Wahlaufgabe 1

Im Jahr 1922 wurde vom Deutschen Institut für Normung (DIN) festgelegt, dass das Seitenverhältnis von Breite und Länge eines Papierbogens im A-Format $1:\sqrt{2}$ sein muss.
Ein Papierbogen im Format A0 hat einen Flächeninhalt von einem Quadratmeter.

Berechne die Seitenlängen eines A0-Papierbogens auf Millimeter genau.

(3 BE)

Daniela behauptet, dass bei jedem Papierbogen der A-Formate für die kurze Seite $b$ und die Diagonale $d$ gilt:
$\dfrac{b}{d}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Untersuche, ob diese Aussage wahr ist.

(3 BE)

Vergrößert man ein A4-Format auf ein A2-Format, muss man am Kopierer den Vergrößerungsfaktor 200 % wählen.
Daniela kopiert ein Quadrat mit der Seitelänge $a$ und wählt am Kopierer einen Faktor von 50 %.
Beschreibe den Einfluss dieses Faktors auf die Seitenlänge und den Flächeninhalt der Kopie des Quadrats im Vergleich zum Original.

(2 BE)

Zwei Biologiestudenten benötigen für ihre Untersuchungen eine große Anzahl an Zellen.
Ein Student arbeitet mit Zelltyp I. Er hat zu Beginn nur eine Zelle. Bei diesem Zelltyp teilt sich jede Zelle innerhalb einer halben Stunde in zwei Zellen dieses Zelltyps.

Ermittle eine Funktionsgleichung, die die Anzahl der Zellen in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
Bestimme die Zeit, nach der der Student mindestens 50 000 Zellen zur Verfügung hat.

(3 BE)

Eine Studentin führt Untersuchungen am Zelltyp II durch. Sie beginnt 08:00 Uhr mit genau zehn Zellen. 13:00 Uhr sind es 320 Zellen. Das Labor schließt 20:00 Uhr.

Untersuche, ob die Studentin bis zur Schließung des Labors mindestens 50 000 Zellen zur Verfügung hat.

(4 BE)

In einem Betrieb werden Gläser mit Deckel hergestellt.
Es ist bekannt, dass 3 % der Gläser und 2 % der Deckel fehlerhaft sind. Zur Kontrolle werden jeweils zufällig ein Glas und ein Deckel entnommen.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
$A:=$ „Glas und Deckel sind fehlerfrei.“
$B:=$ „Entweder das Glas oder der Deckel ist fehlerhaft.“

(3 BE)

Beurteile, ob mit einem der Ereignisse $C$ und $D$ das Gegenereignis zu $A$ (siehe Teilaufgabe a) beschrieben wird.
$C:=$ „Glas und Deckel sind fehlerhaft.“
$D:=$ „Glas oder Deckel sind fehlerhaft.“

(2 BE)

Die kürzere Seite des Rechtecks wird mit $b$ bezeichnet. Dann gilt $\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ und damit gilt für die längere Seite $a=\sqrt{2}b.$

Der Flächeninhalt eines Rechtecks lässt sich mit der Formel $A=a\cdot b$ berechnen. Der A0-Bogen hat einen Flächeninhalt von $1\,\text{m}^2.$ Gesucht sind also Werte für $a$ und $b,$ die die Gleichung $A=1\,\text{m}^2=10^6\,\text{mm}^2$ erfüllen.

$\begin{array}[t]{rll} 10^6\,\text{mm}^2&=& a\cdot b \\[5pt] 10^6\,\text{mm}^2&=& \sqrt{2}b\cdot b \quad \scriptsize \mid\; :\sqrt{2} \\[5pt] \dfrac{10^6\,\text{mm}^2}{\sqrt{2}}&=& b^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] 841\,\text{mm}&\approx& b \end{array}$

Damit folgt $a=\sqrt{2}b\approx \sqrt{2}\cdot 841\,\text{mm}\approx 1\,189\,\text{mm}.$

Die Seiten eines A0-Bogens sind 841 mm und 1 189 mm lang.

Nach Teilaufgabe a) gilt $a=\sqrt{2}b.$

Mit dem Satz des Pythagoras folgt:

$\begin{array}[t]{rll} d^2&=& a^2+b^2 \\[5pt] d^2&=& (\sqrt{2}b)^2+b^2 \\[5pt] d^2&=& 3b^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] d&=& \sqrt{3}b \quad \scriptsize \mid\; :b \\[5pt] \dfrac{d}{b}&=& \sqrt{3} \quad \scriptsize \mid\; ()^{-1} \\[5pt] \dfrac{b}{d}&=&\dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{array}$

Die Aussage ist wahr.

