Teil B – Wahlaufgaben

Wahlaufgabe 6.1

In einer Stadt wurde der gesamte Außenbereich der Grundschule neu gestaltet.

Die Gesamtkosten betrugen $1\, 265\, 820,00\,\text{€},$ von denen zwei Drittel der Freistaat Sachsen bezahlt und den Rest die Stadt.
Die Stadt nimmt dafür einen Kredit von $170\, 000,00\,\text{€}$ auf.

Berechne den Betrag, für den die Stadt keinen Kredit aufnimmt.

Die Bank verlangt für den Kredit $5,8\,\text{%}$ Zinsen pro Jahr. Nach $9$ Monaten zahlt die Stadt den Kredit mit Zinsen an die Bank zurück.
Berechne die Zinsen für den angegebenen Zeitraum.

Auf dem Pausenhof werden Sitzelemente aufgestellt (siehe Abbildung 1).

Zeichne ein senkrechtes Zweitafelbild eines solchen Sitzelementes in einem geeigneten Maßstab.

Schematische Zeichnung eines Tisches/Bankes mit Maßangaben in Millimetern

Der Pausenhof und der Spielplatz sind durch eine Treppe miteinander verbunden. Die Treppenstufen werden durch $7$ querliegende Pfosten mit jeweils $1,40\;\text{m}$ Länge gebildet. Links und rechts begrenzen Pfosten mit je $0,70\;\text{m}$ Länge die Treppe (siehe Abbildung 2).

Schematische Darstellung eines Pausenhofs mit Spielplatz, Bäumen und Spielgeräten.

Für die Pfosten wurden Baumstämme mit $3,00\;\text{m}$ Länge angeliefert und vor Ort auf die entsprechenden Längen gesägt.

Entscheide und begründe, ob mindestens $12, 13, 14$ oder $15$ Baumstämme benötigt wurden.

(8 BE)

Wahlaufgabe 6.2

Frau Meuser stellt einen Anhänger für eine Halskette her.
Dieser ist $26\;\text{mm}$ breit und insgesamt $81\;\text{mm}$ lang.
Die Stärke des Materials beträgt $2\;\text{mm}.$

Der Anhänger ist aus drei Prismen zusammengesetzt.
Die Grundflächen der Prismen sind spitzwinklige Dreiecke, zueinander kongruent und achsensymmetrisch angeordnet (siehe Abbildung).

Grafische Darstellung von drei grauen nach unten zeigenden Pfeilen.

Die Prismen für den Anhänger fertigt Frau Meuser aus Silber mit einer Dichte von $10,50 \;\frac{g}{cm^3}.$
Berechne, wie viel Gramm Silber sie für den Anhänger benötigt.

Frau Meuser vergoldet die Mantelfläche jedes Prismas.
Berechne den Flächeninhalt der Mantelfläche für den Anhänger.

Der Anhänger kostet $59,49\,\text{€}$ einschließlich $19\,\text{%}$ Mehrwertsteuer.
Berechne den Nettopreis.

(8 BE)

Wahlaufgabe 6.3

Beim Fußballsport spielen das Erstellen und das Auswerten statistischer Daten eine große Rolle. Diese Daten werden zum Beispiel für Spielanalysen, Sicherheit im Stadion und Werbung genutzt.

In der Statistik zum Spiel findet man Angaben zu den Laufwegen der Spieler. In einem Spiel liefen die zehn Feldspieler und der Torhüter durchschnittlich $9,38\;\text{km}.$ Für die zehn Feldspieler wurden die folgenden Werte gemessen.

$8,62\;\text{km}; \quad 10,45\;\text{km} \quad 7,89\;\text{km} \quad 11,03\;\text{km} \quad 13,70\;\text{km} \quad 8,15\;\text{km} \quad 8,64\;\text{km} \quad 9,26\;\text{km} \quad 11,84\;\text{km} \quad 8,94\;\text{km}$

Berechne, wie viel Kilometer der Torhüter in diesem Spiel gelaufen ist.

Beim Einlass in das Stadion wird jeder Fan einmal auf mitgeführte Gegenstände kontrolliert. Der Anteil der Personen, die einen unzulässigen Gegenstand mit sich führen, beträgt in einem Stadion erfahrungsgemäß $2\;\text{%}.$
Die Sicherheitskontrolle von drei Fans unmittelbar nacheinander ist ein dreistufiges Zufallsexperiment.

