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Wahlaufgaben

Aufgaben
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Wahlaufgabe 1

Eine Stadt plant den Bau eines neuen Spielplatzes.
a)
Wahlaufgaben
Abb. 1: Skizze nicht maßstäblich
Wahlaufgaben
Abb. 1: Skizze nicht maßstäblich
(4 BE)
#würfel#pyramide
b)
Wahlaufgaben
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
Wahlaufgaben
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
(4 BE)
#parabel
c)
Die Kosten für den Spielplatz betrugen nicht wie geplant $360\,000\,€,$ sondern $450\,000\,€.$ Dazu wurde in der Presse veröffentlich:
  1. Die tatsächlichen Kosten sind im Vergleich zu den geplanten Kosten auf $125\,\%$ gestiegen.
  2. Für den Bau des Spielplatzes waren nur $80\,\%$ der tatsächlichen Kosten eingeplant.
Beurteile die Richtigkeit der beiden Pressemeldungen.
Formuliere eine andere mathematisch korrekte Aussage zum oben genannten Sachverhalt.
(3 BE)
#prozent
Zur Eröffnung des Spielplatzes werden $2\,500$ Lose verkauft. Unter diesen Losen sind ein Hauptgewinn zu $500\,€,$ fünf Gewinne zu $100\,€,$ $100$ Gewinne zu $5\,€$ und $500$ Kleingewinne im Wert von $2\,€.$ Die anderen Lose sind Nieten.
d)
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
„Das erste verkaufte Los enthält den Hauptgewinn.“
„Mindestens eines der ersten drei verkauften Lose ist ein Gewinnlos.“
(2 BE)
#wahrscheinlichkeit
e)
Nach Verkauf aller Lose und Auszahlung der Gewinne sollen $2\,500\,€$ übrig bleiben.
Ermittle den Preis für ein Los.
(2 BE)

Wahlaufgabe 2

1.
Das Schwimmbecken eines Freibades hat die Form eines geraden Prismas und ist bis zum Rand mit Wasser gefüllt.
Hinweis: In der Darstellung liegt die Grundfläche dieses Prismas in der $xy$-Ebene.
Wahlaufgaben
Abb. 3: Skizze nicht maßstäblich
Wahlaufgaben
Abb. 3: Skizze nicht maßstäblich
a)
Die Vorderkante des Bodens im Flachwasserbereich kann durch den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)= -\frac{1}{50}\cdot x-\frac{1}{5}$ mathematisch beschrieben werden.
Zeige, dass die Wassertiefe im Flachwasserbereich von $20\,\text{cm}$ auf $50\,\text{cm}$ steigt.
Untersuche, ob du bei der Wassertiefe $t$ noch stehen kannst.
(4 BE)
b)
Das Schwimmbecken wird zur Reinigung vollständig geleert.
Pro Minute fließen $1\,000$ Liter Wasser ab.
Berechne die dazu benötigte Zeit.
(3 BE)
c)
Weise nach, dass der Boden im Schwimmerbereich dreimal so stark abfällt wie der im Flachwasserbereich.
(2 BE)
#prisma
2.
(3 BE)
#kreis
3.
Bei einem Spiel darf man für einen Einsatz von $k$ Euro zwei ideale Würfel genau einmal werfen. Ergibt das Produkt der Augenzahlen $36,$ erhält man $100$ Euro, ist das Produkt der Augenzahlen durch fünf teilbar, erhält man $4$ Euro. Bei allen anderen Produkten erhält man nichts.
Berechne den Einsatz $k,$ für den das Spiel fair ist.
Hinweis: Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns null ist.
(3 BE)
#erwartungswert
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Wahlaufgabe 1Wahlaufgaben

a)
$\blacktriangleright$  Länge der benötigten Rohre berechnen
Die Kantenlänge des Würfels beträgt $2\,\text{m}.$ Zur Übersicht kannst du in der Abbildung zuerst alle Rohre mit dieser Länge markieren.
