Teil A

A 1.0

Die Vorlage eines Kerzenhalters für kugelförmige Kerzen ist ein Rotationskörper mit der Rotationsachse Formula: MN. Nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt dieses Rotationskörpers. Der Punkt Formula: C ist der Schnittpunkt der Geraden Formula: AB und Formula: ED.

$Formula: \begin{aligned} & \overline{\mathrm{AE}}=9 \mathrm{~cm} ; \overline{\mathrm{GF}}=5 \mathrm{~cm} ; \overline{\mathrm{BD}}=5 \mathrm{~cm} ; \\ & \overline{\mathrm{CN}}=5,5 \mathrm{~cm} ; \mathrm{r}=\overline{\mathrm{MG}}=\overline{\mathrm{MF}} ; \mathrm{AE} \| \mathrm{BD} .\end{aligned}$ Es gilt: $Formula: \overline{AE}=9 \;\mathrm{~cm} ; \overline{GF}=5 \;\mathrm{~cm} ;$ $Formula: \overline{AE}=9 \;\mathrm{~cm} ; \overline{GF}=5 \;\mathrm{~cm} ;$ $Formula: \overline{BD}=5 \;\mathrm{cm} ;\overline{CN}=5{,}5 \;\mathrm{cm} ;$ $Formula: \overline{BD}=5 \;\mathrm{cm} ;\overline{CN}=5{,}5 \;\mathrm{cm} ;$ $Formula: r =\overline{MG}=\overline{MF} ; AE \| BD$ $Formula: r =\overline{MG}=\overline{MF} ; AE \| BD$

Geometrische Zeichnung: schattierter V-förmiger Bereich mit halbkreisförmiger Aussparung, Mittellinie und Beschriftungen

A 1.1

Berechne das Volumen des Rotationskörpers.

Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

$Formula: \left[\right.$ $Formula: \left[\right.$ Zwischenergebnis: $Formula: \overline{CM}=9{,}9 \;\mathrm{cm};$ $Formula: \overline{CM}=9{,}9 \;\mathrm{cm};$ Ergebnis: $Formula: V=141{,}21 \;\mathrm{cm}^3 ]$ $Formula: V=141{,}21 \;\mathrm{cm}^3 ]$

4 P

A 1.2

Der Kerzenhalter soll aus Marmor gefertigt werden. $Formula: 1 \;\mathrm{cm}^3$ $Formula: 1 \;\mathrm{cm}^3$ des verwendeten Marmors hat eine Masse von $Formula: 2{,}7 \;\mathrm{g}.$ $Formula: 2{,}7 \;\mathrm{g}.$

Berechne die Masse des Kerzenhalters. Runde auf ganze $Formula: \text{Gramm}.$ $Formula: \text{Gramm}.$

1 P

A 2.0

Gegeben ist das Viereck Formula: ABCD.

Es gilt: $Formula: \overline{AB}=\overline{BC}=8 \;\mathrm{cm} ; \overline{AD}=3 \;\mathrm{cm} ; \sphericalangle CBA=110^{\circ} ; \sphericalangle ADB=80^{\circ}.$ $Formula: \overline{AB}=\overline{BC}=8 \;\mathrm{cm} ; \overline{AD}=3 \;\mathrm{cm} ; \sphericalangle CBA=110^{\circ} ; \sphericalangle ADB=80^{\circ}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Gezeichnetes unregelmäßiges Viereck mit beschrifteten Eckpunkten A, B, C und D

A 2.1

Zeichne die Strecke Formula: [BD] in die Zeichnung zu A 2.0 ein.

Berechne sodann das Maß des Winkels Formula: DBA und die Länge der Strecke Formula: [BD].

$Formula: \text{[}$ $Formula: \text{[}$ Teilergebnisse: $Formula: \sphericalangle DBA=21{,}67^{\circ} ; \overline{BD}=7{,}96 \;\mathrm{cm}]$ $Formula: \sphericalangle DBA=21{,}67^{\circ} ; \overline{BD}=7{,}96 \;\mathrm{cm}]$

3 P

A 2.2

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks Formula: ABCD.

