Wahlaufgabe 1

Eine Stadt plant den Bau eines neuen Spielplatzes.

Das Klettergerüst soll die Form eines Würfels mit einbeschriebener Doppelpyramide haben. Die Doppelpyramide besteht dabei aus zwei kongruenten, geraden Pyramiden mit gemeinsamer Grundfläche. Die Kantenlänge des Würfels beträgt 2 m. Dargestellt sind alle Metallrohre dieses geplanten Klettergerüsts.
Berechne die gesamte Länge der benötigten Metallrohre.

Skizze nicht maßstäblich

(4 BE)

Die Darstellung zeigt einen Teil der Skateranlage im Profil.
Die Profillinie der befahrbaren Fläche hat näherungsweise die Form einer Parabel mit dem Scheitelpunkt $S.$
Berechne die Längen der beiden Träger $t_1$ und $t_2.$

Skizze nicht maßstäblich

(4 BE)

Die Kosten für den Spielplatz betrugen nicht wie geplant 360 000 €, sondern 450 000 €.
Dazu wurde in der Presse veröffentlich:

Die tatsächlichen Kosten sind im Vergleich zu den geplanten Kosten auf 125 % gestiegen.
Für den Bau des Spielplatzes waren nur 80 % der tatsächlichen Kosten eingeplant.

Beurteile die Richtigkeit der beiden Pressemeldungen.
Formuliere eine andere mathematisch korrekte Aussage zum oben genannten Sachverhalt.

(3 BE)

Zur Eröffnung des Spielplatzes werden 2 500 Lose verkauft. Unter diesen Losen sind ein Hauptgewinn zu 500 €, fünf Gewinne zu 100 €, 100 Gewinne zu 5 € und 500 Kleingewinne im Wert von 2 €. Die anderen Lose sind Nieten.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

$A:=$

„Das erste verkaufte Los enthält den Hauptgewinn.“

$B:=$

„Mindestens eines der ersten drei verkauften Lose ist ein Gewinnlos.“

(2 BE)

Nach Verkauf aller Lose und Auszahlung der Gewinne sollen 2 500 € übrig bleiben.
Ermittle den Preis für ein Los.

(2 BE)

Alle gleichfarbigen Rohre haben die gleiche Länge. Nach der Aufgabenstellung haben die grün markierten Rohre alle eine Länge von 2 m. Die Längen der anderen Rohre werden im Folgenden berechnet.

Längen der Diagonalen der Deckenfläche berechnen

Innerhalb der Deckfläche des Würfels verlaufen die zwei blau markierten Rohre entlang der Diagonalen. Ihre Länge $d$ kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} d^2 &=& (2\,\text{m})^2 + (2\,\text{m})^2 \\[5pt] d^2 &=& 8\,\text{m}^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] d &=& \sqrt{8}\,\text{m} \end{array}$

Längen der übrigen Rohre berechnen

Die übrigen acht Rohre haben alle dieselbe Länge. Jedes dieser Rohre bildet mit einer halben Diagonalen und der halben Kantenlänge des Würfels ein rechtwinkliges Dreieck.

Mit dem Satz des Pythagoras gilt wieder:

$\begin{array}[t]{rll} a^2 &=& \left(\dfrac{d}{2} \right)^2 +(1\,\text{m})^2 \\[5pt] a^2 &=& \left(\dfrac{\sqrt{8}\,\text{m}}{2} \right)^2 +(1\,\text{m})^2 \\[5pt] a^2 &=& 3\,\text{m}^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] a &=& \sqrt{3}\,\text{m} \end{array}$

Gesamtlänge berechnen

$12\cdot 2\,\text{m} + 2\cdot \sqrt{8}\,\text{m} + 8\cdot \sqrt{3}\,\text{m} \approx 43,5\,\text{m}$

Insgesamt wird für die Metallrohre eine Länge von ca. $43,5\,\text{m}$ benötigt.