Wahlaufgaben
Abb. 1: In grün sind die Rohre mit der Länge $2\,\text{m}$ markiert
Wahlaufgaben
Abb. 1: In grün sind die Rohre mit der Länge $2\,\text{m}$ markiert
1. Schritt: Längen der Diagonalen der Seitenfläche berechnen
Innerhalb der Deckfläche des Würfels verlaufen zwei Rohre entlang der Diagonalen. Ihre Länge $d$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} d^2 &=& (2\,\text{m})^2 + (2\,\text{m})^2 \\[5pt] d^2 &=& 8\,\text{m}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] d &=& \sqrt{8}\,\text{m} \end{array}$
$ d=\sqrt{8}\,\text{m} $
2. Schritt: Längen der übrigen Rohre berechnen
Wahlaufgaben
Abb. 2: Dreieck
Wahlaufgaben
Abb. 2: Dreieck
3. Schritt: Gesamtlänge berechnen
$12\cdot 2\,\text{m} + 2\cdot \sqrt{8}\,\text{m} + 8\cdot \sqrt{3}\,\text{m} \approx 43,5\,\text{m} $
$ …\approx 43,5\,\text{m} $
Insgesamt wird für die Metallrohre eine Länge von ca. $43,5\,\text{m}$ benötigt.
#satzdespythagoras
b)
$\blacktriangleright$  Längen der Träger berechnen
1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
Wählst du als Scheitelpunkt den Koordinatenursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems, dann kann die Parabel durch eine Funktionsgleichung der folgenden Form beschrieben werden:
$p:\, y= a\cdot x^2$
Zudem kannst du aus der Skizze noch einen weiteren Punkt ableiten:
$P(-6\mid 3)$
Mit diesen Koordinaten kannst du eine Punktprobe durchführen und so den Parameterwert $a$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y &=& a\cdot x^2 \\[5pt] 3&=& a\cdot (-6)^2 \\[5pt] 3&=& a\cdot 36 &\quad \scriptsize \mid\; :36 \\[5pt] \frac{1}{12}&=& a \end{array}$
$ a=\frac{1}{12} $
Eine Gleichung der Parabel, die das Profil der Skateranlage beschreibt, lautet also:
$p:\, y= \frac{1}{12}\cdot x^2$
2. Schritt: Längen der beiden Träger berechnen
Die oberen Endpunkte der Träger liegen auf dem Graphen von $p,$ die unteren Endpunkte auf der $x$-Achse. Die Länge der Träger entspricht also der $y$-Koordinate der oberen Endpunkte.
Der Träger $t_1$ liegt an der Stelle $x = -4,$ der Träger $t_2$ liegt an der Stelle $x=-2.$
$\begin{array}[t]{rll} p(-4)&=& \frac{1}{12}\cdot (-4)^2 \\[5pt] &\approx& 1,33 \\[10pt] p(-2)&=&\frac{1}{12}\cdot (-2)^2 \\[5pt] &\approx& 0,33 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} p(-4)&\approx 1,33 \\[10pt] p(-2)&\approx 0,33 \end{array}$
Der Träger $t_1$ ist also ca. $1,33\,\text{m}$ lang, der Träger $t_2$ ist ca. $0,33\,\text{m}$ lang.
c)
$\blacktriangleright$  Richtigkeit der Pressemeldungen beurteilen
1.
Bei der ersten Aussage ist der Grundwert der Wert der geplanten Kosten und die tatsächlichen Kosten werden dazu in Relation gesetzt:
$\frac{450\,000}{360\,000} = 1,25 = 125\,\%$
Die tatsächlichen Kosten entsprechen also $125\,\%$ der geplanten Kosten. Die erste Pressemeldung ist daher richtig.
2.