$Formula: \left[\right.$ $Formula: \left[\right.$ Ergebnis: $Formula: A_{ABCD}=43{,}58 \;\mathrm{cm}^2]$ $Formula: A_{ABCD}=43{,}58 \;\mathrm{cm}^2]$

2 P

A 2.3

Der Punkt Formula: M ist der Mittelpunkt der Strecke Formula: [BC]. Der Kreisbogen $Formula: \overset{\frown}{CB}$ $Formula: \overset{\frown}{CB}$ mit dem Mittelpunkt schneidet die Strecke Formula: [AC] in den Punkten Formula: C und Formula: E.

Zeichne den Kreisbogen $Formula: \overset{\frown}{CB}$ $Formula: \overset{\frown}{CB}$ und Strecke Formula: [EM] in die Zeichnung zu A 2.0 ein.

1 P

A 2.4

Die Strecke Formula: [EM] ist parallel zur Strecke Formula: [AB].

Begründe, weshalb für das Maß des Winkels Formula: EMB gilt: $Formula: \sphericalangle E M B=70^{\circ}.$ $Formula: \sphericalangle E M B=70^{\circ}.$

Berechne sodann die Bogenlänge des Kreisbogens $Formula: \overset{\frown}{E B}$ $Formula: \overset{\frown}{E B}$ mit dem Mittelpunkt Formula: M.

2 P

A 2.5

Berechne den Flächeninhalt der Figur, die durch den Kreisbogen $Formula: \overset{\frown}{E B}$ $Formula: \overset{\frown}{E B}$ und die Strecken Formula: [EM] und Formula: [BM] begrenzt wird.

Bestimme sodann den prozentualen Anteil dieses Flächeninhalts am Flächeninhalt des Vierecks Formula: ABCD.

2 P

A 3.0

Ein Floh kann bezogen auf seine Körpergröße sehr weit und sehr hoch springen.

Ein solcher Sprung kann näherungsweise durch die Parabel $Formula: p: y=-0{,}1 x^2+3{,}5 x\left(\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^{+} \times \mathbb{R}_0^{+}\right)$ $Formula: p: y=-0{,}1 x^2+3{,}5 x\left(\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^{+} \times \mathbb{R}_0^{+}\right)$ beschrieben werden. Dabei entspricht Formula: x $Formula: \;\text{cm}$ $Formula: \;\text{cm}$ der horizontal gemessenen Entfernung vom Absprungpunkt $Formula: P(0 \mid 0)$ $Formula: P(0 \mid 0)$ und Formula: y $Formula: \;\text{cm}$ $Formula: \;\text{cm}$ der zugehörigen Höhe über dem Boden. Der Floh landet im Punkt $Formula: Q\left(x_Q \mid 0\right)$ $Formula: Q\left(x_Q \mid 0\right)$ auf dem Boden.

Skizze: parabolische Flugbahn eines Käfers von Punkt P zu Q mit markierter horizontaler Strecke x_Q cm

A 3.1

Berechne die Koordinaten des Scheitelpunkts Formula: S der Parabel Formula: p.

Zeichne sodann die Parabel Formula: p für $Formula: x \in\left[0 ; x_Q\right]$ $Formula: x \in\left[0 ; x_Q\right]$ in das Koordinatensystem ein.

Koordinatensystem mit x-Achse 0-40, y-Achse bis 35, gestricheltes Raster und Ursprung O.

3 P

A 3.2

Gib die maximale Höhe und die Weite dieses Sprungs an.

Runde auf ganze Zentimeter.

maximale Höhe: __________ $Formula: \;\text{cm}$ $Formula: \;\text{cm}$

Weite: __________ $Formula: \;\text{cm}$ $Formula: \;\text{cm}$

1 P

A 3.3

Der rechts abgebildete Floh kann bis zu $Formula: 0{,}6 \;\text {m}$ $Formula: 0{,}6 \;\text {m}$ weit springen.

