Aufgabe B4

B 4.0

Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide Formula: ABCDS mit der Höhe $Formula: \overline{AS},$ $Formula: \overline{AS},$ deren Grundfläche die Raute ist.

Es gilt: $Formula: \left|\overline{AC}\right|=11 \;\text{cm} ;\, \left|\overline{BD}\right|=6 \;\mathrm{cm} ;\, \left|\overline{AS}\right|=9 \;\mathrm{cm}.$ $Formula: \left|\overline{AC}\right|=11 \;\text{cm} ;\, \left|\overline{BD}\right|=6 \;\mathrm{cm} ;\, \left|\overline{AS}\right|=9 \;\mathrm{cm}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Dreidimensionale Geometrie-Skizze mit Punkten A, B, C, D und S, mehreren Verbindungs- und Diagonallinien.

B 4.1

Zeichne das Schrägbild der Pyramide Formula: ABCDS, wobei die Strecke $Formula: \overline{AC}$ $Formula: \overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt Formula: C liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $Formula: q=\frac{1}{2} ;\, \omega=45^{\circ}.$ $Formula: q=\frac{1}{2} ;\, \omega=45^{\circ}.$

Berechne sodann die Länge der Strecke $Formula: \overline{CS}$ $Formula: \overline{CS}$ und das Maß des Winkels Formula: SCA.

$Formula: \Bigl[$ $Formula: \Bigl[$ Teilergebnisse: $Formula: \left. \left|\overline{CS} \right|=14{,}21 \;\mathrm{cm} ; \sphericalangle SCA=39{,}29^{\circ}\right]$ $Formula: \left. \left|\overline{CS} \right|=14{,}21 \;\mathrm{cm} ; \sphericalangle SCA=39{,}29^{\circ}\right]$

4 P

B 4.2

Für Punkte $Formula: P_n \in \overline{CS}$ $Formula: P_n \in \overline{CS}$ gilt: $Formula: \left|\overline{SP}_n\right|(x)=x \;\mathrm{cm} \;(x \in \mathbb{R} ;\, 0 \leq x<14{,}21).$ $Formula: \left|\overline{SP}_n\right|(x)=x \;\mathrm{cm} \;(x \in \mathbb{R} ;\, 0 \leq x<14{,}21).$

Die Punkte Formula: P_n sind die Spitzen von Pyramiden Formula: ABDP_n mit den Höhen $Formula: \overline{P_nF_n}.$ $Formula: \overline{P_nF_n}.$

Zeichne für Formula: x = 3 die Pyramide Formula: ABDP_1 und die Höhe $Formula: \overline{P_1F_1}$ $Formula: \overline{P_1F_1}$ in das Schrägbild zu B 4.1 ein.

Berechne sodann das Maß des Winkels Formula: SP_1A.

$Formula: \Bigl[$ $Formula: \Bigl[$ Zwischenergebnis: $Formula: \left|\overline{AP}_1\right|=7{,}47 \;\mathrm{cm} \Bigr]$ $Formula: \left|\overline{AP}_1\right|=7{,}47 \;\mathrm{cm} \Bigr]$

4 P

B 4.3

Zeige, dass für das Volumen der Pyramiden Formula: ABDP_n in Abhängigkeit von Formula: x gilt:

$Formula: V(x)=(-3{,}47 x+49{,}5) \;\mathrm{cm}^3.$ $Formula: V(x)=(-3{,}47 x+49{,}5) \;\mathrm{cm}^3.$

3 P

B 4.4

Ermittle rechnerisch, für welchen Wert von Formula: x das Volumen der zugehörigen Pyramide Formula: ABDP_2 um $Formula: 80 \,\text{%}$ $Formula: 80 \,\text{%}$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide Formula: ABCDS.

3 P

B 4.5

Unter den Pyramiden Formula: ABDP_n hat die Pyramide Formula: ABDP_0 das größte Volumen.

Begründe, weshalb das Volumen der Pyramide Formula: ABDP_0 halb so groß ist wie das Volumen der Pyramide Formula: ABCDS.