Bei der zweiten Aussage ist der Grundwert der Wert der tatsächlichen Kosten und die geplanten Kosten werden dazu in Relation gesetzt:
$\frac{360\,000}{450\,000} = 0,8 = 80\,\%$
Die geplanten Kosten entsprechen also nur $80\,\%$ der tatsächlichen Kosten. Es wurden nur $80\,\%$ der tatsächlichen Kosten geplant. Die zweite Pressemeldung ist daher ebenfalls richtig.
$\blacktriangleright$  Andere mathematisch korrekte Aussage formulieren
Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten. Eine ist beispielsweise:
„Die tatsächlichen Kosten sind $25\,\%$ höher als eingeplant war.“
#grundwert
d)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Beim ersten Los befinden sich noch insgesamt $2\,500$ im Lostopf. Darunter ist $1$ Hauptgewinn.
$P(A)=P(\text{„Hauptgewinn“}) = \frac{1}{2\,500} = 0,0004 = 0,04\,\%$
$ P(A)=0,04\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,04\,\%$ ist das erste verkaufte Los das Los mit dem Hauptgewinn.
Das Ereignis $B:=$„Mindestens eines der ersten drei verkauften Lose ist ein Gewinnlos.“ ist das Gegenereignis dazu, dass unter den ersten drei verkauften Losen, kein einziges Gewinnlos ist. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen. Von den zu Beginn $2\,500$ Losen sind $606$ Gewinnlose, es sind also $2\,500 -606= 1\,894$ Lose, die kein Gewinn sind.
Da es sich um Ziehen ohne Zurücklegen handelt ergibt sich folgende Rechnung:
$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{„keines der ersten drei Lose ist ein Gewinnlos“}) \\[5pt] =& \frac{1\,894}{2\,500}\cdot \frac{1\,893}{2\,499}\cdot\frac{1\,892}{2\,498} \\[5pt] \approx& 0,435 \\[5pt] \end{array}$
$ …\approx 0,435 $
Für das Gegenereignis gilt:
$P(B)=1-P(\text{„keines der ersten drei Lose ist ein Gewinnlos“})\approx 0,565 = 56,5\,\%$
$ P(B)\approx 0,565\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $56,5\,\%$ befindet sich unter den ersten drei verkauften Losen mindestens ein Gewinnlos.
#pfadregeln
e)
$\blacktriangleright$  Preis für ein Los ermitteln
Berechne den Gesamtpreis aller Gewinne:
$G= 1\cdot 500\,€ + 5\cdot 100\,€ +100\cdot 5\,€ +500\cdot 2\,€ = 2\,500\,€$
$ G=2\,500\,€ $
Es müssen also $2\,500\,€$ an Gewinnen ausgeschüttet werden. Damit $2\,500\,€$ übrig bleiben, müssen die Lose insgesamt für $5\,000\,€$ verkauft werden. Jedes der $2\,500$ Lose muss daher für $2\,€$ verkauft werden.

Wahlaufgabe 2

1.
a)
$\blacktriangleright$  Steigung der Wassertiefe zeigen
$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& -\frac{1}{50}\cdot 0 -\frac{1}{5}\\[5pt] &=& -\frac{1}{5} \\[5pt] &=& -0,2\\[10pt] f(15) &=& -\frac{1}{50}\cdot 15 -\frac{1}{5}\\[5pt] &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] &=& -0,5\\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=-0,2\\[10pt] f(15) &= -0,5\\[10pt] \end{array}$
Zu Beginn des Flachwasserbereichs beträgt die Wassertiefe $20\,\text{cm},$ zum Ende beträgt sie $50\,\text{cm}.$ Die Wassertiefe steigt also im Flachwasserbereich von $20\,\text{cm}$ auf $50\,\text{cm}.$
$\blacktriangleright$  Untersuche, ob du noch stehen kannst
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Die Vorderkante des Bodens im Schwimmerbereich kann durch eine Gerade $g$ beschrieben werden. Aus der obigen Rechnung ergibt sich, dass der Punkt $P(15\mid -0,5)$ auf dieser Gerade liegen muss.