Kreuze an, wie weit ein $Formula: 1{,}80 \;\mathrm{m}$ $Formula: 1{,}80 \;\mathrm{m}$ großer Mensch ungefähr springen würde, wenn er im Verhältnis zu seiner Körpergröße genauso weit wie dieser Floh springen könnte.

Skizze eines kleinen grauen Insekts neben Messpfeil und Beschriftung '3 mm'.

 $Formula: 3{,}6 \;\mathrm{m}$ $Formula: 3{,}6 \;\mathrm{m}$

 $Formula: 36\;\mathrm{m}$ $Formula: 36\;\mathrm{m}$

 $Formula: 360\;\mathrm{m}$ $Formula: 360\;\mathrm{m}$

 $Formula: 3600\;\mathrm{m}$ $Formula: 3600\;\mathrm{m}$

1 P

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A 1.1

Radien bestimmen:

$Formula: \overline{ME}=0{,}5 \cdot 9\;\text{cm}=4{,}5\;\text{cm}$ $Formula: \overline{ME}=0{,}5 \cdot 9\;\text{cm}=4{,}5\;\text{cm}$

$Formula: \overline{ND}=0{,}5 \cdot 5\;\text{cm}=2{,}5\;\text{cm}$ $Formula: \overline{ND}=0{,}5 \cdot 5\;\text{cm}=2{,}5\;\text{cm}$

$Formula: \overline{MF}=0{,}5 \cdot 5\;\text{cm}=2{,}5\;\text{cm}$ $Formula: \overline{MF}=0{,}5 \cdot 5\;\text{cm}=2{,}5\;\text{cm}$

Höhe $Formula: \overline{CM}$ $Formula: \overline{CM}$ mithilfe des 1. Strahlensatzes berechnen:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{\overline{CM}}{\overline{CN}} &=& \dfrac{\overline{ME}}{\overline{ND}} \\[5pt] \dfrac{\overline{C M}}{5{,}5\;\text{cm}}&=& \dfrac{4{,}5\;\text{cm}}{2{,}5\;\text{cm}}&\mid\; \cdot\, 5{,}5 \;\text{cm}\\[5pt] \overline{C M}&=&9{,}9\;\text{cm}\\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{\overline{CM}}{\overline{CN}} &=& \dfrac{\overline{ME}}{\overline{ND}} \\[5pt] \dfrac{\overline{C M}}{5{,}5\;\text{cm}}&=& \dfrac{4{,}5\;\text{cm}}{2{,}5\;\text{cm}}&\mid\; \cdot\, 5{,}5 \;\text{cm}\\[5pt] \overline{C M}&=&9{,}9\;\text{cm}\\[5pt] \end{array}$

Volumina bestimmen:

$Formula: \overline{C M}=9,9 \mathrm{~cm}$ Großer Kegel: $Formula: V_{\text {groß}} = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \overline{M E}^2 \cdot \overline{C M} = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(4{,}5 \, \text{cm} \right)^2 \cdot 9{,}9 \, \text{cm} \approx 209{,}94 \, \text{cm}^3$ $Formula: V_{\text {groß}} = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \overline{M E}^2 \cdot \overline{C M} = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(4{,}5 \, \text{cm} \right)^2 \cdot 9{,}9 \, \text{cm} \approx 209{,}94 \, \text{cm}^3$

Kleiner Kegel: $Formula: V_{\text {klein}} = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \overline{N D}^2 \cdot \overline{C N} = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left( 2{,}5 \, \text{cm} \right)^2 \cdot 5{,}5 \, \text{cm} \approx 36 \, \text{cm}^3$ $Formula: V_{\text {klein}} = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \overline{N D}^2 \cdot \overline{C N} = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left( 2{,}5 \, \text{cm} \right)^2 \cdot 5{,}5 \, \text{cm} \approx 36 \, \text{cm}^3$

