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Wahlaufgaben

Aufgaben
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Wahlaufgabe 1

1.
Folgende Werte von zwei Sachverhalten sind gegeben:
Höhe über N.N. in $\,\text{km}$ $0 $$1 $$2 $$ 3$$4 $
Luftdruck in $\text{hPa}$$1.013 $$896 $$ 792$$ 700$$619 $
Höhe über N.N. in $\text{km}$Luftdruck in $\text{hPa}$
$ 0$$1013 $
$1 $$ 896$
$2 $$792 $
$3 $$700 $
$ 4$$619 $
Zeit in $\text{h}$$0 $$ 1$$ 2$$3 $$4 $
Füllhöhe eines
Wasserbeckens in $\text{cm}$
$130 $$104 $$ 78$$52 $$26 $
Zeit in $\text{h}$Füllhöhe eines Wasserbeckens in $\text{cm}$
$0 $$130 $
$1 $$104 $
$ 2$$78 $
$3 $$52 $
$4 $$26 $
a)
Entscheide für jeden dieser beiden Sachverhalte, ob ein linearer oder exponentieller Zusammenhang besteht. Begründe deine Entscheidung.
(2 BE)
b)
Berechne den Luftdruck, der in etwa $8.000\;\text{m}$ Höhe erreicht wird.
(2 BE)
c)
Ermittle, nach wie vielen Minuten die Füllhöhe im Wasserbecken $40\;\text{cm}$ beträgt.
(2 BE)
#exponentielleswachstum#linearefunktion
2.
#flächeninhalt
3.
Max hat bei Facebook $324$ Freunde. Von diesen Freunden haben $105$ ihren Beziehungsstatus nicht angegeben. Max weiß sicher, dass genau $167$ seiner Freunde nicht Single sind. Außerdem haben $130$ Singles ihren Beziehungsstatus angegeben.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Facebook-Freund von Max Single ist und diesen Status nicht angegeben hat.
Nutze dafür eine vollständig ausgefüllte Vierfeldtafel oder ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm.
(4 BE)
#baumdiagramm#vierfeldertafel

Wahlaufgabe 2

1.
Gegeben ist ein Quader $ABSDEFGH$.
Wahlaufgaben
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
Wahlaufgaben
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
#quader#diagonale
2.
Wahlaufgaben
Abb. 3: Skizze nicht maßstäblich
Wahlaufgaben
Abb. 3: Skizze nicht maßstäblich
a)
Gib zwei Werte von $b$ so an, dass zwei Fontänen beschrieben werden, die links der Wasserdüsen liegen.
Stelle die Funktionen für diese Werte von $b$ in einem geeigneten Koordinatensystem grapisch dar.
(2 BE)
b)
Es gibt Fontänen, die genau bis zum Rand des Springbrunnens reichen.
Berechne die maximale Höhe, die eine solche Fontäne erreicht.
(2 BE)
c)
Ermittle einen Wert von $b$ so, dass die Funktionsgleichung eine $3\;\text{m}$ hohe Fontäne mathematisch beschreibt.
(2 BE)
#funktionsgleichung#funktionenschar
3.
Ein rotlackierter Holzquader, der $4\;\text{cm}$ lang, $3\;\text{cm}$ breit und $10\;\text{cm}$ hoch ist, wird in Würfel mit jeweils $1\;\text{cm}$ Kantenlänge zerteilt.
Diese Würfel werden in einem Stoffbeutel aufbewahrt. Ein würfel wird zufällig gezogen und die Anzahl der roten Seitenflächen festgestellt.
a)
Gib die Anzahl aller Würfel an.
(1 BE)
b)
Welche der folgenden Aussagen beschreiben ein sicheres Ereignis?
A:=„Der gezogene Würfel hat weniger als vier rote Seitenflächen.“
B:=„Der gezogene Würfel hat mindestens eine rote Seitenfläche.“
C:=„Der gezogene Würfel hat höchstens drei rote Seitenflächen.“
(1 BE)
c)
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
D:=„Der gezogene Würfel hat drei rote Seitenflächen.“
E:=„Der gezogene Würfel hat keine rote Seitenfläche.“
F:=„Der gezogene Würfel hat höchstens zwei rote Seitenflächen.“
(3 BE)
#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Wahlaufgabe 1