2 P

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B 4.1

Geometrische Skizze: Basis A-B-C, Spitze S links oben, innerer Punkt D, mehrere verbindende Linien.

In dem rechtwinkligen Dreieck Formula: ASC gilt mit dem Satz des Pythagoras:

$Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overline{CS} \right|^2 &=& \left| \overline{AC} \right|^2 + \left| \overline{AS} \right|^2 \\[5pt] \left| \overline{CS} \right|^2 &=& \left( 11 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 9 \; \text{cm} \right)^2 &\quad \mid \sqrt{\ } \\[5pt] \left| \overline{CS} \right| &=& \sqrt{ 121 \; \text{cm}^2 + 81 \; \text{cm}^2 } \\[5pt] \left| \overline{CS} \right| &=& \sqrt{ 202 \; \text{cm}^2 } \approx 14{,}21 \; \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overline{CS} \right|^2 &=& \left| \overline{AC} \right|^2 + \left| \overline{AS} \right|^2 \\[5pt] \left| \overline{CS} \right|^2 &=& \left( 11 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 9 \; \text{cm} \right)^2 &\quad \mid \sqrt{\ } \\[5pt] \left| \overline{CS} \right| &=& \sqrt{ 121 \; \text{cm}^2 + 81 \; \text{cm}^2 } \\[5pt] \left| \overline{CS} \right| &=& \sqrt{ 202 \; \text{cm}^2 } \approx 14{,}21 \; \text{cm} \end{array}$

Damit gilt im rechtwinkligen Dreieck Formula: ASC:

$Formula: \begin{array}{rcll} \tan \left( \sphericalangle SCA \right) &=& \dfrac{ \left| \overline{AS} \right| }{ \left| \overline{AC} \right| } \\[5pt] \tan \left( \sphericalangle SCA \right) &=& \dfrac{ 9 \; \text{cm}} { 11 \; \text{cm} } &\quad \mid \tan^{-1} \\[5pt] \sphericalangle SCA &=& \tan^{-1} \left( \dfrac{ 9 }{11 } \right) \\[5pt] \sphericalangle SCA &\approx& 39{,}29^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \tan \left( \sphericalangle SCA \right) &=& \dfrac{ \left| \overline{AS} \right| }{ \left| \overline{AC} \right| } \\[5pt] \tan \left( \sphericalangle SCA \right) &=& \dfrac{ 9 \; \text{cm}} { 11 \; \text{cm} } &\quad \mid \tan^{-1} \\[5pt] \sphericalangle SCA &=& \tan^{-1} \left( \dfrac{ 9 }{11 } \right) \\[5pt] \sphericalangle SCA &\approx& 39{,}29^{\circ} \end{array}$

B 4.2

Geometrische Skizze: Dreieck ABC mit Spitze S, inneren Punkten P1, D, F1 und mehreren Verbindungsstrecken.

Im rechtwinkligen Dreieck Formula: ASC gilt mit der Winkelsumme:

$Formula: \sphericalangle ASC = 180^{\circ} - \sphericalangle CAS - \sphericalangle SCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 39{,}29^{\circ} = 50{,}71^{\circ}$ $Formula: \sphericalangle ASC = 180^{\circ} - \sphericalangle CAS - \sphericalangle SCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 39{,}29^{\circ} = 50{,}71^{\circ}$

Da Formula: P_1 auf der Strecke $Formula: \overline{CS}$ $Formula: \overline{CS}$ liegt, gilt $Formula: \sphericalangle ASP_1 = \sphericalangle ASC = 50{,}71^{\circ}.$ $Formula: \sphericalangle ASP_1 = \sphericalangle ASC = 50{,}71^{\circ}.$

Mit dem Kosinussatz folgt für das Dreieck Formula: ASP_1:

$Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overline{AP_1} \right|^2 &=& \left| \overline{AS} \right|^2 + \left| \overline{SP_1} \right|^2 - 2 \cdot \left| \overline{AS} \right| \cdot \left| \overline{SP_1} \right| \cdot \cos \left( \sphericalangle ASP_1 \right) \\[5pt] \left| \overline{AP_1} \right|^2 &=& \left( 9 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 3 \; \text{cm} \right)^2 - 2 \cdot 9 \; \text{cm} \cdot 3 \; \text{cm} \cdot \cos \left( 50{,}71^{\circ} \right) &\quad \mid \sqrt{\phantom{x}} \\[5pt] \left| \overline{AP_1} \right| &=& \sqrt{ \left( 9 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 3 \; \text{cm} \right)^2 - 2 \cdot 9 \; \text{cm} \cdot 3 \; \text{cm} \cdot \cos \left( 50{,}71^{\circ} \right) } \\[5pt] \left| \overline{AP_1} \right| &\approx& 7{,}47 \; \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overline{AP_1} \right|^2 &=& \left| \overline{AS} \right|^2 + \left| \overline{SP_1} \right|^2 - 2 \cdot \left| \overline{AS} \right| \cdot \left| \overline{SP_1} \right| \cdot \cos \left( \sphericalangle ASP_1 \right) \\[5pt] \left| \overline{AP_1} \right|^2 &=& \left( 9 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 3 \; \text{cm} \right)^2 - 2 \cdot 9 \; \text{cm} \cdot 3 \; \text{cm} \cdot \cos \left( 50{,}71^{\circ} \right) &\quad \mid \sqrt{\phantom{x}} \\[5pt] \left| \overline{AP_1} \right| &=& \sqrt{ \left( 9 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 3 \; \text{cm} \right)^2 - 2 \cdot 9 \; \text{cm} \cdot 3 \; \text{cm} \cdot \cos \left( 50{,}71^{\circ} \right) } \\[5pt] \left| \overline{AP_1} \right| &\approx& 7{,}47 \; \text{cm} \end{array}$

Mit dem Sinussatz folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} \dfrac{\sin\left(\sphericalangle SP_1A\right)}{\left|\overline{AS}\right|} &=& \dfrac{\sin\left(\sphericalangle ASP_1\right)}{\left|\overline{AP_1}\right|} \\[5pt] \dfrac{\sin\left(\sphericalangle SP_1A\right)}{9 \; \text{cm}} &=& \dfrac{\sin\left(50{,}71^\circ\right)}{7{,}47 \; \text{cm}} &\quad \mid \, \cdot \, 9 \; \text{cm} \\[5pt] \sin\left(\sphericalangle SP_1A\right) &=& \dfrac{\sin\left(50{,}71^\circ\right)}{7{,}47} \cdot 9 \\[5pt] \sin\left(\sphericalangle SP_1A\right) &\approx& 0{,}93 &\quad \mid \ \, \sin^{-1} \\[5pt] \sphericalangle SP_1A &\approx& 68{,}82^\circ \;\vee\; 111{,}18^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \dfrac{\sin\left(\sphericalangle SP_1A\right)}{\left|\overline{AS}\right|} &=& \dfrac{\sin\left(\sphericalangle ASP_1\right)}{\left|\overline{AP_1}\right|} \\[5pt] \dfrac{\sin\left(\sphericalangle SP_1A\right)}{9 \; \text{cm}} &=& \dfrac{\sin\left(50{,}71^\circ\right)}{7{,}47 \; \text{cm}} &\quad \mid \, \cdot \, 9 \; \text{cm} \\[5pt] \sin\left(\sphericalangle SP_1A\right) &=& \dfrac{\sin\left(50{,}71^\circ\right)}{7{,}47} \cdot 9 \\[5pt] \sin\left(\sphericalangle SP_1A\right) &\approx& 0{,}93 &\quad \mid \ \, \sin^{-1} \\[5pt] \sphericalangle SP_1A &\approx& 68{,}82^\circ \;\vee\; 111{,}18^\circ \end{array}$

Da $Formula: \left|\overline{AS}\right|=9\;\text{cm}$ $Formula: \left|\overline{AS}\right|=9\;\text{cm}$ die längste Seite ist, ist der gegenüberliegende Winkel $Formula: \sphericalangle SP_1A$ $Formula: \sphericalangle SP_1A$ der größte Winkel, also $Formula: \sphericalangle SP_1A \approx 111{,}18^{\circ}.$ $Formula: \sphericalangle SP_1A \approx 111{,}18^{\circ}.$