Halbkugel: $Formula: V_{\text{Halbkugel}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot \overline{M F}^3 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot \left( 2{,}5 \, \text{cm} \right)^3 \approx 32{,}73 \, \text{cm}^3$ $Formula: V_{\text{Halbkugel}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot \overline{M F}^3 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot \left( 2{,}5 \, \text{cm} \right)^3 \approx 32{,}73 \, \text{cm}^3$

Gesamtvolumen des Kerzenhalters berechnen: $Formula: V=V_{groß}-V_{klein}-V_{Halbkugel}$

$Formula: \begin{array}{rcll} V&=& V_{groß}-V_{klein}-V_{Halbkugel} \\ &=& 209{,}94 \, \text{cm}^3 -36 \, \text{cm}^3 -32{,}73 \, \text{cm}^3 \\ &=& 141{,}21 \, \text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} V&=& V_{groß}-V_{klein}-V_{Halbkugel} \\ &=& 209{,}94 \, \text{cm}^3 -36 \, \text{cm}^3 -32{,}73 \, \text{cm}^3 \\ &=& 141{,}21 \, \text{cm}^3 \end{array}$

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt $Formula: 141{,}21\;\text{cm}^3.$ $Formula: 141{,}21\;\text{cm}^3.$

A 1.2

$Formula: m=141{,}21 \, \text{cm}^3 \cdot2{,}7\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 381{,}27\;\text{g} \approx 381 \; \text{g}$ $Formula: m=141{,}21 \, \text{cm}^3 \cdot2{,}7\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 381{,}27\;\text{g} \approx 381 \; \text{g}$

Die Masse des Kerzenhalters beträgt ca. $Formula: 381\;\text{g}.$ $Formula: 381\;\text{g}.$

A 2.1

Skizze eines Vierecks ABCD mit Diagonale DB

Berechnung des Winkels $Formula: \measuredangle DBA$ $Formula: \measuredangle DBA$ mithilfe des Sinussatzes:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{\sin (\measuredangle D B A)}{\overline{A D}}&=& \dfrac{\sin (\measuredangle A D B)}{\overline{A B}} \\[5pt] \dfrac{\sin (\measuredangle D B A)}{3\;\text{cm}}&=& \dfrac{\sin (80^\circ)}{8\;\text{cm}}&\mid\; \cdot \, 3\;\text{cm} \\[5pt] \sin (\measuredangle D B A)&=& \dfrac{\sin (80^\circ)}{8\;\text{cm}}\cdot 3\;\text{cm} &\mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \measuredangle D B A&=& \sin^{-1}\left(\dfrac{\sin (80^\circ)}{8\;\text{cm}}\cdot 3\;\text{cm} \right)\\[5pt] \measuredangle D B A&\approx& 21{,}67^\circ \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{\sin (\measuredangle D B A)}{\overline{A D}}&=& \dfrac{\sin (\measuredangle A D B)}{\overline{A B}} \\[5pt] \dfrac{\sin (\measuredangle D B A)}{3\;\text{cm}}&=& \dfrac{\sin (80^\circ)}{8\;\text{cm}}&\mid\; \cdot \, 3\;\text{cm} \\[5pt] \sin (\measuredangle D B A)&=& \dfrac{\sin (80^\circ)}{8\;\text{cm}}\cdot 3\;\text{cm} &\mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \measuredangle D B A&=& \sin^{-1}\left(\dfrac{\sin (80^\circ)}{8\;\text{cm}}\cdot 3\;\text{cm} \right)\\[5pt] \measuredangle D B A&\approx& 21{,}67^\circ \\[5pt] \end{array}$

Berechnung des Winkels $Formula: \measuredangle BAD$ $Formula: \measuredangle BAD$ mithilfe der Innenwinkelsumme von Dreiecken:

$Formula: \measuredangle B A D=180^{\circ}-80^{\circ}-21{,}67^{\circ}=78{,}33^{\circ}$ $Formula: \measuredangle B A D=180^{\circ}-80^{\circ}-21{,}67^{\circ}=78{,}33^{\circ}$

Berechnung der Strecke $Formula: \overline{BD}$ $Formula: \overline{BD}$ mithilfe des Sinussatzes:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{\overline{BD}}{\sin (78{,}33^\circ)}&=& \dfrac{8\;\text{cm}}{\sin(80^\circ)}&\mid\; \cdot \sin(78{,}33^\circ) \\[5pt] \overline{BD}&\approx&7{,}96\;\text{cm}\\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{\overline{BD}}{\sin (78{,}33^\circ)}&=& \dfrac{8\;\text{cm}}{\sin(80^\circ)}&\mid\; \cdot \sin(78{,}33^\circ) \\[5pt] \overline{BD}&\approx&7{,}96\;\text{cm}\\[5pt] \end{array}$

A 2.2

Viereck Formula: ABCD in zwei Dreiecke Formula: ABD und Formula: BCD aufteilen

Winkel $Formula: \measuredangle C B D$ $Formula: \measuredangle C B D$ berechnen:

$Formula: \measuredangle C B D= \measuredangle CBA - \measuredangle DBA = 110^{\circ}-21{,}67^{\circ}=88{,}33^{\circ}$ $Formula: \measuredangle C B D= \measuredangle CBA - \measuredangle DBA = 110^{\circ}-21{,}67^{\circ}=88{,}33^{\circ}$

Für die Höhe $Formula: h_{AB}$ $Formula: h_{AB}$ des Dreiecks Formula: ABD auf der Grundseite gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} \sin(\measuredangle DBA) &=& \dfrac{h_{AB}}{\overline{BD}} \\[5pt] \sin\left(21{,}67^{\circ}\right) &=& \dfrac{h_{AB}}{7{,}96\; \text{cm}} \; &\mid \, \cdot \, 7{,}96 \; \text{cm} \\[5pt] h_{AB} &\approx& 2{,}9393 \; \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \sin(\measuredangle DBA) &=& \dfrac{h_{AB}}{\overline{BD}} \\[5pt] \sin\left(21{,}67^{\circ}\right) &=& \dfrac{h_{AB}}{7{,}96\; \text{cm}} \; &\mid \, \cdot \, 7{,}96 \; \text{cm} \\[5pt] h_{AB} &\approx& 2{,}9393 \; \text{cm} \end{array}$

Analog folgt für die Höhe $Formula: h_{BD}$ $Formula: h_{BD}$ des Dreiecks Formula: BCD auf der Grundseite Formula: BD :

$Formula: \begin{array}{rcll} \sin(\measuredangle CBD) &=& \dfrac{h_{BD}}{\overline{BC}} \\[5pt] \sin\left(88{,}33^{\circ}\right) &=& \dfrac{h_{BD}}{8 \; \text{cm}} \; &\mid \, \cdot \, 8 \; \text{cm} \\[5pt] h_{BD} &\approx& 7{,}9966 \; \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \sin(\measuredangle CBD) &=& \dfrac{h_{BD}}{\overline{BC}} \\[5pt] \sin\left(88{,}33^{\circ}\right) &=& \dfrac{h_{BD}}{8 \; \text{cm}} \; &\mid \, \cdot \, 8 \; \text{cm} \\[5pt] h_{BD} &\approx& 7{,}9966 \; \text{cm} \end{array}$

Damit folgt für den Flächeninhalt des Vierecks Formula: ABCD :

