Teil B – Wahlaufgaben

Wahlaufgabe 6.1

Im Jahr 2032 soll der Brenner Basistunnel durch die Alpen fertiggestellt sein.

Für die einzelnen Tunnelabschnitte werden zylinderförmige Röhren gebohrt. Diese Röhren haben unterschiedliche Durchmesser und Längen.

Nach der Fertigstellung des Tunnels verkürzt sich die Fahrzeit der Züge von $Formula: 80\;\text{min}$ $Formula: 80\;\text{min}$ auf $Formula: 25\;\text{min}$ $Formula: 25\;\text{min}$ für die Strecke von Innsbruck (Österreich) nach Franzensfeste (Italien).

Berechne, um wie viel Prozent sich die Fahrzeit verkürzt.

Eine Röhre des Tunnels hat einen Durchmesser von $Formula: 10,38\;\text{m}$ $Formula: 10,38\;\text{m}$ und ist $Formula: 8\,300\;\text{m}$ $Formula: 8\,300\;\text{m}$ lang.

Berechne, wie viel Kubikmeter Gestein für diese Röhre mindestens herausgebrochen werden müssen.

Eine andere Röhre ist $Formula: 14,0\;\text{km}$ $Formula: 14,0\;\text{km}$ lang und hat ein Volumen von $Formula: 1\,260\,000\;\text{m}^3.$ $Formula: 1\,260\,000\;\text{m}^3.$

Berechne den Durchmesser dieser Röhre.

Beim Bau des gesamten Brenner Basistunnels fallen Formula: 21,5 Millionen Kubikmeter Gestein an.

Für eine Größenvorstellung kann man als Vergleich die größte Pyramide in Ägypten nutzen. Diese hat eine quadratische Grundfläche. Die Länge einer Grundkante beträgt $Formula: 230\;\text{m}.$ $Formula: 230\;\text{m}.$ Die Pyramide ist $Formula: 140\;\text{m}$ $Formula: 140\;\text{m}$ hoch.

Begründe rechnerisch, dass mit dem gesamten Gestein des Tunnels acht Pyramiden dieser Größe vollständig gebaut werden könnten.

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Wahlaufgabe 6.2

Gib ein Beispiel dafür an, dass die folgende Aussage falsch ist.

Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer durch zwei teilbar.

Löse die quadratische Gleichung. Führe die Probe durch.

Formula: x^2+2,5 x+7,5=20

Löse das lineare Gleichungssystem rechnerisch.

$Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2y&=& x + 8 \\ \text{II}\quad&y&=&-2x-1 \\ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2y&=& x + 8 \\ \text{II}\quad&y&=&-2x-1 \\ \end{array}$

Stelle die folgende Formel nach Formula: a um.

$Formula: A=\dfrac{a+c}{2} \cdot h$ $Formula: A=\dfrac{a+c}{2} \cdot h$

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Wahlaufgabe 6.3

E-Bikes liegen im Trend. Ein Modell ist hinsichtlich der beiden folgenden Kriterien nacheinander repräsentativ getestet worden.

(1) Reichweite des Akkus

(2) Ausstattung des E-Bikes

Die Testpersonen konnten die beiden Kriterien jeweils mit „zufrieden“ oder „nicht zufrieden“ bewerten.

Mit der Reichweite des Akkus waren $Formula: 85\,\%$ $Formula: 85\,\%$ der Testpersonen zufrieden.

Von den mit der Reichweite des Akkus zufriedenen Testpersonen waren $Formula: 92\,\%$ $Formula: 92\,\%$ auch mit der Ausstattung des E-Bikes zufrieden.

Von den mit der Reichweite des Akkus nicht zufriedenen Testpersonen waren $Formula: 87\,\%$ $Formula: 87\,\%$ mit der Ausstattung des E-Bikes zufrieden.

Die Bewertung der beiden Kriterien kann als zweistufiges Zufallsexperiment angenommen werden.

Zeichne für dieses Zufallsexperiment ein Baumdiagramm.

Beschrifte alle Pfade mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Testperson mit genau einem der beiden Kriterien zufrieden war.

An dem Test nahmen $Formula: 2\, 000$ $Formula: 2\, 000$ Personen teil.

Ermittle die Anzahl der Personen, die sowohl mit der Reichweite des Akkus als auch mit der Ausstattung des E-Bikes zufrieden waren.

Der ursprüngliche Preis des getesteten Modells beträgt $Formula: 2\, 170,00\,\text{€}.$ $Formula: 2\, 170,00\,\text{€}.$

Eine Firma bietet dieses Modell als „Jobrad“ an.

