Teil B – Pflichtaufgaben

Aufgabe 1

Banken bieten verschiedene Möglichkeiten zum Sparen an.

Hannahs Guthaben betrug das gesamte Jahr $Formula: 2\,652,80\,\text{€}.$ $Formula: 2\,652,80\,\text{€}.$

Sie erhält nach dem Jahr $Formula: 68,97\,\text{€}$ $Formula: 68,97\,\text{€}$ Zinsen auf ihr Guthaben.

Berechne den Zinssatz.

Finn erhält bei der Spar-Bank einen Zinssatz von $Formula: 3,25\,\%$ $Formula: 3,25\,\%$ pro Jahr.

Er bekommt $Formula: 64,35\,\text{€}$ $Formula: 64,35\,\text{€}$ Zinsen für ein Jahr ausgezahlt.

Berechne den Betrag, den Finn für ein Jahr anlegte.

Lia eröffnet ein Konto bei einer Bank, die Tageszinsen anbietet.

Sie legt $Formula: 1\,250,00\,\text{€}$ $Formula: 1\,250,00\,\text{€}$ für Formula: 52 Tage an. Der Zinssatz für ein Jahr beträgt $Formula: 3,10\,\%.$ $Formula: 3,10\,\%.$

Berechne die Zinsen, die Lia für Formula: 52 Tage erhält.

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Aufgabe 2

Von einem Dreieck Formula: ABC sind die folgenden Stücke bekannt.

$Formula: \overline{AB}=5,8 \mathrm{~cm}$ $Formula: \overline{AB}=5,8 \mathrm{~cm}$

$Formula: \overline{BC}=10,5 \mathrm{~cm}$ $Formula: \overline{BC}=10,5 \mathrm{~cm}$

$Formula: \overline{AC}=7,3 \mathrm{~cm}$ $Formula: \overline{AC}=7,3 \mathrm{~cm}$

Konstruiere das Dreieck Formula: ABC.

Berechne die Größe des größten Innenwinkels dieses Dreiecks.

Ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks.

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Aufgabe 3

Zur Vorbereitung einer Party werden verschiedene Gläser bereitgestellt (siehe Abbildung).

Skizze eines Kegelglases mit 10 cm Durchmesser und 5 cm Höhe, bezeichnet als Glas 1.

Kegelförmiges Glas 2 mit 5,0 cm Durchmesser und 10,0 cm Höhe.

Skizze eines kegelförmigen Glases mit eingezeichnetem Durchmesser und Höhe.

Abbildung (nicht maßstäblich)

Berechne das Fassungsvermögen von Glas Formula: 1.

Entscheide und begründe, ob die Gläser Formula: 1 und Formula: 2 das gleiche Fassungsvermögen haben.

Glas Formula: 3 hat eine Höhe von $Formula: 14,0\;\text{cm}$ $Formula: 14,0\;\text{cm}$ und ein Fassungsvermögen von $Formula: 150\;\text{m}\ell$ $Formula: 150\;\text{m}\ell$ (siehe Abbildung).

Berechne den Radius dieses Glases.

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Aufgabe 4

Gegeben ist eine Funktion Formula: f durch die Gleichung Formula: y=f(x)=2^x.

Übernimm die Wertetabelle und vervollständige diese für die Funktion Formula: f.

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$
$Formula: \boldsymbol{y}$ $Formula: \boldsymbol{y}$

Zeichne den Graphen der Funktion Formula: f mindestens im Intervall $Formula: -3 \leq x \leq 3$ $Formula: -3 \leq x \leq 3$ in ein rechtwinkliges Koordinatensystem.

Eine lineare Funktion Formula: g hat die folgenden Eigenschaften:

Die Funktionen Formula: f und Formula: g haben den gemeinsamen Punkt $Formula: P(3 \mid y ).$ $Formula: P(3 \mid y ).$

Die Funktion Formula: g hat bei Formula: x = - 5 eine Nullstelle.

Zeichne den Graphen der Funktion in ein rechtwinkliges Koordinatensystem.
Gib die Funktionsgleichung der Funktion an.

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Aufgabe 5

Larissa möchte Taschen in verschiedenen Größen herstellen.

Die Taschen können aus einem einzigen Stoffteil genäht werden. Dieses Stoffteil setzt sich aus zwei Rechtecken und zwei zueinander kongruenten gleichschenkligen Trapezen zusammen (siehe Abbildung).

Skizze eines Stoffteils auf einer Stoffbahn mit Maßangaben.

Abbildung (nicht maßstäblich)

Ermittle für $Formula: a=20,0 \mathrm{~cm}$ $Formula: a=20,0 \mathrm{~cm}$ die Breite der benötigten Stoffbahn.

Nach dem Ausschneiden muss Larissa den gesamten Rand des Stoffteils noch bearbeiten.

Berechne den Umfang des Stoffteils für $Formula: a = 20,0\;\text{cm}.$ $Formula: a = 20,0\;\text{cm}.$

Für eine größere Tasche nutzt Larissa eine Stoffbahn von $Formula: 1,80\;\text{m}$ $Formula: 1,80\;\text{m}$ Breite.

