Wahlaufgabe 2

Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ in ihrem größtmöglichen Definitionsbereich.

Gib den Definitionsbereich und zwei weitere Eigenschaften der Funktion $f$ an.

(3 BE)

Berechne die Stelle, an der der Funktionswert 2015 beträgt.

(1 BE)

Gegeben ist für jede reelle Zahl $n$ eine Funktion $g$ durch $g(x)=-x+n$ .

Weise nach, dass für $n=4$ die Graphen von $f$ und $g$ genau einen gemeinsamen Punkt haben.
Es gibt einen weiteren Wert für $n$ so, dass die Graphen von $f$ und $g$ genau einen gemeinsamen Punkt haben. Gib diesen Wert an.

(2 BE)

Gib die Gleichung einer Funktion $g$ so an, dass die Graphen von $f$ und $g$ zwei gemeinsame Punkte haben.

(1 BE)

Gegeben ist das Netz eines regelmäßigen Tetraeders, dessen Flächen mit 1, 2, 3 und 4 beschriftet sind. Wird der Tetraeder geworfen, so ist der Versuchsausgang die Zahl, auf der der Tetraeder liegt.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

$A:=$ „Beim zweimaligen Werfen des Tetraeders fällt zweimal die 1.“

$B:=$ „Beim zweimaligen Werfen des Tetraeders ist die Summe der Augenzahlen durch zwei teilbar.“

$C:=$ „Beim achtmaligen Werfen fällt mindestens einmal die 1.“

(3 BE)

Bei einem Spiel darf der Tetraeder für einen Einsatz von 2 € einmal geworfen werden. Den Betrag, der der geworfenen Zahl entspricht, bekommt man in Euro ausgezahlt.
Untersuche, ob man bei diesem Spiel auf lange Sicht gewinnt oder verliert.

(2 BE)

Im Mathematikunterricht der Klasse $10$ soll für ein Dreieck $ABC,$ von dem $b=4\,\text{cm}$ , $c=6\,\text{cm}$ , $\beta=30°$ bekannt sind, die Größe des Winkels $\gamma$ bestimmt werden. Anna führt eine Konstruktion mit einem Geometrieprogramm durch und erhält $\gamma=131,4°.$ Max berechnet für die Größe des Winkels $48,6°.$ Beurteile beide Ergebnisse.

(3 BE)

Definitionsbereich angeben

$f$ ist in gesamt $\mathbb{R}$ definiert, bis auf die Stelle, an der der Nenner null wird. Das ist für $x=2$ der Fall. Somit ist der Definitionsbereich $\mathbb{D}= \{ x:x \in \mathbb{R};\, x \ne 2\}$ .

Zwei weitere Eigenschaften angeben

Es gibt mehrere mögliche Eigenschaften:

$f(x)\rightarrow 0$ für $x\rightarrow \pm \infty$
$\mathbb{W} = \{ y:y \in \mathbb{R};\, y \ne 0 \}$
$f$ hat keine Nullstellen
$f$ ist streng monoton fallend

Gesucht ist die Lösung der Gleichung $f(x)=2\,015.$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2\,015 \\[5pt] \dfrac{1}{x-2}&=& 2\,015 \quad \scriptsize\mid\; \cdot (x-2) \\[5pt] 1&=& 2\,015\cdot (x-2) \\[5pt] 1&=& 2\,015\cdot x - 4\,030 \quad\scriptsize\mid\; +4\,030 \\[5pt] 4\,031 &=& 2\,015\cdot x \quad \scriptsize\mid\; :2\,015 \\[5pt] \dfrac{4\,031}{2\,015} &=& x \end{array}$

An der Stelle $x=\dfrac{4\,031}{2\,015}$ beträgt der Funktionswert $2\,015.$

Gemeinsamen Punkt nachweisen

Es gibt dann genau einen gemeinsamen Schnittpunkt, wenn die Gleichung $f(x)=g(x)$ genau eine Lösung hat.

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& g(x) \\[5pt] \dfrac{1}{x-2}&=& -x+4 \end{array}$

Der Taschenrechner liefert die einzige Lösung $x=3,$ somit gibt es genau einen gemeinsamen Punkt.

Wert für $\boldsymbol{n}$ angeben

Für einen weiteren Wert von $n$ haben die Graphen der beiden Funktionen genau einen gemeinsamen Schnittpunkt. Beim Gleichsetzen der beiden Funktionen liefert der Taschenrechner jedoch eine schwer auszuwertende Lösung. Graphisch lässt sich die Lösung dagegen schnell ermitteln:

Der Schnittpunkt des Graphen der Funktion $g(x)=-x+4$ schneidet den Graphen der Funktion $f$ nur im Punkt $(3\mid 1).$ Die einzige andere Parallele zu $g(x),$ die den Graphen von $f$ in genau einem Punkt schneidet, muss durch den Punkt $(1 \mid -1)$ gehen.

Die zugehörige Funktionsgleichung lautet $g(x)=-x,$ daher ist der gesuchte Wert $n=0.$

Laut Teilaufgabe a) gibt es für die Werte von $n=0$ und $n=4$ genau einen gemeinsamen Schnittpunkt der Graphen von $f$ und $g.$ Der graphischen Darstellung lässt sich entnehmen, dass es für die Werte $n\lt 0$ und $n\gt 4$ jeweils zwei Schnittpunkte gibt.

Eine mögliche Funktionsgleichung lautet daher $g(x)=-x+6.$

Das Werfen des Tetraeders ist ein Laplace-Experiment, daher gilt $P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=\dfrac{1}{4}.$

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(1)\cdot P(1) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{16} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(11;\,13;\,22;\,24;\,31;\,33;\,42;\,44) \\[5pt] &=& 8\cdot \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& 1-P(\overline{C}) \\[5pt] &=& 1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^8 \\[5pt] &\approx& 0,8999 \end{array}$

$E(\text{geworfene Zahl})$

$\begin{array}[t]{rll} &=& \dfrac{1}{4}\cdot 1+ \dfrac{1}{4}\cdot 2+ \dfrac{1}{4}\cdot 3+ \dfrac{1}{4}\cdot 4\\[5pt] &=&2,5\\[5pt] \end{array}$

Der Erwartungswert liegt über dem Einsatz. Somit ist langfristig mit einen Gewinn zu rechnen.

Die Größe des Winkels $\gamma$ lässt sich mit dem Sinussatz berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{b}{\sin\;\beta}&=&\dfrac{c}{\sin\;\gamma} \\[5pt] \dfrac{4}{\sin(30^{\circ})}&=& \dfrac{6}{\sin\;\gamma} \\[5pt] 8 &=& \dfrac{6}{\sin\;\gamma} \quad \scriptsize \mid \; \cdot \sin \gamma \\[5pt] 8\cdot \sin \gamma &=& 6 \quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt] \sin \gamma &=& \dfrac{3}{4} \quad \scriptsize \mid \; \sin^{-1} \\[5pt] \gamma_1&\approx& 131,4^{\circ} \\[5pt] \gamma_2&\approx& 48,5^{\circ} \end{array}$

Es sind also beide Winkelgrößen möglich. Das Dreieck ist durch die gegebenen Informationen nicht eindeutig.