Aus der Abbildung lässt sich weiterhin ablesen, dass $Q(45\mid -2,3)$ auf $g$ liegt.
Mithilfe eines Differenzenquotienten lässt sich die Steigung von $g$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P} \\[5pt] &=& \dfrac{-2,3-(-0,5)}{45-15} \\[5pt] &=& \dfrac{-1,8 }{30} \\[5pt] &=& -0,06 \end{array}$
Mithilfe einer Punktprobe kannst du nun den $y$-Achsenabschnitt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& -0,06\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; P(15\mid -0,5) \\[5pt] -0,5 &=& -0,06\cdot 15 +b \\[5pt] -0,05 &=& -0,9 +b &\quad \scriptsize \mid\; +0,9\\[5pt] 0,85 &=& b \end{array}$
$ b=0,85 $
Die Vorderkante des Bodens im Schwimmerbereich kann also durch $g(x)= -0,06x+0,85$ beschrieben werden.
2. Schritt: Wassertiefe berechnen
$\begin{array}[t]{rll} g(30)&=& -0,06\cdot 30+0,85 \\[5pt] &=& -0,95 \\[5pt] \end{array}$
Die Wassertiefe $t$ beträgt $95\,\text{cm}.$ An dieser Stelle kannst du also noch stehen.
b)
$\blacktriangleright$  Benötigte Zeit berechnen
Die Grundfläche des Prismas kann in zwei Trapeze aufgeteilt werden. Mache dir eine Skizze und verwende für die Beschriftung der Seitenlängen die Ergebnisse aus der letzten Teilaufgabe.
Wahlaufgaben
Abb. 3: Skizze
Wahlaufgaben
Abb. 3: Skizze
Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes folgt für die beiden Teiltrapeze:
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \frac{0,2\,\text{m}+0,5\,\text{m}}{2}\cdot 15\,\text{m} \\[5pt] &=& 5,25\,\text{m}^2 \\[10pt] A_2&=& \frac{0,5\,\text{m}+2,3\,\text{m}}{2}\cdot 30\,\text{m} \\[5pt] &=& 42\,\text{m}^2 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_1&= 5,25\,\text{m}^2 \\[10pt] A_2&= 42\,\text{m}^2 \\[10pt] \end{array}$
Die gesamte Grundfläche ist also $G= 47,25\,\text{m}^2$ groß. Die Höhe des Prismas entspricht der Breite des Schwimmbeckens und ist daher $h=20\,\text{m}.$ Für das Volumen folgt daher:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot h \\[5pt] &=& 47,25\,\text{m}^2 \cdot 20\,\text{m} \\[5pt] &=& 945\,\text{m}^3 \\[5pt] &=& 945\,000\,l \end{array}$
Insgesamt werden zum Leeren des Beckens also $945\,\text{min} = 15,75\,\text{h}$ benötigt.
c)
$\blacktriangleright$  Stärkeres Abfallen nachweisen
Der Verlauf der Bodenkante im Flachwasserbereich wird durch die Funktion $f$ beschrieben, der Verlauf der Bodenkante im Schwimmerbereich durch die Funktion $g$ aus Teilaufgabe a.
Die Gerade $f$ hat die Steigung $m_f=-\frac{1}{50},$ die Gerade $g$ hat die Steigung $m_g= -0,06= -\frac{3}{50}.$ Die Steigung von $g$ ist das dreifache der Steigung von $f.$
Da beide Steigungen negativ sind, fällt der Boden im Schwimmerbereich daher dreimal so stark ab wie im Flachwasserbereich.
#trapez
2.