Der Abbildung kann entnommen werden, dass bei einer Vergrößerung um 200 % von A4 auf A2 die Seitenlängen verdoppelt und dier Flächeninhalt vervierfacht wird.

Analog muss es bei einer Kopie mit dem Faktor 50 % zu einer Halbierung der Seitenlängen kommen. Für den Flächeninhalt des Quadrats gilt dann:

$A=\left(\dfrac{1}{2}a\right)^2=\dfrac{1}{4}a^2.$

Der Flächeninhalt der Kopie sinkt im Vergleich zum Original also auf ein Viertel.

Funktionsgleichung ermitteln

Gesucht ist eine Exponentialfunktion der Form $f(x)=a\cdot b^x.$ Dabei gibt $a=1$ den Anfangsbestand der Zellen. Da sich jede Zelle innerhalb einer halben Stunde in zwei Zellen aufteilt, gibt $b=2^2=4$ den Wachstumsfakor für eine Stunde an. Es ergibt sich also folgende Funktionsgleichung:

$f(x)=1\cdot 4^x=4^x$

Dabei gibt $x$ die Zeit nach Versuchsbeginn in Stunden und $f(x)$ die Anzahl der Zellen an.

Zeit bestimmen

Gesucht ist die Lösung der Gleichung $f(x)=50\,000:$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 50\,000 \\[5pt] 4^x&=& 50\,000 \quad \scriptsize \mid\; \lg \\[5pt] x\cdot \lg(4)&=& \lg(50\,000) \quad \scriptsize \mid\; :\lg(4) \\[5pt] x&=& \dfrac{\lg(50\,000)}{\lg(4)} \\[5pt] x&\approx& 7,8 \end{array}$

Nach ungefähr 7,8 Stunden hat der Student mindestens 50 000 Zellen zur Verfügung.

Gesucht ist wieder eine Exponentialfunktion der Form $g(x)=a\cdot b^x.$ Der Anfangsbestand ist durch $a=10$ gegeben, der Wachstumsfaktor muss berechnet werden. Die Funktionsgleichung ist also von der Form $g(x)=10\cdot b^x.$

Die Zeitspanne von 8 Uhr bis 13 Uhr beträgt 5 Stunden. Nach dieser Zeit sind 320 Zellen vorhanden, es gilt also $g(5)=320.$ Damit lässt sich der Wachstumsfaktor $b$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} g(5)&=& 320 \\[5pt] 10\cdot b^5&=& 320 \quad \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt] b^5&=& 32 \\[5pt] b^5&=& 2^5 \\[5pt] b&=& 2 \end{array}$

Die Funktion $g$ ist also gegeben durch $g(x)=10\cdot 2^x,$ wobei $x$ die Zeit nach 8 Uhr in Stunden und $g(x)$ die Anzahl der Zellen angibt.

Von 8 Uhr bis 20 Uhr vergehen 12 Stunden. Es gilt zu überprüfen, ob in dieser Zeit mindestens 50 000 Zellen zur Verfügung stehen.

$g(12)=40\,960$

Zur Schließung des Labors sind weniger als 50 000 Zellen vorhanden.

$G:$ Glas fehlerfrei
$D:$ Deckel fehlerfrei

Mit den Pfadregeln gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(G;D) \\[5pt] &=& 0,97\cdot 0,98 \\[5pt] &=& 0,9506 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(\overline{G};D)+P(G;\overline{D}) \\[5pt] &=& 0,03 \cdot 0,98+0,97 \cdot 0,02 \\[5pt] &=& 0,0488 \end{array}$

Zum Ereignis $A$ gehört nur das Ergebnis $(G;D).$ Für das Gegenereignis müssen also alle anderen Ergebnisse $(\overline{G};D),$ $(G;\overline{D})$ und $(\overline{G};\overline{D})$ gehören.

Zum Ereignis $C$ gehört nur das Ergebnis $(\overline{G};\overline{D}),$ es beschreibt also nicht das Gegenereignis von $A.$

Zum Ereignis $D$ gehören die Ergebnisse $(\overline{G};D),$ $(G;\overline{D})$ und $(\overline{G};\overline{D}).$ Das Ereignis $D$ beschreibt also das Gegenereignis zu $A.$