Funktionsgleichung aufstellen

Als Scheitelpunkt bietet sich der Koordinatenursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems an. In diesem Fall kann die Parabel durch eine Funktionsgleichung der Form $p: y= a\cdot x^2$ beschrieben werden. Zudem kann aus der Skizze der Punkt $P(-6\mid 3)$ abgeleitet werden.

Einsetzten dieser Koordinaten in die allgemeine Funktionsgleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} y &=& a\cdot x^2 \\[5pt] 3&=& a\cdot (-6)^2 \\[5pt] 3&=& a\cdot 36 \quad \scriptsize \mid\; :36 \\[5pt] \dfrac{1}{12}&=& a \end{array}$

Eine Gleichung der Parabel, die das Profil der Skateranlage beschreibt, lautet also:

$p: y= \dfrac{1}{12}\cdot x^2$

Längen der Träger berechnen

Die oberen Endpunkte der Träger liegen auf dem Graphen von $p,$ die unteren Endpunkte auf der $x$ -Achse. Die Länge der Träger entspricht also der $y$ -Koordinate der oberen Endpunkte.
Der Träger $t_1$ steht an der Stelle $x = -4,$ der Träger $t_2$ an der Stelle $x=-2.$

$\begin{array}[t]{rll} t_1:\quad p(-4)&=& \dfrac{1}{12}\cdot (-4)^2 \\[5pt] &\approx& 1,33 \\[10pt] t_2:\quad p(-2)&=&\dfrac{1}{12}\cdot (-2)^2 \\[5pt] &\approx& 0,33 \end{array}$

Der Träger $t_1$ ist also ca. $1,33\,\text{m}$ lang, der Träger $t_2$ ist ca. $0,33\,\text{m}$ lang.

Richtigkeit der Pressemeldungen beurteilen

Grundwert $G: 360\,000\,€$
Prozentwert $P: 450\,000\,€$

$\dfrac{P}{G}\cdot 100\,\%=\dfrac{450\,000\,€}{360\,000\,€}\cdot 100\,\% = 125\,\%$

Die erste Pressemeldung ist richtig.

Grundwert $G: 450\,000\,€$
Prozentwert $P: 360\,000\,€$

$\dfrac{P}{G}\cdot 100\,\%=\dfrac{360\,000\,€}{450\,000\,€}\cdot 100\,\% = 80\,\%$

Die zweite Pressemeldung ist ebenfalls richtig.

Andere mathematisch korrekte Aussage formulieren

Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten. Eine ist beispielsweise:

„Die tatsächlichen Kosten sind $25\,\%$ höher als ursprünglich geplant.“

Beim ersten Los befinden sich noch insgesamt 2 500 Lose im Lostopf. Darunter ist ein Hauptgewinn.

$P(A)= \dfrac{1}{2\,500}$ $= 0,0004$ $= 0,04\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,04\,\%$ ist das erste verkaufte Los das Los mit dem Hauptgewinn.

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$ lässt sich mit dem Gegenereignis berechnen. Dieses lautet:

$\overline{B}:=$ „Unter den ersten drei verkauften Losen ist kein einziges Gewinnlos. “

Von den zu Beginn $2\,500$ Losen sind $606$ Gewinnlose, es sind also $2\,500 -606= 1\,894$ Lose, die kein Gewinn sind. Da es sich um Ziehen ohne Zurücklegen handelt, ergibt sich folgende Rechnung:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{B})=& \dfrac{1\,894}{2\,500}\cdot \dfrac{1\,893}{2\,499}\cdot\dfrac{1\,892}{2\,498} \\[5pt] \approx& 0,435 \\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ lässt sich damit wie folgt berechnen:

$P(B)=1-P(\overline{B})\approx 0,565 = 56,5\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $56,5\,\%$ befindet sich unter den ersten drei verkauften Losen mindestens ein Gewinnlos.

Gesamtpreis aller Gewinne berechnen:

Rechenweg anzeigen

$G=2\,500\,€$

Es müssen also 2 500€ an Gewinnen ausgeschüttet werden. Damit 2 500 € übrig bleiben, müssen die Lose insgesamt für 5 000 € verkauft werden. Jedes der 2 500 Lose muss daher für 2 € verkauft werden.