Zeichne für dieses Zufallsexperiment ein Baumdiagramm und beschrifte alle Pfade mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer dieser drei Fans einen unzulässigen Gegenstand mit sich führt.

Ein Fußballverein wirbt nach seinem Aufstieg in die nächsthöhere Spielklasse mit der Verdopplung des Verkaufs der Eintrittskarten.

Entscheide und begründe, ob alle Darstellungen den Sachverhalt richtig zeigen.

Grafiken zum Thema Eintrittskartenverkauf für die Saisons 22/23 und 23/24.

(8 BE)

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Lösung 6.1

Anteil Stadt ohne Kredit berechnen:

Gesamtkosten: $1\, 265\, 820\,\text{€}$

Freistaat zahlt $\frac{2}{3}$ , die Stadt den Rest, also $\frac{1}{3}$
Stadtanteil:
$\dfrac{1}{3}\cdot 1\, 265\, 820\,\text{€}= 421\, 940\,\text{€}$

Kredit: $170\, 000\,\text{€}$
Betrag ohne Kredit:
$421\, 940\,\text{€}-170\, 000\,\text{€}=251\, 940\,\text{€}$
Die Stadt nimmt $251\, 940\,\text{€}$ nicht über Kredit auf.

Zinsen für angegebenen Zeitraum berechnen:

$K=170\, 000\,\text{€},\; p=5,8\,\%$ p.a., Laufzeit $t=9$ Monate

$\begin{array}[t]{rlll} Z &=& K\cdot p\cdot \dfrac{t}{12\;\text{Monate}} \\[5pt] &=& 170\, 000\,\text{€}\cdot 0,058 \cdot \dfrac{9\;\text{Monate}}{12\;\text{Monate}}\\[5pt] &=&7\, 395\,\text{€} \end{array}$

Die Zinsen für $9$ Monate betragen $7\, 395\,\text{€}.$

Maßstab 1:10

Vorder- und Draufsicht eines U-förmigen Profils mit Maßangaben: 12 cm, 4,5 cm, 1 cm und 6 cm.

Gesamtlänge der $7$ querliegende Pfosten berechnen:
$7\cdot 1,40\;\text{m}= 9,80\;\text{m}$
Gesamtlänge der Begrenzungspfosten (links und rechts je $3$ ) berechnen:
$40\cdot 0,7\;\text{m}=28\;\text{m}$
Gesamtlänge aller Pfosten berechnen:
$9,80\;\text{m}+28\;\text{m}=37,80\;\text{m}$

Von einem $3,00\;\text{m}$ -Baumstamm kann man maximal $2,80\;\text{m}$ verwerten, denn es gilt:

$2,80\;\text{m}=2 \cdot 1,40\;\text{m} = 1 \cdot 1,40\;\text{m} + 2 \cdot 0,70\;\text{m} = 4 \cdot 0,70\;\text{m}$

Anzahl der Baumstämme berechnen, die benötigt werden, um die Gesamtlänge abzudecken:

$37,80\;\text{m} \div 2,80\;\text{m} = 13,5$

Da die Baumstämme in ganzen Stücken mit einer Länge von $3,00\;\text{m}$ angeliefert werden, werden zur Herstellung aller benötigten Pfosten mindestens $14$ Baumstämme benötigt.

Lösung 6.2

Masse des Silbers berechnen:

Grunddreieck (je Prisma):
$b=26\;\text{mm},\; h_{b} =81\;\text{mm}\div 3 = 27\;\text{mm}$

$A=\dfrac{1}{2}\cdot 26\;\text{mm}\cdot 27\;\text{mm}=351\;\text{mm}^2$

Gesamtfläche der 3 Dreiecke:
$A_{gesamt}=3\cdot 351\;\text{mm}^2=1\,053\;\text{mm}^2$

Volumen:
$A_{gesamt}\cdot t=1\,053\;\text{mm}^2\;\text{mm}\cdot 2$ $=2\, 106\;\text{mm}^3=2,106\;\text{cm}^3$

Masse:
$m=\rho\cdot V=10\;\dfrac{g}{cm^3}\cdot 2,106\;\text{cm}^3\approx 22,11\;\text{g}$

Sie benötigt ca. $22,11\;\text{g}$ Silber für den Anhänger.

