Pflichtaufgabe 2 – Mit Hilfsmitteln

Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x)=(x+20)^{-4}-17$ $(x\in\mathbb{R};x\neq-20).$

Gib den Wertebereich und zwei weitere Eigenschaften der Funktion $f$ an.

(3 BE)

Ermittle die Schnittstellen des Graphen der Funktion $f$ mit dem Graphen von $g(x)=-16.$

(1 BE)

Für jede natürliche Zahl $n$ $(n\gt 0)$ ist die Funktion $f_n$ gegeben durch $f_n(x)=x^{-n}$ $(x\in\mathbb{R};x\neq0).$

Gib jeweils alle Werte für $n$ so an, dass:

der Graph von $f_n$ im gesamten Definitionsbereich monoton fallend ist.

die Graphen von $f_n$ und $h$ mit $h(x)=x^{-4}-1$ $(x\in\mathbb{R};x\neq0)$ keinen Punkt gemeinsam haben.

(2 BE)

Die Punkte $P(-1\mid-1)$ , $Q(1\mid0)$ und $R(1\mid 1)$ bilden ein Dreieck. Durch zentrische Streckung des Dreiecks $PQR$ mit dem Streckungszentrum $Z(0\;|\;0)$ und dem Streckfaktor $k=4$ entsteht das Dreieck $\(P$

Zeichne die Dreiecke $PQR$ und $\(P$ in ein Koordinatensystem.

(2 BE)

Bestimme die Flächeninhalte beider Dreiecke.

(2 BE)

Ein Glücksrad (siehe Skizze) wird dreimal gedreht. Der Spieleinsatz beträgt dafür ein Euro.

Bleibt der Zeiger genau einmal auf dem grünen Feld stehen, wird ein Euro ausgezahlt.
Bei „genau zweimal grün“ werden zwei Euro, bei „dreimal grün“ sechs Euro ausgezahlt.

Zeichne ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm.

(1 BE)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei diesem Spiel weder Geld gewinnt noch verliert.

(1 BE)

Untersuche, ob auf lange Sicht ein Gewinn zu erwarten ist.

(3 BE)

Wertebereich angeben

Da der erste Summand immer größer als null ist, gilt für den Wertebereich von $f:$

$y \in \mathbb R, \, y\gt -17$

Weitere Eigenschaften von $\boldsymbol{f}$ angeben

Es können beispielsweise folgende Eigenschaften von $f$ angegeben werden:

Der Graph von $f$ hat die Asymptoten $y=-17$ und $x=20$
$f$ ist eine gerade Funktion
Der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden $x=-20$
Für $x\lt-20$ ist die Funktion streng monoton steigend, für $x\gt-20$ ist sie streng monoton fallend.

Gesucht ist die Lösung der Gleichung $f(x)=g(x).$ Der Taschenrechner liefert die Schnittstellen $x_1=-21$ und $x_2=-19$ .

Der Graph ist im gesamten Definitionsbereich monoton fallend, wenn die Werte für $n$ ungerade sind.

Die Graphen von $f_n$ und $h$ haben keine gemeinsamen Punkte, wenn die Werte für $n$ gerade sind und $n\geq 4$ gilt.

Flächeninhalt von $\(\boldsymbol{P$ berechnen

Die Länge der Seiten können mithilfe der Skizze bestimmt werden.

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot 8 \\[5pt] &=& 16 \end{array}$

Das Dreieck $\(P$ hat einen Flächeninhalt von 16 FE.

Flächeninhalt von $\boldsymbol{PQR}$ berechnen

Die Seitenlängen können analog bestimmt werden. Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot 1 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

Das Dreieck $PQR$ hat einen Flächeninhalt von 1 FE.

Bei einem Einsatz von 1 € muss wieder 1 € gewonnen werden, damit bei dem Spiel weder Geld verloren noch gewonnen wird. Das ist der Fall, wenn genau einmal „grün“ gedreht wird.

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{gww, wgw, wwg})&=& 3\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \\[5pt] &=& \dfrac{4}{9} \end{array}$

Eine Aussage darüber, ob auf lange Sicht ein Gewinn zu erwarten ist, macht der Erwartungswert.

Zuerst müssen die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ereignisse berechnet werden:

$A_0 :=$ „Es wird kein grün gedreht.“
$P(A_0)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}$
In diesem Fall verliert der Spieler 1 €.

$A_1 :=$ „Es wird einmal grün gedreht.“
$P(A_1)=3\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}$
In diesem Fall beträgt der Gewinn 0 €.

$A_2 :=$ „Es wird zweimal grün gedreht.“
$P(A_2)=3\cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^2\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}$
In diesem Fall gewinnt der Spieler 1 €.

$A_3 :=$ „Es wird dreimal grün gedreht.“
$P(A_3)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}$
In diesem Fall gewinnt der Spieler 5 €.

Der Erwartungswert lässt sich als die Summe der Produkte der Gewinne mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit berechnen.

Rechenweg anzeigen

$E=\dfrac{1}{9}\;€$

Es ist pro Spiel mit einem Gewinn von $\dfrac{1}{9}\;€\approx 0,11\,€$ zu rechnen.