B 4.3

Für das Volumen Formula: V einer Pyramide gilt: $Formula: V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ $Formula: V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

Hierbei ist die Grundfläche die Dreiecksfläche Formula: ABD und die Höhe ist $Formula: \left| \overline{P_nF_n} \right|(x).$ $Formula: \left| \overline{P_nF_n} \right|(x).$ Also:

$Formula: V(x) = \dfrac{1}{3} \cdot A_{ABD} \cdot \left| \overline{P_nF_n} \right| (x)$ $Formula: V(x) = \dfrac{1}{3} \cdot A_{ABD} \cdot \left| \overline{P_nF_n} \right| (x)$

Berechnung der variablen Höhe $Formula: \overline{P_nF_n}(x)$ $Formula: \overline{P_nF_n}(x)$ :

Die Dreiecke Formula: SCA und Formula: CP_nF_n sind ähnlich, da $Formula: \overline{P_nF_n} \parallel \overline{AS}.$ $Formula: \overline{P_nF_n} \parallel \overline{AS}.$

Daher gilt nach dem Strahlensatz:

$Formula: \begin{array}{rcll} \dfrac{\left| \overline{P_nF_n} \right| (x)}{\left| \overline{AS} \right|} &=& \dfrac{\left| \overline{CP_n} \right|}{\left| \overline{CS} \right|} \\[5pt] \dfrac{\left| \overline{P_nF_n} \right| (x)}{9 \; \text{cm}} &=& \dfrac{14{,}21 \; \text{cm} - x \; \text{cm}}{14{,}21 \; \text{cm}} &\quad \mid \, \cdot \, 9 \; \text{cm} \\[5pt] \left| \overline{P_nF_n} \right| (x) &=& \dfrac{14{,}21 \; \text{cm} - x \; \text{cm}}{14{,}21 \; \text{cm}} \cdot 9 \; \text{cm} \\[5pt] \left| \overline{P_nF_n} \right| (x) &\approx& \left( 9 - 0{,}63x \right) \; \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \dfrac{\left| \overline{P_nF_n} \right| (x)}{\left| \overline{AS} \right|} &=& \dfrac{\left| \overline{CP_n} \right|}{\left| \overline{CS} \right|} \\[5pt] \dfrac{\left| \overline{P_nF_n} \right| (x)}{9 \; \text{cm}} &=& \dfrac{14{,}21 \; \text{cm} - x \; \text{cm}}{14{,}21 \; \text{cm}} &\quad \mid \, \cdot \, 9 \; \text{cm} \\[5pt] \left| \overline{P_nF_n} \right| (x) &=& \dfrac{14{,}21 \; \text{cm} - x \; \text{cm}}{14{,}21 \; \text{cm}} \cdot 9 \; \text{cm} \\[5pt] \left| \overline{P_nF_n} \right| (x) &\approx& \left( 9 - 0{,}63x \right) \; \text{cm} \end{array}$

Grundfläche $Formula: A_{ABD}$ $Formula: A_{ABD}$ berechnen (Hälfte der Raute Formula: ABCD ):

$Formula: \begin{array}{rcll} A_{ABD} &=& \dfrac{1}{2} \cdot A_{ABCD} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{2} \cdot \left| \overline{AC} \right| \cdot \left| \overline{BD} \right| \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \cdot 11 \; \text{cm} \cdot 6 \; \text{cm} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 33 \; \text{cm}^2 \\[5pt] &=& 16{,}5 \; \text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} A_{ABD} &=& \dfrac{1}{2} \cdot A_{ABCD} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{2} \cdot \left| \overline{AC} \right| \cdot \left| \overline{BD} \right| \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \cdot 11 \; \text{cm} \cdot 6 \; \text{cm} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 33 \; \text{cm}^2 \\[5pt] &=& 16{,}5 \; \text{cm}^2 \end{array}$

$Formula: \left| \overline{P_nF_n} \right| (x)$ $Formula: \left| \overline{P_nF_n} \right| (x)$ und $Formula: A_{ABD}$ $Formula: A_{ABD}$ in Formula: V(x) einsetzen:

$Formula: \begin{array}[t]{rcll} V(x) &=& \dfrac{1}{3} \cdot 16{,}5 \; \text{cm}^2 \cdot (9-0{,}63x) \; \text{cm} \\[5pt] &=& 5{,}5 \; \text{cm}^2 \cdot (9-0{,}63x) \; \text{cm} \\[5pt] &=& (-3{,}47x+49{,}5)\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rcll} V(x) &=& \dfrac{1}{3} \cdot 16{,}5 \; \text{cm}^2 \cdot (9-0{,}63x) \; \text{cm} \\[5pt] &=& 5{,}5 \; \text{cm}^2 \cdot (9-0{,}63x) \; \text{cm} \\[5pt] &=& (-3{,}47x+49{,}5)\;\text{cm}^3 \end{array}$

B 4.4

Gleichsetzen von Formula: V(x) mit $Formula: 20\,\%$ $Formula: 20\,\%$ des Gesamtvolumens der Pyramide Formula: ABCDS zur Ermittlung von Formula: x:

Gesamtvolumen der Pyramide Formula: ABCDS:

$Formula: \begin{array}{rcll} V_{ABCDS} &=& \dfrac{1}{3} \cdot A_{ABCD} \cdot \left| \overline{AS} \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \cdot 33 \; \text{cm}^2 \cdot 9 \; \text{cm} \\[5pt] &=& 99 \; \text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} V_{ABCDS} &=& \dfrac{1}{3} \cdot A_{ABCD} \cdot \left| \overline{AS} \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \cdot 33 \; \text{cm}^2 \cdot 9 \; \text{cm} \\[5pt] &=& 99 \; \text{cm}^3 \end{array}$

Davon $Formula: 20 \, \%$ $Formula: 20 \, \%$ sind: $Formula: 0{,}2 \cdot 99 \; \text{cm}^3 = 19{,}8 \; \text{cm}^3.$ $Formula: 0{,}2 \cdot 99 \; \text{cm}^3 = 19{,}8 \; \text{cm}^3.$

Gleichsetzen:

$Formula: \begin{array}{rcll} -3{,}47x+49{,}5 &=& 19{,}8 &\quad \mid -49{,}5 \\[5pt] -3{,}47x &=& -29{,}7 &\quad \mid :(-3{,}47) \\[5pt] x &\approx& 8{,}56 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} -3{,}47x+49{,}5 &=& 19{,}8 &\quad \mid -49{,}5 \\[5pt] -3{,}47x &=& -29{,}7 &\quad \mid :(-3{,}47) \\[5pt] x &\approx& 8{,}56 \end{array}$

B 4.5

Für Formula: x = 0 liegt der Punkt Formula: P_0 im Punkt Formula: S . Daher ist die Pyramide Formula: ABDP_0 genau die Pyramide mit der Spitze und der Grundfläche .

Die Pyramiden Formula: ABCDS und Formula: ABDP_0 haben also dieselbe Spitze Formula: S und damit auch dieselbe Höhe $Formula: h = \left| \overline{AS} \right|.$ $Formula: h = \left| \overline{AS} \right|.$

Wegen $Formula: V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$ $Formula: V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$ verhalten sich die Volumina von Pyramiden mit gleicher Höhe genauso wie die Grundflächen.

Die Grundfläche der großen Pyramide ist die Raute Formula: ABCD , die Grundfläche der kleinen Pyramide Formula: ABD. Da eine Diagonale einer Raute die Raute in zwei gleich große Dreiecke zerlegt, gilt:

$Formula: A_{ABD} = \dfrac{1}{2} \cdot A_{ABCD}$ $Formula: A_{ABD} = \dfrac{1}{2} \cdot A_{ABCD}$

Folglich gilt auch für die Volumina:

$Formula: V_{ABDP_0} = \dfrac{1}{2} \cdot V_{ABCDS}$ $Formula: V_{ABDP_0} = \dfrac{1}{2} \cdot V_{ABCDS}$

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