Mantelfläche eines Prismas berechnen:

$M_{P}=U\cdot h_{P}$

Da die Grundfläche des Prismas ein gleichschenkliges Dreieck ist, teilt die Höhe $h_{b}$ diese in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke.
Mit dem Satz des Pythagoras lassen sich daher die Schenkellängen $a$ des gleichschenkligen Dreiecks berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} a^2 &=& \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 + h_{b}^2 &\mid \sqrt{\;} \\[0.5em] a &=& \sqrt{\left(\dfrac{b}{2}\right)^2 + h_{b}^2} \\[0.5em] a &=& \sqrt{\left(\dfrac{26\;\text{mm}}{2}\right)^2 + 27\;\text{mm}^2} \\[0.5em] a &=& \sqrt{898\;\text{mm}^2} \\[0.5em] a &\approx& 29,97\;\text{mm} \end{array}$

Damit folgt für den Umfang des Prismas:

$U = 2 \cdot a + b \approx 2 \cdot 29,97\;\text{mm} + 26\;\text{mm} = 85,94\;\text{mm}$

und schließlich für die Mantelfläche des Prismas:

$M_P = U \cdot h_{P} \approx 85,94\;\text{mm} \cdot 2\;\text{mm} = 171,88\;\text{mm}^2$

Mantelfläche des Anhängers berechnen:

Da der Anhänger aus insgesamt $3$ Prismen besteht, folgt:

$M_P \approx 3 \cdot 171,88\;\text{mm}^2 = 515,64\;\text{mm}^2$

Die Mantelfläche des Anhängers beträgt ca. $515,64\;\text{mm}^2.$

Nettopreis berechnen:

$59,49\,\text{€}:1,19\approx 49,99\,\text{€}$

Der Nettopreis des Anhängers beträgt $49,99\,\text{€}.$

Lösung 6.3

Gesamtstrecke der $10$ Feldspieler (in $\text{km}$ ) berechnen:

Rechenweg anzeigen

$98,52\;\text{km}$

Gesamtsumme bei Mittelwert $9,38$ und 11 Spielern berechnen:
$11\cdot 9,38\;\text{km}=103,18\;\text{km}$

Gelaufene Strecke des Torhüters berechnen:
$103,18\;\text{km}-98,52\;\text{km}=4,66\;\text{km}$

Der Torhüter ist in diesem Spiel $4,66\;\text{km}$ gelaufen.

$U:$ führt unzulässigen Gegenstand mit sich $(p=0,02)$

$\overline{U}:$ führt keinen unzulässigen Gegenstand mit sich $(p=0,98)$

Wahrscheinlichkeitsbaum mit drei Ebenen, Verzweigungen U/Ū und Wahrscheinlichkeiten 0,02 und 0,98.

Wahrscheinlichkeit berechnen:

Es gibt 3 Möglichkeiten: Entweder führt der erste, der zweite oder der dritte Fan einen unzulässigen Gegenstand mit sich. Mithilfe der 1. Pfadregel lassen sich diese Wahrscheinlichkeiten berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P(U, \overline{U}, \overline{U}) &=& 0,02 \cdot 0,98 \cdot 0,98 &\approx& 0,0192 \\ P(\overline{U}, U, \overline{U}) &=& 0,98 \cdot 0,02 \cdot 0,98 &\approx& 0,0192 \\ P(\overline{U}, \overline{U}, U) &=& 0,98 \cdot 0,98 \cdot 0,02 &\approx& 0,0192 \end{array}$

Mit der 2. Pfadregel folgt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{genau}\;1\text{-mal}\;U) &=& P(U, \overline{U}, \overline{U}) + P(\overline{U}, U, \overline{U}) + P(\overline{U}, \overline{U}, U) \\ &\approx& 0,0192 + 0,0192 + 0,0192 \\&=& 0,0576 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer der drei Fans einen unzulässigen Gegenstand mit sich führt, beträgt $5,76\,\text{%}.$

Darstellung 1: Der Sachverhalt wird korrekt dargestellt, da die Säulenhöhe bei der Saison 23/24 doppelt so groß ist wie bei der Saison 22/23.
Darstellung 2: Die Darstellung zeigt den Sachverhalt nicht korrekt, weil die Dicke und die Breite des Tickets sich zwar jeweils verdoppelt, aber der Flächeninhalt sich vervierfacht.
Darstellung 3: Der Sachverhalt wird korrekt dargestellt, da sich nur die Höhe und damit auch das Volumen der zylindrischen Säule verdoppelt.

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