Gib dafür den maximal möglichen Wert für Formula: a an.

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Aufgabe 1

Für den Zinssatz folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p&=&\dfrac{68,97}{2652,80}\cdot 100\,\% \\[5pt] &=&2,6\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p&=&\dfrac{68,97}{2652,80}\cdot 100\,\% \\[5pt] &=&2,6\,\% \end{array}$

Für den Betrag, den Finn für ein Jahr angelegt hat, gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} K&=&\dfrac{64,35}{3,25\,\%}\cdot 100\,\% \\[5pt] &=&1980\;\text{€} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} K&=&\dfrac{64,35}{3,25\,\%}\cdot 100\,\% \\[5pt] &=&1980\;\text{€} \end{array}$

Für die Tageszinsen folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} Z&=&\dfrac{K \cdot p \cdot t}{100 \cdot 365} \\[5pt] &=&\dfrac{1250 \cdot 3,10 \cdot 52}{100 \cdot 365} \\[5pt] &\approx&5,52\;\text{€} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} Z&=&\dfrac{K \cdot p \cdot t}{100 \cdot 365} \\[5pt] &=&\dfrac{1250 \cdot 3,10 \cdot 52}{100 \cdot 365} \\[5pt] &\approx&5,52\;\text{€} \end{array}$

Aufgabe 2

Koordinatensystem mit dem Dreieck ABC und den Seitenlängen 5,8 cm, 7,3 cm und 10,5 cm.

Die längste Seite ist $Formula: B C=10,5 \mathrm{~cm}.$ $Formula: B C=10,5 \mathrm{~cm}.$ Der größte Winkel liegt gegenüber der längsten Seite. Gesucht ist also der Winkel bei Formula: A. Mit dem Kosinussatz folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} a^2&=&b^2+c^2-2 b c \cdot \cos (\alpha) &\mid\;-b^2 \\[5pt] a^2-b^2&=&c^2-2 b c \cdot \cos (\alpha) &\mid\;-c^2 \\[5pt] a^2-b^2-c^2&=&-2 b c \cdot \cos (\alpha) &\mid\;:(-2bc) \\[5pt] \dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}&=&\cos (\alpha) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} a^2&=&b^2+c^2-2 b c \cdot \cos (\alpha) &\mid\;-b^2 \\[5pt] a^2-b^2&=&c^2-2 b c \cdot \cos (\alpha) &\mid\;-c^2 \\[5pt] a^2-b^2-c^2&=&-2 b c \cdot \cos (\alpha) &\mid\;:(-2bc) \\[5pt] \dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}&=&\cos (\alpha) \end{array}$

Das Einsetzen der Werte liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} \cos (\alpha)&=&\dfrac{-10,5^2+7,3^2+5,8^2}{2 \cdot 7,3 \cdot 5,8} \\[5pt] \cos (\alpha)&=& \dfrac{-110,25+33,64+53,29}{84,68} \\[5pt] \cos (\alpha)&=&\dfrac{-23,32}{84,68} &\mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos ^{-1}\left(\dfrac{-23,32}{84,68}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&106^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \cos (\alpha)&=&\dfrac{-10,5^2+7,3^2+5,8^2}{2 \cdot 7,3 \cdot 5,8} \\[5pt] \cos (\alpha)&=& \dfrac{-110,25+33,64+53,29}{84,68} \\[5pt] \cos (\alpha)&=&\dfrac{-23,32}{84,68} &\mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos ^{-1}\left(\dfrac{-23,32}{84,68}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&106^{\circ} \end{array}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \sin (\alpha) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 5,8 \cdot 7,3 \cdot \sin \left(106^{\circ}\right) \\[5pt] &\approx&20,35\;\text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \sin (\alpha) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 5,8 \cdot 7,3 \cdot \sin \left(106^{\circ}\right) \\[5pt] &\approx&20,35\;\text{cm}^2 \end{array}$

Aufgabe 3

Für das Fassungsvermögen von Glas Formula: 1 folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_1&=&\dfrac{1}{3} \pi r^2 h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 5 \\[5pt] &=&\dfrac{125}{3} \pi \\[5pt] &\approx&130,9\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_1&=&\dfrac{1}{3} \pi r^2 h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 5 \\[5pt] &=&\dfrac{125}{3} \pi \\[5pt] &\approx&130,9\;\text{cm}^3 \end{array}$

Da $Formula: 1 \mathrm{~cm}^3=1\;\mathrm{m}\ell,$ $Formula: 1 \mathrm{~cm}^3=1\;\mathrm{m}\ell,$ gilt:

$Formula: V_1 \approx 131\;\mathrm{m}\ell$ $Formula: V_1 \approx 131\;\mathrm{m}\ell$

Für das Fassungsvermögen von Glas Formula: 2 ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_2&=&\dfrac{1}{3} \pi r^2 h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \pi \cdot 2,5^2 \cdot 10 \\[5pt] &\approx&65,4\;\text{m}\ell \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_2&=&\dfrac{1}{3} \pi r^2 h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \pi \cdot 2,5^2 \cdot 10 \\[5pt] &\approx&65,4\;\text{m}\ell \end{array}$

Die Gläser haben also nicht das gleiche Fassungsvermögen. Glas Formula: 1 fasst etwa doppelt so viel wie Glas Formula: 2.