$Formula: \begin{array}{rcll} A_{ABCD} &=& A_{ABD}+A_{BCD} \\ &=& \left(\dfrac{1}{2} \cdot \overline{A B} \cdot h_{AB} \right)+ \left( \dfrac{1}{2} \cdot \overline{B D} \cdot h_{BD} \right) \\ &=& \left( \dfrac{1}{2} \cdot 8 \; \text{cm} \cdot 2{,}9393 \; \text{cm} \right) + \left( \dfrac{1}{2} \cdot 7{,}96 \; \text{cm} \cdot 8 \; \text{cm} \right) \\ &=& 11{,}7572 \; \text{cm}^2 +31{,}8265 \; \text{cm}^2 \approx 43,58 \; \text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} A_{ABCD} &=& A_{ABD}+A_{BCD} \\ &=& \left(\dfrac{1}{2} \cdot \overline{A B} \cdot h_{AB} \right)+ \left( \dfrac{1}{2} \cdot \overline{B D} \cdot h_{BD} \right) \\ &=& \left( \dfrac{1}{2} \cdot 8 \; \text{cm} \cdot 2{,}9393 \; \text{cm} \right) + \left( \dfrac{1}{2} \cdot 7{,}96 \; \text{cm} \cdot 8 \; \text{cm} \right) \\ &=& 11{,}7572 \; \text{cm}^2 +31{,}8265 \; \text{cm}^2 \approx 43,58 \; \text{cm}^2 \end{array}$

A 2.3

Geometrische Skizze: Viereck mit Diagonalen, Kreisbogen und markierten Punkten A, B, C, D, E, M, gestrichelte Linie AC.

A 2.4

Der Winkel Formula: CME ist ein Stufenwinkel zum Winkel Formula: CBA an den Parallelen Formula: AB und Formula: EM. Somit gilt:

$Formula: \measuredangle CME=\measuredangle CBA =110^{\circ} \Rightarrow \measuredangle \mathrm{EMB}=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}.$ $Formula: \measuredangle CME=\measuredangle CBA =110^{\circ} \Rightarrow \measuredangle \mathrm{EMB}=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}.$

Bogenlänge des Kreisbogens berechnen:

Der Radius des Bogens ist so lang wie die Hälfte der Strecke $Formula: \overline{B C}$ $Formula: \overline{B C}$ , also $Formula: r= 0{,}5 \cdot 8 \; \text{m} = 4 \; \text{cm}.$ $Formula: r= 0{,}5 \cdot 8 \; \text{m} = 4 \; \text{cm}.$

Für die Bogenlänge des Kreisbogens gilt damit:

$Formula: \begin{array}{rcll} b &=&\dfrac{\measuredangle EMB}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& \dfrac{70^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 4 \; \text{cm} \\[5pt] &=& 4,89 \; \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} b &=&\dfrac{\measuredangle EMB}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& \dfrac{70^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 4 \; \text{cm} \\[5pt] &=& 4,89 \; \text{cm} \end{array}$

A 2.5

Flächeninhalt des Sektors $Formula: A_{Figur}$ $Formula: A_{Figur}$

Formel:

$Formula: A=\dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot r^2 \cdot \pi$ $Formula: A=\dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot r^2 \cdot \pi$

einsetzen:

$Formula: A_{\text {Figur }}=\dfrac{70^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 4^2 \cdot \pi \approx 9,77 \mathrm{~cm}^2$ $Formula: A_{\text {Figur }}=\dfrac{70^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 4^2 \cdot \pi \approx 9,77 \mathrm{~cm}^2$

Prozentualer Anteil:

$Formula: \dfrac{9,77}{43,58} \cdot 100 \,\text{%} \approx 22,42\,\text{%}$ $Formula: \dfrac{9,77}{43,58} \cdot 100 \,\text{%} \approx 22,42\,\text{%}$

A 3.1

Die Parabelgleichung lautet Formula: y=-0,1x^2+3,5x.

Hieraus folgen die Parameter Formula: a=-0,1 ; b=3,5 und Formula: c=0.