$\blacktriangleright$  Formel für den Flächeninhalt zeigen
Die Fläche des Pools setzt sich zusammen aus:
  • einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck mit den Kathetenlängen $a,$ $a$ und der Hypotenuse $b.$
    $A_1 = \frac{a^2}{2}$
  • zwei Halbkreisen mit dem Durchmesser $a,$ und daher dem Radius $\frac{a}{2}.$ Sie lassen sich zu einem Kreis zusammenfassen:
    $A_2 = \pi \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 $
  • einem Halbkreis mit dem Durchmesser $b,$ also dem Radius $\frac{b}{2}.$
    $A_3 = \frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \left(\frac{b}{2}\right)^2$
Die Seitenlänge $b$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras in Abhängigkeit von $a$ darstellen:
$\begin{array}[t]{rll} a^2 + a^2 &=& b^2 \\[5pt] 2a^2 &=& b^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] \sqrt{2}a &=& b \end{array}$
Damit gilt für den Flächeninhalt des gesamten Pools:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& A_1 +A_2 +A_3\\[5pt] &=& \frac{a^2}{2} + \pi \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 +\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \left(\frac{b}{2}\right)^2 &\quad \scriptsize \mid\; b = \sqrt{2}a\\[5pt] &=& \frac{a^2}{2} + \pi \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \left(\frac{ \sqrt{2}a}{2}\right)^2 \\[5pt] &=& \frac{a^2}{2} + \pi \cdot \frac{a^2}{4} + \pi \cdot \frac{a^2}{4} \\[5pt] &=& \frac{a^2}{2} + \pi \cdot \frac{a^2}{2} \\[5pt] &=& \frac{a^2}{2}\cdot \left(\pi +1 \right) \\[5pt] \end{array}$
$ A= \frac{a^2}{2}\cdot \left(\pi +1 \right) $
$\blacktriangleright$  Parameterwert berechnen
Durch Gleichsetzen erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 100\,\text{m}^2 &=& \frac{a^2}{2}\cdot \left(\pi +1 \right) &\quad \scriptsize \mid\;:\left(\pi +1 \right) \\[5pt] \frac{100\,\text{m}^2}{\pi +1} &=& \frac{a^2}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] \frac{200\,\text{m}^2}{\pi +1} &=& a^2 \\[5pt] \sqrt{\frac{200\,\text{m}^2}{\pi +1} } &=& a \\[5pt] 6,9\,\text{m} &\approx& a \\[5pt] \end{array}$
$ a\approx 6,9\,\text{m} $
Mit $a\approx 6,9\,\text{m}$ beträgt der Flächeninhalt des Pools ca. $100\,\text{m}^2.$
3.
$\blacktriangleright$  Fairen Einsatz berechnen
Es gibt drei verschiedene Fälle:
  • Eine Auszahlung von $100\,€,$ wenn das Produkt der Augenzahlen $36$ beträgt. Dies ist nur möglich wenn beide Würfel die Augenzahl $6$ zeigen. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also:
    $P(100\,€) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
  • eine Auszahlung von $4\,€,$ wenn das Produkt der Augenzahlen durch $5$ teilbar ist. Dies ist möglich, wenn mindestens einer der beiden Würfel die Augenzahl $5$ zeigt. Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich also zu:
    $P(4\,€) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6} + \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{11}{36}$
    $ P(4\,€) = \frac{11}{36}$
  • keine Auszahlung in allen anderen Fällen.
Der Erwartungswert des Gewinns lässt sich dann wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} E(G) &=& 100\,€\cdot \frac{1}{36} + 4\,€\cdot \frac{11}{36} - k\\[5pt] &=& 4\,€ -k \\[5pt] \end{array}$
$ E(G)=4\,€ -k $
Setze dies nun mit $0\,€$ gleich, denn dann ist das Spiel fair.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 4\,€ -k &\quad \scriptsize \mid\;+k \\[5pt] k&=& 4\,€ \end{array}$
Bei einem Einsatz von $4\,€$ pro Spiel ist das Spiel fair.
#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
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