Aufgabe B4

B 4.0

Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide Formula: ABCDS mit der Höhe $Formula: \overline{AS},$ $Formula: \overline{AS},$ deren Grundfläche die Raute ist.

Es gilt: $Formula: |\overline{AC}|=11 \;\text{cm} ;|\overline{BD}|=6 \;\mathrm{cm} ;|\overline{AS}|=9 \;\mathrm{cm}.$ $Formula: |\overline{AC}|=11 \;\text{cm} ;|\overline{BD}|=6 \;\mathrm{cm} ;|\overline{AS}|=9 \;\mathrm{cm}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Dreidimensionale Geometrie-Skizze mit Punkten A, B, C, D und S, mehreren Verbindungs- und Diagonallinien.

B 4.1

Zeichne das Schrägbild der Pyramide Formula: ABCDS, wobei die Strecke $Formula: \overline{AC}$ $Formula: \overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt Formula: C liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $Formula: q=\frac{1}{2} ; \omega=45^{\circ}.$ $Formula: q=\frac{1}{2} ; \omega=45^{\circ}.$

Berechne sodann die Länge der Strecke $Formula: \overline{CS}$ $Formula: \overline{CS}$ und das Maß des Winkels Formula: SCA.

[Teilergebnisse: $Formula: \left.|\overline{CS}|=14,21 \;\mathrm{cm} ; \sphericalangle SCA=39,29^{\circ}\right]$ $Formula: \left.|\overline{CS}|=14,21 \;\mathrm{cm} ; \sphericalangle SCA=39,29^{\circ}\right]$

4 P

B 4.2

Für Punkte $Formula: P_n \in \overline{CS}$ $Formula: P_n \in \overline{CS}$ gilt: $Formula: \left|\overline{SP}_n\right|(x)=x \;\mathrm{cm}(x \in \mathbb{R} ; 0 \leq x<14,21)$ $Formula: \left|\overline{SP}_n\right|(x)=x \;\mathrm{cm}(x \in \mathbb{R} ; 0 \leq x<14,21)$ .

Die Punkte Formula: P_n sind die Spitzen von Pyramiden Formula: ABDP_n mit den Höhen $Formula: \overline{P_nF_n}.$ $Formula: \overline{P_nF_n}.$

Zeichne für Formula: x = 3 die Pyramide Formula: ABDP_1 und die Höhe $Formula: \overline{P_1F_1}$ $Formula: \overline{P_1F_1}$ in das Schrägbild zu B 4.1 ein.

Berechne sodann das Maß des Winkels Formula: SP_1A.

[Zwischenergebnis: $Formula: \left|\overline{AP}_1\right|=7,47 \;\mathrm{cm}]$ $Formula: \left|\overline{AP}_1\right|=7,47 \;\mathrm{cm}]$

4 P

B 4.3

Zeige, dass für das Volumen der Pyramiden Formula: ABDP_n in Abhängigkeit von Formula: x gilt:

$Formula: V(x)=(-3,47 x+49,5) \;\mathrm{cm}^3.$ $Formula: V(x)=(-3,47 x+49,5) \;\mathrm{cm}^3.$

3 P

B 4.4

Ermittle rechnerisch, für welchen Wert von Formula: x das Volumen der zugehörigen Pyramide Formula: ABDP_2 um $Formula: 80 \,\text{%}$ $Formula: 80 \,\text{%}$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide Formula: ABCDS.