Pflichtaufgaben

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x}-2.$ $Formula: f(x)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x}-2.$

Gib das Verhalten von Formula: f für $Formula: x \rightarrow+\infty$ $Formula: x \rightarrow+\infty$ und $Formula: x \rightarrow-\infty$ $Formula: x \rightarrow-\infty$ sowie das Monotonieverhalten von an.

3 BE

Bestimme die Steigung des Graphen von Formula: f im Schnittpunkt mit der Formula: y -Achse.

2 BE

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}^{+}$ $Formula: \mathbb{R}^{+}$ definierte Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=\ln (x).$ $Formula: f(x)=\ln (x).$ Die Abbildung zeigt den Graphen von Formula: f.

Graph einer steigenden Kurve in einem Koordinatensystem.

Zeige, dass $Formula: F(x)=x \cdot \ln (x)-x$ $Formula: F(x)=x \cdot \ln (x)-x$ ein Term einer Stammfunktion von ist.

2 BE

Der Graph jeder Stammfunktion von Formula: f besitzt genau einen Extrempunkt an der Stelle Formula: 1. Gib die Art des Extrempunkts an und bestimme einen Term derjenigen Stammfunktion von Formula: f, deren Graph einen Extrempunkt mit der Formula: y -Koordinate Formula: 0 hat.

3 BE

Gegeben sind die Gerade $Formula: g: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r}-4 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)+ t \cdot\left(\begin{array}{r}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ $Formula: g: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r}-4 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)+ t \cdot\left(\begin{array}{r}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ mit $Formula: t \in \mathbb{R}$ $Formula: t \in \mathbb{R}$ und die Ebene Formula: E:-2 x_1-x_2+2 x_3-2=0.

Begründe, dass Formula: g senkrecht zu Formula: E steht, und zeige, dass der Punkt $Formula: P(-4\mid 2 \mid -2)$ $Formula: P(-4\mid 2 \mid -2)$ in liegt.

2 BE

Bestimme die Koordinaten eines Punktes auf Formula: g, der zu Formula: E den Abstand Formula: 12 hat.

3 BE

Ein Glücksrad ist in drei gleich große Sektoren unterteilt, von denen genau einer grün eingefärbt ist. Bei einem Spiel drehen Person Formula: A und Person Formula: B abwechselnd das Glücksrad. Diejenige Person, die zuerst die Farbe „Grün“ erzielt, gewinnt und das Spiel ist beendet. Hat jede der beiden Personen zweimal das Glücksrad gedreht, ohne dabei zu gewinnen, so endet das Spiel unentschieden. Person dreht das Glücksrad zuerst.

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass das Spiel unentschieden endet.

1 BE

Beurteile die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Person Formula: A gewinnt, beträgt das Formula: 1,5 -Fache der Wahrscheinlichkeit dafür, dass Person Formula: B gewinnt.

4 BE

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$Formula: \lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty$ $Formula: \lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty$

$Formula: \lim_{x \to +\infty} f(x)=-2$ $Formula: \lim_{x \to +\infty} f(x)=-2$

Das Monotonieverhalten von Formula: f ist streng monoton fallend.

Die erste Ableitung der Funktion Formula: f lautet:

$Formula: f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{2} \mathrm e^{-\tfrac{1}{2} x}$ $Formula: f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{2} \mathrm e^{-\tfrac{1}{2} x}$

Somit gilt für die Steigung im Schnittpunkt mit der Formula: y -Achse:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f^{\prime}(0) &=&-\dfrac{1}{2} \mathrm e^{-\tfrac{1}{2} \cdot 0} \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f^{\prime}(0) &=&-\dfrac{1}{2} \mathrm e^{-\tfrac{1}{2} \cdot 0} \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{2} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} F'(x)&=& \ln (x)+x \cdot \dfrac{1}{x}-1 \\[5pt] &=& \ln (x) \\[5pt] &=&f(x) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} F'(x)&=& \ln (x)+x \cdot \dfrac{1}{x}-1 \\[5pt] &=& \ln (x) \\[5pt] &=&f(x) \end{array}$

Art des Extrempunkts angeben

Die Art des Extrempunktes ist ein Tiefpunkt.

Term bestimmen

Da es nur einen Extrempunkt an der Stelle Formula: x=1 gibt, gilt für die Stammfunktion, deren Graph diesen Punkt an der Stelle Formula: y=0 hat:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} F(1)+c&=&0 \\[5pt] 1\cdot \ln(1) -1+c&=&0 \\[5pt] -1+c&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+1 \\[5pt] c&=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} F(1)+c&=&0 \\[5pt] 1\cdot \ln(1) -1+c&=&0 \\[5pt] -1+c&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+1 \\[5pt] c&=&1 \end{array}$

Somit lautet die gesuchte Stammfunktion:

$Formula: F_1(x)=x\cdot \ln(x)-x+1$ $Formula: F_1(x)=x\cdot \ln(x)-x+1$

Der Vektor $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ ist sowohl Richtungsvektor von g als auch Normalenvektor von Formula: E.

Für das Einsetzen von Formula: P in die Ebenengleichung von Formula: E folgt:

$Formula: -2 \cdot(-4)-1 \cdot 2+2 \cdot(-2)-2=0$ $Formula: -2 \cdot(-4)-1 \cdot 2+2 \cdot(-2)-2=0$

Somit liegt Formula: P in Formula: E.

Die Länge des Richtungsvektor von Formula: g beträgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left| \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right|&=&\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2} \\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left| \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right|&=&\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2} \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Somit muss der Richtungsvektor um den Faktor Formula: t=4 skaliert werden und für den Punkt Formula: Q auf Formula: g gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} Q&=&\left(\begin{array}{r}-4 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)+ 4 \cdot\left(\begin{array}{r}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right) \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{r}-12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} Q&=&\left(\begin{array}{r}-4 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)+ 4 \cdot\left(\begin{array}{r}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right) \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{r}-12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right) \end{array}$

$Formula: \left(\frac{2}{3}\right)^4$ $Formula: \left(\frac{2}{3}\right)^4$

Da Person Formula: A beginnt, beträgt für diese die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen $Formula: \tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{13}{27}.$ $Formula: \tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{13}{27}.$ Für Person Formula: B ergibt sich die folgende Gewinnwahrscheinlichkeit:

$Formula: \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{26}{81}$ $Formula: \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{26}{81}$

Da $Formula: 1,5=\tfrac{3}{2}$ $Formula: 1,5=\tfrac{3}{2}$ ist und $Formula: \tfrac{26}{81}\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{13}{27}$ $Formula: \tfrac{26}{81}\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{13}{27}$ gilt, ist die Aussage aus der Aufgabenstellung richtig.

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