Pflichtaufgabe 1 – Ohne Hilfsmittel

Gegeben ist das Gleichungssystem

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 3x-4y &=& 13 \\ \text{II}\quad& x+4y &=& 7 &\quad \\ \end{array}$

Löse das Gleichungssystem rechnerisch.

(3 BE)

Gib eine lineare Gleichung $(\text{III})$ so an, dass das Gleichungssystem aus den Gleichungen $(\text{II})$ und $(\text{III})$ keine Lösung hat. Begründe.

(2 BE)

Berechne das Volumen des dargestellten Körpers.

(3 BE)

Berechne die Länge der Strecke $d.$

(2 BE)

Gegeben sind die Graphen der Funktionen $f$ und $g.$

Gib für $f$ und $g$ jeweils eine Gleichung an.

(3 BE)

Eine Funktion $h$ hat dieselben Nullstellen wie die Funktion $g.$ Skizziere den Graphen einer solchen Funktion $h$ in das gegebene Koordinatensystem.

Gib eine Gleichung für $h$ an.

(2 BE)

Eine Münze wird zweimal geworfen.

Gib alle möglichen Ergebnisse für dieses Zufallsexperiment an.

(1 BE)

Gegeben ist das Ereignis $A$ durch $A:=$ „Es fällt mindestens einmal Zahl.“
Formuliere das Gegenereignis zu $A$ in Worten.

(1 BE)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei beiden Würfen Zahl fällt, beträgt $49\,\%.$ Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B:=$ „Es fällt genau einmal Zahl.“

(3 BE)

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$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 3x-4y &=& 13\\ \text{II}\quad& x+4y &=& 7 &\quad \\ \hline \scriptsize\text{I}+\text{II}& 4x &=& 20 \quad \scriptsize\mid\;:4\\ & x &=& 5 \end{array}$

Einsetzen in $\text{II}:$

$\begin{array}[t]{rll} 5+4y&=& 7 \quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] 4y &=& 2 \quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] y &=& 0,5 \end{array}$

Lösung: $x=5,$ $y=0,5$

$\text{III} \quad x+4y=5$

Werden die Gleichungen als Geraden interpretiert, so verlaufen die zu $\text{II}$ und $\text{III}$ gehörigen Geraden parallel. Sie besitzen also keinen gemeinsamen Punkt und das Gleichungssystem somit keine Lösung.

Der Körper kann wie in der Skizze in zwei Quader unterteilt werden.

Skizze

Die Volumen des oberen und des unteren Quaders werden wie folgt berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} V_o&=& 8\,\text{cm}\cdot 8\,\text{cm}\cdot 9\,\text{cm} \\[5pt] &=& 576 \,\text{cm}^3 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} V_u&=& 20 \,\text{cm}\cdot 10\,\text{cm}\cdot 9\,\text{cm} \\[5pt] &=& 1800 \,\text{cm}^3 \end{array}$

Daraus folgt ein Gesamtvolumen von $576 \,\text{cm}^3+1800 \,\text{cm}^3=2376 \,\text{cm}^3.$

Die Länge der Strecke $d$ lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} d^2&=& (20-8)^2+9^2\\[5pt] d^2&=& 225\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] d&=& 15 \end{array}$

Die Länge der Strecke $d$ beträgt $15\,\text{cm}.$

$f$ geht aus dem Graphen von $s(x)=\sin(x)$ durch Verschiebung entlang der $y$ -Achse um drei Einheiten hervor. Daraus folgt:

$f(x)=\sin(x)+3$

$g$ geht aus dem Graphen von $s(x)=\sin(x)$ durch Spiegelung an der $y$ -Achse und anschließende Streckung in $y$ -Richtung um den Faktor $2$ hervor. Daraus folgt:

$g(x)=-2\sin(x)$

$h(x)=\sin(x)$

$\text w:$ Es fällt Wappen.
$\text z:$ Es fällt Zahl.

$S=\{\text{ww},\text{wz},\text{zw},\text{zz}\}$

$\overline{A}:=$ „Es fällt zweimal Wappen.“

Hinweis: Hier sind auch andere Formulierungen korrekt wie z.B. „Es fällt nicht Zahl.“

Da die Wahrscheinlichkeit für zweimal Zahl $49\,\%$ beträgt, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} (p_z)^2&=& 0,49 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] p_z&=& 0,7 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf Zahl zu werfen, beträgt also $70\,\%$ und die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf keine Zahl zu werfen, folglich $30\,\%.$ Daraus folgt:

$P(B)=2\cdot 0,7\cdot 0,3=0,42$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt $42\,\%.$

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