Für den Radius von Glas Formula: 3 gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_3&=&\dfrac{1}{3} \pi r^2 h \\[5pt] 150&=&\dfrac{1}{3} \pi r^2 \cdot 14 &\mid\;\cdot 3 \\[5pt] 450&=&14\pi r^2 &\mid\;:14\pi \\[5pt] \dfrac{450}{14\pi}&=&r^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{450}{14 \pi}}&=&r \\[5pt] 3,2\;\text{cm}&\approx&r \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_3&=&\dfrac{1}{3} \pi r^2 h \\[5pt] 150&=&\dfrac{1}{3} \pi r^2 \cdot 14 &\mid\;\cdot 3 \\[5pt] 450&=&14\pi r^2 &\mid\;:14\pi \\[5pt] \dfrac{450}{14\pi}&=&r^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{450}{14 \pi}}&=&r \\[5pt] 3,2\;\text{cm}&\approx&r \end{array}$

Aufgabe 4

Exponentielle Funktion mit markierten Punkten von (-3|0,125) bis (3|8).

Einsetzen von Formula: x=3 in Formula: f liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} f(3)&=&2^3 \\[5pt] &=&8 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f(3)&=&2^3 \\[5pt] &=&8 \end{array}$

Somit ergibt sich der gemeinsame Punkt $Formula: P(3 \mid 8).$ $Formula: P(3 \mid 8).$

Die Funktion Formula: g hat eine Nullstelle im Punkt $Formula: Q(-5\mid0).$ $Formula: Q(-5\mid0).$ Für die Steigung der linearen Funktion Formula: g, also einer Geraden, folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} m&=&\dfrac{8-0}{3-(-5)} \\[5pt] &=&\dfrac{8}{8} \\[5pt] &=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m&=&\dfrac{8-0}{3-(-5)} \\[5pt] &=&\dfrac{8}{8} \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Mit den Koordinaten des Punktes Formula: Q ergibt sich für den Achsenabschnitt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&x+b \\[5pt] 0&=&-5+b &\mid\;+5 \\[5pt] 5&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&x+b \\[5pt] 0&=&-5+b &\mid\;+5 \\[5pt] 5&=&b \end{array}$

Somit gilt:

Formula: g(x)=x+5

Für den Graphen im Koordinatensystem folgt:

Gerade g(x)=x+5 mit den Punkten (-5|0) und (3|8).

Aufgabe 5

Für die Summe der Breiten ergibt sich:

Formula: 2,5 a+0,5 a+2,5 a+2 a =7,5 a

Für $Formula: a=20\;\text{cm}$ $Formula: a=20\;\text{cm}$ gilt:

$Formula: 7,5 \cdot 20=150 \mathrm{~cm}$ $Formula: 7,5 \cdot 20=150 \mathrm{~cm}$

Die Stoffbahn muss $Formula: 150 \mathrm{~cm}=1,50 \mathrm{~m}$ $Formula: 150 \mathrm{~cm}=1,50 \mathrm{~m}$ breit sein.

Die schrägen Seiten Formula: s werden mit dem Satz des Pythagoras berechnet. Da alle aus Symmetriegründen gleichlang sind, folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} s^2&=&(2,5a)^2+a^2 \\[5pt] s^2&=&50^2+20^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] s&=&\sqrt{2900} \\[5pt] s&\approx&53,9\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} s^2&=&(2,5a)^2+a^2 \\[5pt] s^2&=&50^2+20^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] s&=&\sqrt{2900} \\[5pt] s&\approx&53,9\;\text{cm} \end{array}$

Es gibt vier gleich lange schräge Seiten. Damit gilt für den Umfang:

$Formula: \begin{array}{rlll} U&=&4 s+4 \cdot 2 a+2 \cdot 0,5 a \\[5pt] &=&4 \cdot 53,85+4 \cdot 40+2 \cdot 10 \\[5pt] &\approx&395,4\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} U&=&4 s+4 \cdot 2 a+2 \cdot 0,5 a \\[5pt] &=&4 \cdot 53,85+4 \cdot 40+2 \cdot 10 \\[5pt] &\approx&395,4\;\text{cm} \end{array}$

Mit der Breite von $Formula: 1,80\;\text{m}=180\;\text{cm}$ $Formula: 1,80\;\text{m}=180\;\text{cm}$ folgt für Formula: a:

$Formula: \begin{array}{rlll} 7,5 a &\leq& 180 &\mid\;:7,5 \\[5pt] a&\leq&\dfrac{180}{7,5} \\[5pt] a&\leq&24 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 7,5 a &\leq& 180 &\mid\;:7,5 \\[5pt] a&\leq&\dfrac{180}{7,5} \\[5pt] a&\leq&24 \end{array}$

Der maximal mögliche Wert beträgt somit $Formula: a=24\;\text{cm}.$ $Formula: a=24\;\text{cm}.$

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