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Pflichtaufgaben

Aufgaben
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Pflichtaufgabe 1

1.
Gib je eine Gleichung der dargestellten Funktionen $f$ und $g$ an.
(2 BE)
#verschiebung#kosinus#sinus
2.
Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x)=\frac{2}{3}\cdot x-2$ $(x\in\mathbb{R})$.
Der Graph der Funktion ist eine Gerade, die senkrecht zum Graphen von $f$ verläuft.
Die Graphen von $f$ und $g$ schneiden sich in einem Punkt auf der $y$-Achse.
a)
Zeichne die Graphen von $f$ und $g$ in ein Koordinatensystem.
(2 BE)
b)
Gib eine Funktionsgleichung von $g$ an.
(1 BE)
#graph#funktionsgleichung
3.
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
(2 BE)
#dreieck
4.
Gegeben ist ein Zylinder mit dem Radius $r$ und der Höhe $h$. Bei einem zweiten Zylinder sind der Radius doppelt und die Höhe halb so groß wie beim ersten Zylinder.
Begründe, dass das Volumen des zweiten Zylinders doppelt so groß wie das Volumen des ersten Zylinders ist.
(1 BE)
#volumen#zylinder
5.
Gegeben ist für ein Zufallsexperiment ein Baumdiagramm.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten $p_1$ und $p_2$.
#wahrscheinlichkeit#baumdiagramm

Pflichtaufgabe 2

1.
Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x)=(x+20)^{-4}-17$ $(x\in\mathbb{R};x\neq-20)$.
a)
Gib den Wertebereich und zwei weitere Eigenschaften der Funktion $f$ an.
(3 BE)
b)
Ermittle die Schnittstellen des Graphen der Funktion $f$ mit dem Graphen von $g(x)=-16$.
(1 BE)
c)
Für jede natürliche Zahl $n$ $(n>0)$ ist die Funktion $f_n$ gegeben durch $f_n(x)=x^{-n}$ $(x\in\mathbb{R};x\neq0)$.
Gib jeweils alle Werte für $n$ so an, dass:
I
der Graph von $f_n$ im gesamten Definitionsbereich monoton fallend ist.
II
die Graphen von $f_n$ und $h$ mit $h(x)=x^{-4}-1$ $(x\in\mathbb{R};x\neq0)$ keinen Punkt gemeinsam haben.
(2 BE)
#wertebereich#definitionsbereich#schnittpunkt
2.
Die Punkte $P(-1\;|\;1)$, $Q(1\;|\;0)$ und $R(1\;|\;1)$ bilden ein Dreieck. Durch zentrische Streckung des Dreiecks $PQR$ mit dem Streckungszentrum $Z(0\;|\;0)$ und dem Streckfaktor $k=4$ entsteht das Dreieck $P'Q'R'$.
a)
Zeichne die Dreiecke $PQR$ und $P'Q'R'$ in ein Koordinatensystem.
(2 BE)
b)
Bestimme die Flächeninhalte beider Dreiecke.
(2 BE)
#dreieck#flächeninhalt
3.
a)
Zeichne ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm.
(1 BE)
b)
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei diesem Spiel weder Geld gewinnt noch verliert.
(1 BE)
c)
Untersuche, ob auf lange Sicht ein Gewinn zu erwarten ist.
(3 BE)
#baumdiagramm#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Pflichtaufgabe 1

1.
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung angeben
Der Graph von $f$ bildet eine um $2$ Einheiten nach oben verschobene Kosinusfunktion ab:
$f(x)=\text{cos}(x)+2$
Der Graph von $g$ bildet eine gespiegelte und um den Faktor $3$ gestreckte Sinusfunktion ab:
$g(x)=-3\text{sin}(x)$.
Die Funktionsgleichung von $g$ lautet $g(x)=-3\text{sin}(x)$ und die von $f$ lautet $f(x)=\text{cos}(x)+2$.
#sinus#kosinus#verschiebung#funktionsgleichung
2.
a)
$\blacktriangleright$ Graphen in Koordinatensystem einzeichnen
Zeichne zuerst den Graphen von $f$ in das Koordinatensystem und trage dann den Graphen von $g$ ein.
b)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung von $\boldsymbol{g}$ angeben
Die Steigung $\frac{-3}{2}$ und die Verschiebung um $2$ Einheiten nach unten von $g$ lassen sich im Diagramm ablesen. Es ergibt sich:
$y=-\frac{3}{2}\cdot x -2$
Die Funktionsgleichung von $g$ lautet $y=-\frac{3}{2}\cdot x -2$.
#schnittpunkt#funktionsgleichung
3.
$\blacktriangleright$ Breite des Sees berechnen
Die Breite $b$ des Sees lässt sich mit dem 2. Strahlensatz berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{150\;\text{m}}{(75+150)\;\text{m}}&=&\frac{100\;\text{m}}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x \\[5pt] \frac{x \cdot 150\;\text{m}}{(75+150)\;\text{m}}&=& 100\;\text{m} &\quad \scriptsize \mid\; :{150\;\text{m}}\;\; \mid\; \cdot (75+150)\;\text{m} \\[5pt] x&=&\frac{100\;\text{m} \cdot (75+150)\;\text{m}}{150\;\text{m}}=150\;\text{m} \end{array}$
Der See ist $150$ Meter breit.
#strahlensatz#dreieck
4.
$\blacktriangleright$ Doppeltes Volumen des zweiten Zylinders begründen
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet:
$V=\pi \cdot r^2 \cdot h$
Der Radius des zweiten Zylinders ist nun doppelt so groß, die Höhe halb so groß, deshalb ergibt sich:
$V=\pi \cdot (2r)^2 \cdot 0,5 \cdot h= 4\cdot 0,5 \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h =2 \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h =2V$
Das Volumen des zweiten Zylinders ist doppelt so groß.
#volumen#zylinder
5.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Vervollständige das Baumdiagramm mit allen Wahrscheinlichkeiten:
Die Wahrscheinlichkeiten $p_1$ und $p_2$ lassen sich nun jeweils mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen:
$p_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4} =\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
$p_2=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5} =\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$
Die Wahrscheinlichkeit $p_1$ beträgt $\frac{1}{4}$. Die Wahrscheinlichkeit $p_2$ beträgt $\frac{2}{5}$.
#wahrscheinlichkeit#baumdiagramm

