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a)
Gegeben ist eine Funktion $f$ mit $f(x)= 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1;$ $x\in \mathbb{R}.$
(1)
Ermittle die Nullstelle der Funktion $f$.
(3 BE)
(2)
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weise nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.
(3 BE)
#exponentialfunktion#gleichschenkligesdreieck#zentraleraufgabenpool
b)
Gegeben sind die Ebene
$E:\quad 2x_1-x_2+2x_3=5$
und die Gerade
$g:\quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{2\\1\\-2}+ t\cdot \pmatrix{2\\-1\\-4},$ $t\in\mathbb{R}.$
(1)
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von $E$ und $g.$
(4 BE)
(2)
Begründe, dass $g$ nicht senkrecht zur Ebene $E$ verläuft.
(2 BE)
#koordinatenform#schnittpunkt#ebenengleichung
c)
Untersucht werden die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen.
(1)
Bestimme die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems:
$\begin{array}{lrll} &3\cdot x_1 & -&2\cdot&x_2& && &=& 13 \\ & &&&x_2& +&2\cdot& x_3&=&5 \\ & &&&x_2&+& &x_3&=& 3 \\ \end{array}$
(3 BE)
(2)
Betrachtet wird das folgende Gleichungssystem mit einem Parameter $p\in\mathbb{R}:$
$\begin{array}{lrll} 3\cdot& x_1 & +&2\cdot&x_2& +&&x_3 &=& 4 \\ 3\cdot &x_1 &+&2\cdot&x_2& & & &=&5 \\ 3\cdot &x_1&+ &2\cdot&x_2&+& p\cdot&x_3&=& 4 \\ \end{array}$
Gib einen Wert für $p$ an, für den das Gleichunggsystem unendlich viele Lösungen hat.
Begründe, dass es keinen Wert von $p$ gibt, für den das Gleichungssystem genau eine Lösung hat.
(3 BE)
#gleichungssystem
d)
Jedes Überraschungsei eines Herstellers enthält entweder eine Figur oder keine Figur, wobei der Anteil der Überraschungseier mit einer Figur $25\;\%$ beträgt.
(1)
Zehn Überraschungseier werden nacheinander zufällig ausgewählt.
Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur in den letzten beiden Überraschungseiern jeweils eine Figur enthalten ist.
(2 BE)
(2)
Sechs Überraschungseier werden zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie viele dieser Überraschungseier eine Figur enthalten. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße $X$ dar:
Abb. 1: I
Abb. 1: I
Abb. 2: II
Abb. 2: II
Abb. 3: III
Abb. 3: III
Gib an, welche Abbildung dies ist.
Begründe, dass die beiden anderen Abbildungen dies nicht sind.
(4 BE)
#zentraleraufgabenpool
Bildnachweise [nach oben]
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