Pflichtaufgabe 2 – Mit Hilfsmitteln

In einer Socke befinden sich fünf beschriftete Golfbälle.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

A:=

„Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist der zweite Buchstabe ein $B$ .“

B:=

„Beim Ziehen ohne Zurücklegen wird die Zeichenfolge $B$ $L$ $F$ $1$ $6$ gezogen.“

C:=

„Beim Ziehen mit Zurücklegen wird nicht die Zeichenfolge $B$ $L$ $F$ $1$ $6$ gezogen.“

(4 BE)

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind die Punkte $A(-3 \mid 6),$ $B(1 \mid -2)$ und $C(3 \mid 0)$ gegeben.

Zeige rechnerisch, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist.

(3 BE)

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ .

(1 BE)

Aus den Punkten $A,$ $B,$ $C$ und $D$ soll ein Viereck gebildet werden, dessen Flächeninhalt doppelt so groß ist wie der des Dreiecks $ABC.$
Gib die Koordinaten eines solchen Punktes $D$ an.

(1 BE)

Begründe, dass es keine Funktion $f$ mit $f(x) = a\cdot b^x$ $(a, b, x \in \mathbb{R}; a\neq 0, b \gt 0)$ geben kann, deren Graph durch die Punkte $A$ , $B$ und $C$ verläuft.

(2 BE)

Zur Landesrunde der Mathematikolympiade gab es 2014 für jeden Teilnehmer eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche.
Alle Kanten sind 10 cm lang.
Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt dieser Pyramide.

(4 BE)

Wenn der zweite Buchstabe ein $B$ ist, muss die erste Kugel mit einer der restlichen vier Möglichkeiten beschriftet sein:

$P(A)=\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{5}$

Bei jedem Zug gibt es nur eine Möglichkeit, die benötigte Kugel zu ziehen. Bei jedem Zug nimmt dabei die Anzahl der Kugeln um eins ab:

$P(B)=\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{1}=\dfrac{1}{120}$

Um die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $C$ zu berechnen, kann das Gegenereignis verwendet werden:

vollständigen Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& 1-P(\overline{C}) \\[5pt] &=& 1-\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{5} \\[5pt] &=& 1-\dfrac{1}{3125} \\[5pt] &=& \dfrac{3124}{3125} \end{array}$

Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, muss nach dem Satz des Pythagoras gelten:

$\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2$

Die Seitenlängen des Dreiecks können wiederum mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}^2&=& 8^2+4^2 \\[5pt] &=& 64+16 \\[5pt] &=& 80 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2&=& 6^2+6^2 \\[5pt] &=& 36+36 \\[5pt] &=& 72 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC}^2&=& 2^2+2^2 \\[5pt] &=& 4+4 \\[5pt] &=& 8 \end{array}$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 80&=& 72+8 \\[5pt] \overline{AB}^2&=&\overline{AC}^2+\overline{BC}^2 \end{array}$

Folglich ist das Dreieck rechtwinklig.

Mit Teilaufgabe a) gilt $\overline{AC}=\sqrt{72}$ und $BC=\sqrt{8}.$

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A_D&=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AC}\cdot \overline{BC} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{72}\cdot \sqrt{8}\\[5pt] &=& 12\\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 12 Flächeneinheiten.

Am einfachsten ist es, das Dreieck zu einem Rechteck zu ergänzen. Ein möglicher Punkt dafür ist der Punkt $D(-5\mid 4).$

Eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot b^x$ hat keine Nullstelle. Der Punkt $C$ liegt jedoch auf der $x$ -Achse und würde deshalb einer Nullstelle einer möglichen Funktion entsprechen. Daher kann es keine Funktion dieser Form geben, die durch alle Punkte $A,$ $B$ und $C$ geht.

Oberflächeninhalt berechnen

Der Oberflächeninhalt einer Pyramide setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt der Grundfläche und dem Flächeninhalt der Seitenflächen. Der Flächeninhalt der quadratischen Grundfläche lässt sich wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& a\cdot a \\[5pt] &=& 10\,\text{cm}\cdot 10\,\text{cm} \\[5pt] &=& 100\,\text{cm}^2 \end{array}$

Um den Flächeninhalt der dreieckigen Seitenflächen zu berechnen, muss zunächst die Höhe $h_D$ eines solchen Dreiecks berechnet werden. Dazu wird der Satz des Pythagoras verwendet:

$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& \left(\dfrac{a}{2}\right)^2+h_D^2 \\[5pt] (10\,\text{cm})^2&=&(5\,\text{cm})^2+h_D^2 \\[5pt] 100\,\text{cm}^2&=& 25\,\text{cm}^2+h_D^2 \quad \scriptsize \mid\;-25\,\text{cm}^2 \\[5pt] 75\,\text{cm}^2&=& h_D^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] 8,7\,\text{cm}&\approx& h_D\\[5pt] \end{array}$

Damit kann der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot h_D \\[5pt] &\approx&\dfrac{1}{2}\cdot 10\,\text{cm}\cdot 8,7\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 43,5\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$

Nun kann der Oberflächeninhalt der Pyramide berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A_O&=&A_G+4\cdot A_D \\[5pt] &\approx&100\,\text{cm}^2+4\cdot 43,5\,\text{cm}^2\\[5pt] &=& 274\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array}$

Der Oberflächeninhalt der Pyramide beträgt $274\,\text{cm}^2.$

Volumen berechnen

Um das Volumen der Pyramide berechnen zu können, wird die Höhe $h$ benötigt. Diese lässt sich wieder mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} h_D^2&=& \left(\dfrac{a}{2}\right)^2+h^2 \\[5pt] (8,7\,\text{cm})^2&=&(5\,\text{cm})^2+h^2 \\[5pt] 75\,\text{cm}^2&=& 25\,\text{cm}^2+h^2 \quad \scriptsize \mid\;-25\,\text{cm}^2 \\[5pt] 50\,\text{cm}^2&=& h^2 \quad \scriptsize \mid \sqrt{\;} \\[5pt] 7,1\,\text{cm}&=& h \\[5pt] \end{array}$

Damit lässt sich das Volumen der Pyramide wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V_P&=&\dfrac{1}{3}\cdot A_G\cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\cdot 100\,\text{cm}^2\cdot 7,1\,\text{cm} \\[5pt] &=& 236,7\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$

Das Volumen der Pyramide beträgt $236,7\,\text{cm}^3.$