1.
a)
$\blacktriangleright$ Linearen oder exponentiellen Zusammenhang begründen
Für die erste Tabelle gilt der Zusammenhang:
$\frac{p(h+1)}{p(h)}\approx 0,88$
In jedem Intervall gibt es die gleiche prozentuale Abnahme, deshalb handelt es sich um eine exponentielle Abnahme.
Für die zweite Tabelle gilt der Zusammenhang:
$h(t+1)-h(t)=-26$
In jedem Intervall gibt es die gleiche absolute Abnahme, deshalb handelt es sich um einen linearen Zusammenhang.
b)
$\blacktriangleright$ Luftdruck in $\boldsymbol{8.000\;\text{m}}$ Höhe berechnen
Der Luftdruck lässt sich mit der Gleichung:
$p(h)=1.013\cdot0,88^h$ berechnen.
Dabei steht $h$ für die Höhe über dem Meeresspiegel in $\text{km}$.
$p(h)=1.013\cdot0,88^{8}\approx361,31 \;\text{hPa}$
Der Druck in $8.000\;\text{m}$ Höhe beträgt ca. $361,31 \;\text{hPa}$.
c)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen, an dem die Füllhöhe $\boldsymbol{40\;\text{m}}$ beträgt
Die Füllhöhe des Wassers lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$h(t)=-26\cdot t+130$
Für $h=40$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} h(t)&=&-26\cdot t+130 &\quad \scriptsize \mid\; -130\\[5pt] h(t)-130&=&-26\cdot t &\quad \scriptsize \mid\;: (-26) \\[5pt] t&=&\frac{h(t)-130}{-26}&\quad \scriptsize \\[5pt] t&=&\frac{40-130}{-26}\approx 3,46&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Nach ca. $3,46$ Stunden ist die Füllhöhe von $40$ Metern erreicht, dies entspricht $208$ Minuten.
#linearefunktion#abklingprozesse
2.
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Die Figur setzt sich aus einem Rechteck und vier Dreiecken zusammen.
1. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{CDE}$ berechnen:
1. Länge der Grundseite berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{sin}\left(\frac{\delta}{2}\right)&=& \frac{\overline{\text{EE'}}}{\overline{\text{ED}}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{\text{ED}}\\[5pt] \overline{\text{EE'}}&=&\text{sin}\left(\frac{\delta}{2}\right) \cdot \overline{\text{ED}}\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{\text{EE'}}&=&\text{sin}(70°) \cdot \overline{120\;\text{m}}\approx 112,76 \;\text{m}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Länge der Grundseite des Dreiecks links oben beträgt ca. $\;112,76 \;\text{m}$, die des gesamten oberen Dreiecks somit $225,52\;\text{m}$.
2. Höhe des oberen Dreiecks berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{cos}\left(\frac{\delta}{2}\right)&=& \frac{\overline{\text{E'D}}}{\overline{\text{ED}}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{\text{ED}}\\[5pt] \overline{\text{E'D}}&=&\text{cos}\left(\frac{\delta}{2}\right) \cdot \overline{\text{ED}}\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{\text{E'D}}&=&\text{cos}(70°) \cdot \overline{120\;\text{m}}\approx 41,04\;\text{m}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Höhe des gesamten oberen Dreiecks beträgt ca. $41,04\;\text{m}$.
3. Flächeninhalt des oberen Dreiecks berechnen:
$A=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h$
$A=\frac{1}{2}\cdot 225,52\;\text{m}\cdot 41,04\;\text{m} \approx 4.627,67\;\text{m}^2$
Der Flächeninhalt des oberen Dreiecks beträgt ca. $4.627,67\;\text{m}^2$.
2. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{AA'E}$ berechnen:
1. Winkel $\epsilon_1$ berechnen:
$\epsilon_1=180°-90°-70°=20°$
2. Winkel $\epsilon_2$ berechnen:
$\epsilon_2=\epsilon-90°-\epsilon_1=140°-90°-20°\approx30°$
3. Länge der Seite $\overline{\text{AA'}}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{sin}(\epsilon_2)&=& \frac{\overline{\text{AA'}}}{\overline{\text{AE}}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{\text{AE}}\\[5pt] \overline{\text{AA'}}&=&\text{sin}(\epsilon_2) \cdot \overline{\text{AE}}\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{\text{AA'}}&=&\text{sin}(30°) \cdot \overline{120\;\text{m}}\approx 60\;\text{m}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
4. Länge der Seite $\overline{\text{A'E}}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{cos}(\epsilon_2)&=& \frac{\overline{\text{A'E}}}{\overline{\text{AE}}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{\text{AE}}\\[5pt] \overline{\text{A'E}}&=&\text{cos}(\epsilon_2) \cdot \overline{\text{AE}}\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{\text{A'E}}&=&\text{cos}(30°) \cdot \overline{120\;\text{m}}\approx 103,92 \;\text{m} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
5. Flächeninhalt des linken Dreiecks berechnen:
$A=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h$
$A=\frac{1}{2}\cdot 103,92 \;\text{m} \cdot 60\;\text{m}\approx 3.117,69\;\text{m}^2$
Der Flächeninhalt des linken Dreiecks beträgt $3.117,69\;\text{m}^2$ und ist genau so groß wie das rechte Dreieck. Somit haben die Dreiecke zusammen einen Flächeninhalt von ca. $6.235,38\;\text{m}^2$.
3. Schritt: Flächeninhalt des Rechtecks $\boldsymbol{A'B'CE}$ berechnen
$A=\overline{\text{EC}}\cdot \overline{\text{A'E}}=225,52\;\text{m}\cdot 103,92 \;\text{m} \approx 23.436,03 \;\text{m}^2$
Das Rechteck hat einen Flächeninhalt von ca. $23.436,03\;\text{m}^2$.
4. Schritt: Gesamten Flächeninhalt der Figur berechnen
Addiere die Flächeninhalte aller Teilfiguren zusammen.
$A=23.436,03\;\text{m}^2+4.627,67\;\text{m}^2+6.235,38\;\text{m}^2$
$A=34.299\;\text{m}^2$
Der gesamte Flächeninhalt beträgt ca. $34.299\;\text{m}^2$.
#dreieck#flächeninhalt#rechteck
3.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für „Single“ und „Beziehungsstatus nicht angegeben“ berechnen
Trage die angegebenen Werte in eine Vierfeldertafel ein:
$B$$\overline{B}$
$S$$130$$27$$157$
$\overline{S}$$89$$78$$167$
$219$$105$$324$
Alternativ kannst du ein Baumdiagramm zeichnen:
Max hat insgesamt $324$ Freunde, davon sind $27$ Single und haben ihren Beziehungsstatus nicht angegeben. Es ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit:
$p=\frac{27}{324}\approx 0,083 $
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ca. $8,3\;\%$.
#wahrscheinlichkeit#vierfeldertafel