Scheitelpunkt:

Koordinate

$Formula: x_s=-\dfrac{b}{2 a}=-\dfrac{3,5}{2 \cdot(-0,1)}=\dfrac{-3,5}{-0,2}=17 , 5$ $Formula: x_s=-\dfrac{b}{2 a}=-\dfrac{3,5}{2 \cdot(-0,1)}=\dfrac{-3,5}{-0,2}=17 , 5$
Koordinate

$Formula: y_s=c-\dfrac{b^2}{4 a}=0-\dfrac{(3,5)^2}{4 \cdot(-0,1)}=\dfrac{-12,25}{-0,4}=30,625$ $Formula: y_s=c-\dfrac{b^2}{4 a}=0-\dfrac{(3,5)^2}{4 \cdot(-0,1)}=\dfrac{-12,25}{-0,4}=30,625$

Der Scheitelpunkt Formula: S liegt bei $Formula: S(17,5 \mid 30,625).$ $Formula: S(17,5 \mid 30,625).$

Um die Parabel zeichnen zu können müssen zuerst die Nullstellen berechnet werden:

Formula: 0=-0,1x^2+3,5x

Formula: x ausklammern:

$Formula: 0=x\cdot (-0,1x+3,5)$ $Formula: 0=x\cdot (-0,1x+3,5)$

Satz vom Nullprodukt:

Erster Fall: Der Teil vor der Klammer ist Null.
Zweiter Fall: Der Inhalt der Klammer wird Null.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -0,1x+3,5&=&0 &\mid\; -3,5 \\[5pt] -0,1x&=&-3,5&\mid\; \div (-0,1)\\[5pt] x_2&=&35 \\[5pt]\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -0,1x+3,5&=&0 &\mid\; -3,5 \\[5pt] -0,1x&=&-3,5&\mid\; \div (-0,1)\\[5pt] x_2&=&35 \\[5pt]\end{array}$

Koordinatensystem mit nach unten geöffneter Parabel p, Scheitel in der Mitte, Schnittpunkte bei x≈0 und x≈35.

A 3.2

Die Maximale Höhe entspricht der Formula: y- Koordinate des Scheitelpunkts $Formula: S(17,5 \mid 30,625)$ $Formula: S(17,5 \mid 30,625)$

Wert: $Formula: 30,625\;\text{cm}$ $Formula: 30,625\;\text{cm}$

Gerundet: $Formula: 31\;\text{cm}$ $Formula: 31\;\text{cm}$

Die Weite des Sprungs entspricht der Differenz zwischen dem Startpunkt $Formula: P(0 \mid 0)$ $Formula: P(0 \mid 0)$ und dem Landepunkt $Formula: Q(35 \mid 0).$ $Formula: Q(35 \mid 0).$

Rechnung: $Formula: 35\;\text{cm}-0\;\text{cm}=35\;\text{cm}$ $Formula: 35\;\text{cm}-0\;\text{cm}=35\;\text{cm}$

Zusammenfassend springt der Floh etwa $Formula: 31\;\text{cm}$ $Formula: 31\;\text{cm}$ hoch und legt dabei eine Distanz von exakt $Formula: 35\;\text{cm}$ $Formula: 35\;\text{cm}$ zurück.

A 3.3

Einheiten angleichen:

Größe des Flohs: $Formula: 3\;\text{mm}$ $Formula: 3\;\text{mm}$

Sprungweite des Flohs: $Formula: 0,6\;\text{m}=600\;\text{mm}$ $Formula: 0,6\;\text{m}=600\;\text{mm}$

Verhältnis berechnen:

$Formula: \text{Verhältnis}=\dfrac{\text{Sprungweite}}{\text{Körpergröße}}=\dfrac{600\;\text{mm}}{3\;\text{mm}}=200$ $Formula: \text{Verhältnis}=\dfrac{\text{Sprungweite}}{\text{Körpergröße}}=\dfrac{600\;\text{mm}}{3\;\text{mm}}=200$