt{(4 s)^2+(3 s)^2}&=&t \\[5pt] \sqrt{25s^2}&=& t \\[5pt] 5s&=& t \end{array}$

Somit liegen die zugehörigen Punkte $Formula: (s\mid t)$ $Formula: (s\mid t)$ auf der abgebildeten Gerade.

5.5

Es wird höchstens eine Kugel mit der Zahl Formula: b entnommen.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 \quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 \quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 \quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 \quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 \quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 \quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$

Damit ergibt sich Formula: b=17-6=11.

5.6

Da Formula: Y normalverteilt ist gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} p&=&P(Y \leq \mu-k) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}-P(\mu-k \leq Y \leq \mu) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{10} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} p&=&P(Y \leq \mu-k) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}-P(\mu-k \leq Y \leq \mu) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{10} \end{array}$

Wenn die Standardabweichung von Formula: X maximal Formula: 2 ist gilt für diese Werte von Formula: n:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sqrt{n \cdot \frac{2}{10} \cdot \frac{8}{10}} &\leq& 2 &\quad\scriptsize\mid\; ^2\\[5pt] \dfrac{16}{100} n &\leq& 4 &\quad\scriptsize\mid\; : \tfrac{16}{100} \\[5pt] n &\leq& 25 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sqrt{n \cdot \frac{2}{10} \cdot \frac{8}{10}} &\leq& 2 &\quad\scriptsize\mid\; ^2\\[5pt] \dfrac{16}{100} n &\leq& 4 &\quad\scriptsize\mid\; : \tfrac{16}{100} \\[5pt] n &\leq& 25 \end{array}$

Für alle $Formula: n \leq 25$ $Formula: n \leq 25$ ist die Standardabweichung von Formula: X höchstens Formula: 2.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?