Wahlaufgabe 2

1.
a)
$\blacktriangleright$ Höhe des Quaders berechnen
1. Schritt: Bodendiagonale $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}\;^2+\overline{BC}\;^2&=&\overline{AC}\;^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{\overline{AB}\;^2+\overline{BC}\;^2}&=&\overline{AC} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{(4\;\text{cm})^2+({3\;\text{cm}})^2}&=&\overline{AC} &\quad \scriptsize \\[5pt] 5\;\text{cm} &=&\overline{AC}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h=\overline{GC}}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \overline{GC}\;^2+\overline{AC}\;^2&=&\overline{AG}\;^2 &\quad \scriptsize \mid\;-\overline{AC}\;^2 \\[5pt] \overline{GC}\;^2&=&\overline{AG}\;^2-\overline{AC}\;^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{\overline{AG}\;^2-\overline{AC}\;^2}&=&\overline{AG} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{(13\;\text{cm})^2-({5\;\text{cm}})^2}&=&\overline{AG} &\quad \scriptsize \\[5pt] 12\;\text{cm}&=&\overline{AG} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Höhe des Quaders beträgt $12\;\text{cm}$.
b)
$\blacktriangleright$ Größe des Winkels berechnen
1. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{\overline{AM}=\overline{BM}}$ berechnen
$\overline{AM}=\frac{\overline{AG}}{2}=\frac{{13\;\text{cm}}}{2}=6,5\;\text{cm}$
2. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{\overline{AP}=\frac{\overline{AB}}{2}}$ berechnen
$\overline{AP}=\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{{4\;\text{cm}}}{2}=2\;\text{cm}$
3. Schritt: Höhe $\boldsymbol{\overline{PM}}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (\overline{AP})^2+(\overline{PM})^2&=&(\overline{AM})^2 &\quad \scriptsize \mid\;-(\overline{AP})^2 \\[5pt] (\overline{PM})^2&=&(\overline{AM})^2-(\overline{AP})^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \overline{PM}&=&\sqrt{(\overline{AM})^2-(\overline{AP})^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{PM}&=&\sqrt{(6,5\;\text{cm})^2-(2\;\text{cm})^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{PM}&\approx& 6,18\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Winkel zwischen $\boldsymbol{\overline{AM}}$ und $\boldsymbol{\overline{PM}}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \text{tan}\alpha&=&\frac{\overline{AP}}{\overline{PM}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{tan}^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\text{tan}^{-1}\left(\frac{\overline{AP}}{\overline{PM}} \right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&=&\text{tan}^{-1}\left(\frac{2\;\text{cm}}{6,18\;\text{cm}} \right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha& \approx& 17,93°&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
5. Schritt: Winkel zwischen $\boldsymbol{\overline{AM}}$ und $\boldsymbol{\overline{PM}}$ berechnen
$\beta = 2 \cdot \alpha$
$\beta \approx 2\cdot 17,93° = 35,8°$
Der gesuchte Winkel ist ca. $35,8°$ groß.
#tangens#winkel
2.
a)
$\blacktriangleright$ Zwei Werte von $\boldsymbol{b}$ angeben
Es sind alle Werte mit $b<0$ möglich, zum Beispiel $b=-1$ und $b=-2$.
$\blacktriangleright$ Funktionen darstellen
Graphen der Funktion mit $b=-1$ und $b=-2$:
b)
$\blacktriangleright$ Maximale Höhe der Fontäne berechnen
Der Abstand von der Düse bis zum Rand beträgt auf einer Seite $6\;\text{m}$. Der Parameter $b$ muss deswegen genau halb so groß mit $b=3$ gewählt werden. Der Scheitelpunkt befindet sich bei $x=3$ und ist die höchste Stelle. Setze also $x=3$ in die Funktionsgleichung ein:
$y=\frac{-1}{2}\cdot 3^2 + 3\cdot 3 =4,5$
Die Fontäne ist an dieser Stelle $4,5\;\text{m}$ hoch.
c)
$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{b}$ angeben
Der Scheitelpunkt hat allgemein die Form $S(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$.
Die Werte $c=0$ und $a=-\frac{1}{2}$ lassen sich an der vorgegebenen Funktionsgleichung ablesen. Durch Einsetzen der Werte ergibt sich folgende Formel:
$S(\frac{-b}{-1},\frac{-b^2}{-2})$
Die $y$-Komponente des Scheitelpunktes nimmt den Wert $y=3$ somit für $b=\sqrt{6}$ und $b=-\sqrt{6}$ an.
#funktionenschar#parabel#scheitelpunkt
3.
a)
$\blacktriangleright$ Anzahl aller Würfel angeben
Berechne das Volumen des Holzquaders:
$4\;\text{cm} \cdot 3\;\text{cm} \cdot 10\;\text{cm}=120\;\text{cm}^3$
Teile durch das Volumen eines Würfels:
$120\;\text{cm}^3:1\;\text{cm}^3=120\;\text{cm}^3$
Es können $120$ Würfel aus dem Holzquader herausgeschnitten werden.
b)
$\blacktriangleright$ Sicheres Ereignis angeben
Die Aussagen $A$ und $C$ beschreiben sichere Ereignisse, die Aussage $B$ nicht.
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
D:
Es gibt insgesamt $8$ Würfel mit $3$ roten Seitenflächen, die Würfel die aus den Ecken des Quaders geschnitten wurden.
$P(D)=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}$
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $D$ beträgt $p=\frac{1}{15}$.
E:
Anzahl der Würfel mit mindestens einer roten Seitenfläche berechnen:
$4\cdot 3\cdot 2 + 4 \cdot (10-2) \cdot 2 + (3-2)\cdot 10 \cdot 2 =104$
Da es insgesamt $120$ Würfel gibt, sind $16$ Würfel ohne roten Rand.
$P(E)=\frac{16}{120}=\frac{2}{15}$
Die Wahrscheinlichkeit einen Würfel ohne roten Rand zu ziehen beträgt $\frac{2}{15}$.
F:
Dies ist das Gegenereignis zum Ereignis $D$, somit gilt: $P(F)=1-P(D)=1-\frac{1}{15}=\frac{14}{15}$
Die Wahrscheinlichkeit einen Würfel mit höchstens zwei roten Seitenflächen zu ziehen beträgt $\frac{14}{15}$.
#wahrscheinlichkeit#würfel
Bildnachweise [nach oben]
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