Angebot „Jobrad“

Formula: 3 Jahre lang – monatliche Raten von Formula: 42,00 Euro zahlen und anschließender Erwerb des E-Bikes für $Formula: 18\,\%$ $Formula: 18\,\%$ seines ursprünglichen Preises

Eine Mitarbeiterin möchte dieses Angebot „Jobrad“ annehmen.

Berechne, welchen Betrag diese Mitarbeiterin gegenüber dem ursprünglichen Preis damit einsparen kann.

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Wahlaufgabe 6.1

Für das Zeitersparnis folgt:

$Formula: 80-25=55 \mathrm{~min}$ $Formula: 80-25=55 \mathrm{~min}$

Für die prozentuale Abnahme gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p&=&\dfrac{55}{80} \cdot 100 \,\% \\[5pt] &=&68,75\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p&=&\dfrac{55}{80} \cdot 100 \,\% \\[5pt] &=&68,75\,\% \end{array}$

Die Röhre hat die Form eines Zylinders. Für die Menge an Gestein, die herausgebrochen werden muss, folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V&=&\pi r^2 h \\[5pt] &=&\pi \cdot 5,19^2 \cdot 8\,300 \\[5pt] &\approx&702\,365 \mathrm{~m}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V&=&\pi r^2 h \\[5pt] &=&\pi \cdot 5,19^2 \cdot 8\,300 \\[5pt] &\approx&702\,365 \mathrm{~m}^3 \end{array}$

Für den Radius gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V&=&\pi r^2 h &\mid\;:\pi h \\[5pt] \dfrac{V}{\pi h}&=&r^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}&=&r \\[5pt] \sqrt{\dfrac{1\,260\,000}{\pi \cdot 14\,000}}&=&r \\[5pt] 5,352\;\text{m}&\approx&r \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V&=&\pi r^2 h &\mid\;:\pi h \\[5pt] \dfrac{V}{\pi h}&=&r^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}&=&r \\[5pt] \sqrt{\dfrac{1\,260\,000}{\pi \cdot 14\,000}}&=&r \\[5pt] 5,352\;\text{m}&\approx&r \end{array}$

Für den Durchmesser folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} d&=&2 r \\[5pt] &=&2\cdot 5,352\;\text{m} \\[5pt] &\approx&10,7\;\text{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} d&=&2 r \\[5pt] &=&2\cdot 5,352\;\text{m} \\[5pt] &\approx&10,7\;\text{m} \end{array}$

Für das Volumen einer Pyramide gilt:

$Formula: V=\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$ $Formula: V=\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$

Die Grundfläche ist ein Quadrat mit Seitenlänge Formula: a. Somit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} V&=&\dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot 230^2 \cdot 140 \\[5pt] &\approx&2\,468\,666,7 \mathrm{~m}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V&=&\dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot 230^2 \cdot 140 \\[5pt] &\approx&2\,468\,666,7 \mathrm{~m}^3 \end{array}$

Für Formula: 8 Pyramiden gilt:

$Formula: 8 \cdot 2\,468\,666,7 \approx 19\,749\,333 \mathrm{~m}^3$ $Formula: 8 \cdot 2\,468\,666,7 \approx 19\,749\,333 \mathrm{~m}^3$

Da $Formula: 19\,749\,333 \mathrm{~m}^3<21\,500\,000\,\text{m}^3$ $Formula: 19\,749\,333 \mathrm{~m}^3<21\,500\,000\,\text{m}^3$ gilt, reicht das Gestein für acht vollständige Pyramiden.

Wahlaufgabe 6.2

Für ein Gegenbeispiel gilt:

Formula: 2+3+4=9

Formula: 9 ist nicht durch Formula: 2 teilbar.

Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x^2+2,5 x+7,5&=&20 &\mid\;-20 \\[5pt] x^2+2,5x-12,5&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x^2+2,5 x+7,5&=&20 &\mid\;-20 \\[5pt] x^2+2,5x-12,5&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: pq -Formel gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&-\dfrac{2,5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2,5}{2}\right)^2+12,5} \\[5pt] x_{1;2}&=&-1,25 \pm 3,75 \\[5pt] x_1&=&-1,25+3,75 \\[5pt] &=&2,5 \\[5pt] x_2&=&-1,25-3,75 \\[5pt] &=&-5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&-\dfrac{2,5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2,5}{2}\right)^2+12,5} \\[5pt] x_{1;2}&=&-1,25 \pm 3,75 \\[5pt] x_1&=&-1,25+3,75 \\[5pt] &=&2,5 \\[5pt] x_2&=&-1,25-3,75 \\[5pt] &=&-5 \end{array}$

Für die Probe mit Formula: x=2,5 folgt:

$Formula: 2,5^2+2,5 \cdot 2,5+7,5=20$ $Formula: 2,5^2+2,5 \cdot 2,5+7,5=20$

Für das Einsetzen von Formula: x=-5 in die Funktionsgleichung ergibt sich:

$Formula: (-5)^2+2,5 \cdot(-5)+7,5=20$ $Formula: (-5)^2+2,5 \cdot(-5)+7,5=20$

Beide Proben bestätigen somit die Lösungen.

