Teil B – Wahlaufgaben

Wahlaufgabe 6.1

In einer Stadt wurde der gesamte Außenbereich der Grundschule neu gestaltet.

Die Gesamtkosten betrugen $1\, 265\, 820,00\,\text{€},$ von denen zwei Drittel der Freistaat Sachsen bezahlt und den Rest die Stadt.
Die Stadt nimmt dafür einen Kredit von $170\, 000,00\,\text{€}$ auf.

Berechne den Betrag, für den die Stadt keinen Kredit aufnimmt.

Die Bank verlangt für den Kredit $5,8\,\text{%}$ Zinsen pro Jahr. Nach $9$ Monaten zahlt die Stadt den Kredit mit Zinsen an die Bank zurück.
Berechne die Zinsen für den angegebenen Zeitraum.

Auf dem Pausenhof werden Sitzelemente aufgestellt (siehe Abbildung 1).

Zeichne ein senkrechtes Zweitafelbild eines solchen Sitzelementes in einem geeigneten Maßstab.

Schematische Zeichnung eines Tisches/Bankes mit Maßangaben in Millimetern

Der Pausenhof und der Spielplatz sind durch eine Treppe miteinander verbunden. Die Treppenstufen werden durch $7$ querliegende Pfosten mit jeweils $1,40\;\text{m}$ Länge gebildet. Links und rechts begrenzen Pfosten mit je $0,70\;\text{m}$ Länge die Treppe (siehe Abbildung 2).

Schematische Darstellung eines Pausenhofs mit Spielplatz, Bäumen und Spielgeräten.

Für die Pfosten wurden Baumstämme mit $3,00\;\text{m}$ Länge angeliefert und vor Ort auf die entsprechenden Längen gesägt.

Entscheide und begründe, ob mindestens $12, 13, 14$ oder $15$ Baumstämme benötigt wurden.

(8 BE)

Wahlaufgabe 6.2

Frau Meuser stellt einen Anhänger für eine Halskette her.
Dieser ist $26\;\text{mm}$ breit und insgesamt $81\;\text{mm}$ lang.
Die Stärke des Materials beträgt $2\;\text{mm}.$

Der Anhänger ist aus drei Prismen zusammengesetzt.
Die Grundflächen der Prismen sind spitzwinklige Dreiecke, zueinander kongruent und achsensymmetrisch angeordnet (siehe Abbildung).

Grafische Darstellung von drei grauen nach unten zeigenden Pfeilen.

Die Prismen für den Anhänger fertigt Frau Meuser aus Silber mit einer Dichte von $10,50 \;\frac{g}{cm^3}.$
Berechne, wie viel Gramm Silber sie für den Anhänger benötigt.

Frau Meuser vergoldet die Mantelfläche jedes Prismas.
Berechne den Flächeninhalt der Mantelfläche für den Anhänger.

Der Anhänger kostet $59,49\,\text{€}$ einschließlich $19\,\text{%}$ Mehrwertsteuer.
Berechne den Nettopreis.

(8 BE)

Wahlaufgabe 6.3

Beim Fußballsport spielen das Erstellen und das Auswerten statistischer Daten eine große Rolle. Diese Daten werden zum Beispiel für Spielanalysen, Sicherheit im Stadion und Werbung genutzt.

In der Statistik zum Spiel findet man Angaben zu den Laufwegen der Spieler. In einem Spiel liefen die zehn Feldspieler und der Torhüter durchschnittlich $9,38\;\text{km}.$ Für die zehn Feldspieler wurden die folgenden Werte gemessen.

$8,62\;\text{km}; \quad 10,45\;\text{km} \quad 7,89\;\text{km} \quad 11,03\;\text{km} \quad 13,70\;\text{km} \quad 8,15\;\text{km} \quad 8,64\;\text{km} \quad 9,26\;\text{km} \quad 11,84\;\text{km} \quad 8,94\;\text{km}$

Berechne, wie viel Kilometer der Torhüter in diesem Spiel gelaufen ist.

Beim Einlass in das Stadion wird jeder Fan einmal auf mitgeführte Gegenstände kontrolliert. Der Anteil der Personen, die einen unzulässigen Gegenstand mit sich führen, beträgt in einem Stadion erfahrungsgemäß $2\;\text{%}.$
Die Sicherheitskontrolle von drei Fans unmittelbar nacheinander ist ein dreistufiges Zufallsexperiment.

Zeichne für dieses Zufallsexperiment ein Baumdiagramm und beschrifte alle Pfade mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer dieser drei Fans einen unzulässigen Gegenstand mit sich führt.

Ein Fußballverein wirbt nach seinem Aufstieg in die nächsthöhere Spielklasse mit der Verdopplung des Verkaufs der Eintrittskarten.

Entscheide und begründe, ob alle Darstellungen den Sachverhalt richtig zeigen.

Grafiken zum Thema Eintrittskartenverkauf für die Saisons 22/23 und 23/24.

(8 BE)

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Lösung 6.1

Gesamtkosten: $1\, 265\, 820\,\text{€}$

Freistaat zahlt $\frac{2}{3}$ , die Stadt den Rest, also $\frac{1}{3}$
Stadtanteil $=\frac{1}{3}\cdot 1\, 265\, 820= 421\, 940\,\text{€}$

Kredit: $170\, 000\,\text{€}$
Betrag ohne Kredit: $421\, 940\,\text{€}-170\, 000\,\text{€}=251\, 940\,\text{€}$
Die Stadt nimmt $251\, 940\,\text{€}$ nicht über Kredit auf.