Pflichtaufgabe 2

1.
a)
$\blacktriangleright$ Wertebereich und zwei Eigenschaften angeben
Der Graph verläuft immer über $y=-17$, deshalb ist der Wertebereich $y>-17$.
  • Der Graph von $f$ geht für $x\longrightarrow \; -20$ gegen unendlich, Polstelle
  • waagerechte Asymptote bei $y=-17$
b)
$\blacktriangleright$ Schnittstelle mit $\boldsymbol{g}$ berechnen
Die Schnittstelle lässt sich durch Gleichsetzen von $f(x)$ und $g(x)$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&g(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] (x+20)^{-4}-17&=&-16 &\quad \scriptsize \mid\;+17 \\[5pt] (x+20)^{-4}&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x+20)^4\\[5pt] 1&=&(x+20)^4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[4]{\;}\\[5pt] \pm 1&=&x+20 &\quad \scriptsize \mid\; -20\\[5pt] x_1&=&-21\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&-19\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Schnittstellen sind bei $x_1=-21$ und $x_2=-19$.
c)
I
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass Graph monoton fallend ist
Der Graph ist im gesamten Definitionsbereich monoton fallend, wenn die Werte für $n$ ungerade sind.
II
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass Graph von $\boldsymbol{f_n}$ und $\boldsymbol{h}$ keinen gemeinsamen Punkt haben
Die Graphen von $f_n$ und $h$ haben keine gemeinsamen Punkte, wenn die Werte für $n$ gerade sind und $n\geq4$ gilt.
#monotonie#schnittpunkt#wertebereich
2.
a)
$\blacktriangleright$ Dreiecke in Koordinatensystem zeichnen
Durch zentrische Streckung ergeben sich folgende Dreiecke:
b)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen
Die Koordinaten der Punkte können im Diagramm abgelesen werden und somit die Länge der Seiten bestimmt werden.
Flächeninhalt von $\boldsymbol{P'Q'R'}$ berechnen
$A=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h$
$A=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 8=16$
Das große Dreieck hat einen Flächeninhalt von $16$ $\text{FE}$.
Flächeninhalt von $\boldsymbol{PQR}$ berechnen
$A=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h$
$A=\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 1=1$
Das kleine Dreieck hat einen Flächeninhalt von $1$ $\text{FE}$.
#flächeninhalt#dreieck
3.
a)
$\blacktriangleright$ Baumdiagramm vollständig zeichnen und beschriften
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen, dass man weder gewinnt noch verliert
Das Ereignis gilt für die Zugvarianten $GNN$, $NGN$ und $NNG$.
$P=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot 3=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{4}{9}$, dass der Spieler werder verliert noch gewinnt.
c)
$\blacktriangleright$ Untersuchen, ob auf lange Sicht Gewinn zu erwarten ist
Eine Aussage darüber, ob auf lange Sicht ein Gewinn zu erwarten ist, macht der Erwartungswert.
Zuerst müssen die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ereignisse berechnet werden:
Wahrscheinlichkeit einmal grau
Das Ereignis gilt für die Zugvarianten $GNN$, $NGN$ und $NNG$.
$P=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot 3=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$
Wahrscheinlichkeit zweimal grau
Das Ereignis gilt für die Zugvarianten $GGN$, $NGG$ und $GNG$.
$P=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot 3=\frac{2}{3^2}=\frac{2}{9}$
Wahrscheinlichkeit dreimal grau
Das Ereignis gilt für die Zugvariante $GGG$
$P=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$
Wahrscheinlichkeit kein grau
Das Ereignis gilt für die Zugvariante $NNN$
$P=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{3^3}=\frac{8}{27}$
Der Erwartungswert lässt sich mithilfe dieser Wahrscheinlichkeiten berechnen.
$E=\frac{4}{9}\cdot 0\;€+\frac{2}{9} \cdot 1\;€+\frac{1}{27}\cdot 5\;€ -\frac{8}{27} \cdot 1\;€=\frac{1}{9}\;€ $
Es ist pro Spiel mit einem Gewinn von $\frac{1}{9}\;€$ zu rechnen.
#wahrscheinlichkeit#baumdiagramm#erwartungswert
Bildnachweise [nach oben]
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