Mit dem Einsetzungsverfahren wird Gleichung $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ in Gleichung $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ eingesetzt. Es folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2\cdot(-2 x-1)&=&x+8 \\[5pt] -4x-2&=&x+8 &\mid\;-x \\[5pt] -5x-2&=&8 &\mid\;+2 \\[5pt] -5x&=&10 &\mid\;:(-5) \\[5pt] x&=&-2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2\cdot(-2 x-1)&=&x+8 \\[5pt] -4x-2&=&x+8 &\mid\;-x \\[5pt] -5x-2&=&8 &\mid\;+2 \\[5pt] -5x&=&10 &\mid\;:(-5) \\[5pt] x&=&-2 \end{array}$

Im nächsten Schritt wird Formula: x=-2 in die Gleichung $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ eingesetzt. Damit gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-2 \cdot(-2)-1 \\[5pt] &=&4-1 \\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-2 \cdot(-2)-1 \\[5pt] &=&4-1 \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Für das Umstellen der Formel nach Formula: a ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\dfrac{a+c}{2} \cdot h &\mid\;\cdot 2 \\[5pt] 2A&=&(a+c) \cdot h &\mid\;:h \\[5pt] \dfrac{2A}{h}&=&a+c &\mid\;-c \\[5pt] \dfrac{2A}{h}-c&=&a \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\dfrac{a+c}{2} \cdot h &\mid\;\cdot 2 \\[5pt] 2A&=&(a+c) \cdot h &\mid\;:h \\[5pt] \dfrac{2A}{h}&=&a+c &\mid\;-c \\[5pt] \dfrac{2A}{h}-c&=&a \end{array}$

Wahlaufgabe 6.3

Baumdiagramm zur Zufriedenheit mit Reichweite und Ausstattung, inklusive Prozentangaben.

Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Testperson mit genau einem der beiden Kriterien zufrieden war, folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} P&=&0,85 \cdot 0,08+0,15 \cdot 0,87 \\[5pt] &=&0,068+0,1305 \\[5pt] &=&0,1985 \\[5pt] &=&19,85\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P&=&0,85 \cdot 0,08+0,15 \cdot 0,87 \\[5pt] &=&0,068+0,1305 \\[5pt] &=&0,1985 \\[5pt] &=&19,85\,\% \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Testperson mit beiden Kriterien zufrieden war, gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} P&=&0,85 \cdot 0,92 \\[5pt] &=&0,782 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P&=&0,85 \cdot 0,92 \\[5pt] &=&0,782 \end{array}$

Mit $Formula: 2\,000$ $Formula: 2\,000$ Testpersonen folgt:

$Formula: 2\,000 \cdot 0,782=1\,564$ $Formula: 2\,000 \cdot 0,782=1\,564$

Für die Ratenzahlung über drei Jahre, also Formula: 36 Monate, gilt:

$Formula: 36 \cdot 42\;\text{€}=1512\;\text{€}$ $Formula: 36 \cdot 42\;\text{€}=1512\;\text{€}$

Für den anschließenden Kaufpreis von $Formula: 18\,\%$ $Formula: 18\,\%$ des ursprünglichen Preises folgt:

$Formula: 2170\;\text{€} \cdot 0,18=390,60\;\text{€}$ $Formula: 2170\;\text{€} \cdot 0,18=390,60\;\text{€}$

Für die Gesamtkosten ergibt sich:

$Formula: 1512\;\text{€}+390,60\;\text{€}=1902,60\;\text{€}$ $Formula: 1512\;\text{€}+390,60\;\text{€}=1902,60\;\text{€}$

Für das Ersparnis gegenüber dem ursprünglichen Preis folgt:

$Formula: 2170\;\text{€}-1902,60\;\text{€}=267,40\;\text{€}$ $Formula: 2170\;\text{€}-1902,60\;\text{€}=267,40\;\text{€}$

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