Zinsen für angegebenen Zeitraum berechnen:
Zinsen ( $K=170\, 000\,\text{€}, p=5,8\%$ p.a., Laufzeit $t=9$ Monate)

$\begin{array}[t]{rlll} Z &=& K\cdot p\cdot \dfrac{t}{12\cdot 100} \\[5pt] &=& 170\, 000\,\text{€}\cdot 5,8\,\text{%}\cdot \dfrac{9}{12\cdot 100}\\[5pt] &=&7\, 395\,\text{€} \end{array}$

Die Zinsen für $9$ Monate betragen $7\, 395\,\text{€}.$

Maßstab 1:10

Technische Zeichnung mit Vorderansicht und Draufsicht eines Objekts, Maße in cm angegeben.

Gesamtlänge der $7$ querliegende Pfosten berechnen:
$7\cdot 1,40\;\text{m}= 9,80\;\text{m}$
Gesamtlänge der Begrenzungspfosten (links und rechts je $3$ ) berechnen:
$40\cdot 0,7\;\text{m}=28\;\text{m}$
Gesamtlänge aller Pfosten berechnen:
$9,80\;\text{m}+28\;\text{m}=37,80\;\text{m}$

Anzahl der Baumstämme berechnen, die benötigt werden, um die Gesamtlänge abzudecken:
$\frac{37,80\;\text{m}}{3\;\text{m}}=12,60$

Da die Baumstämme in ganzen Stücken mit einer Länge von $3,00\;\text{m}$ angeliefert werden, werden zur Herstellung aller benötigten Pfosten mindestens $13$ Baumstämme benötigt.

Lösung 6.2

Masse des Silbers berechnen:

Grunddreieck (je Prisma): $b=26\;\text{mm}, h=27\;\text{mm}$
$A=\frac{1}{2}\cdot 26\cdot 27=351\;\text{mm}^2$

Gesamtfläche der 3 Dreiecke: $A_{gesamt}=3\cdot 351=1\,053\;\text{mm}^2$

Volumen: Prismenlänge $=A_{gesamt}\cdot t=1\,053\cdot 2$ $=2\, 106\;\text{mm}^3=2,106\;\text{cm}^3$

Masse: $m=\rho\cdot V=10\cdot 2,106\approx 22,11\;\text{g}$

Mantelfläche eines Prismas berechnen:

$A=U\cdot h$

1. Höhe $h$ und Grundseite $c$ bestimmen:
$h = \dfrac{\text{Gesamtlänge}}{3} = \dfrac{81\;\text{mm}}{3} = 27\ \text{mm}$

Umfang der Grundfläche des Dreiecks:
$c = 26\;\text{mm}$

Höhe des Dreiecks:
Die Grundfläche ist ein gleichschenkliges Dreieck.
$h_{\text{Dreieck}} = 2\;\text{mm}$

2. Schenkellänge ( $a$ ) der Grundfläche
Länge der beiden gleichen Seiten ( $a$ ) mit dem Satz des Pythagoras berechnen, da die Höhe $h_{\text{Dreieck}}$ das Dreieck halbiert.
$a^2 = h_{\text{Dreieck}}^2 + \left(d\frac{c}{2}\right)^2$
$\sqrt{a^2} =\sqrt{(2\ \text{mm})^2 + \left(\frac{26\ \text{mm}}{2}\right)^2}\approx 13,15 \;\text{mm}$

Umfang $U$ der Grundfläche bestimmen:
$U = 2a + c$
$U =2 \cdot \sqrt{173} + 26=52,3\;\text{mm}$

Gesamt Mantelfläche bestimmen:
$A=U\cdot \text{Gesamtlänge}$
$A= 52,3058\:\text{mm} \cdot 81\:\text{mm}\approx 4236,77\:\text{mm}^2$

Die Mantelfläche des Anhängers beträgt $4\, 236,7\;\text{mm}^2.$

Nettopreis berechnen:

Nettopreis $=59,49\,\text{€}:1,19\approx 49,99\,\text{€}$

Der Nettopreis des Anhängers beträgt $49,99\,\text{€}.$

Lösung 6.3

Summe der 10 Feldspieler (km):

Rechenweg anzeigen

$98,52\;\text{km}$

Gesamtsumme bei Mittelwert $9,38$ und 11 Spielern: $11\cdot 9,38=103,18\;\text{km}$

Gelaufene Strecke des Torhüters berechnen: $103,18-98,52=4,66\;\text{km}$

Der Torhüter ist in diesem Spiel ungefähr $4,66\;\text{km}$ gelaufen.

$U:$ führt unzulässigen Gegenstand mit sich $(p=0,02)$

$\overline{U}:$ führt keinen unzulässigen Gegenstand mit sich $(p=0,98)$

Wahrscheinlichkeitsbaum mit drei Ebenen, Verzweigungen U/Ū und Wahrscheinlichkeiten 0,02 und 0,98.

Wahrscheinlichkeit berechnen:
$P=\pmatrix{3\\1}\cdot (0,02)^1\cdot (0,98)^2\approx 0,0576\approx 5,76\,\text{%}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer der drei Fans einen unzulässigen Gegenstand mit sich führt, beträgt $5,76\,\text{%}.$

Darstellung 1: Der Sachverhalt wird korrekt dargestellt, da die Balkenhöhe der Saison 23/24 doppelt so groß ist wie der Saison 22/23.
Darstellung 2: Die Darstellung zeigt den Sachverhalt nicht korrekt, weil die Dicke und die Breite des Tickets verdoppelt sich zwar jeweils, aber der Flächeninhalt vervierfacht sich.
Darstellung 3: Der Sachverhalt wird korrekt dargestellt, da die Säulen eine Verdopplung von 22/23 auf 23/24 zeigen.

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