Teil A

A 1.0

Ein $90^\circ$ heißes Getränk wird zur Abkühlung ins Freie gestellt. Nach $x$ Minuten beträgt die Temperatur des Getränks $y\,^\circ\text{C}.$ Die Funktion $f$ mit der Gleichung $y=90 \cdot 0,94^x$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}^+$ beschreibt näherungsweise den Abkühlvorgang in den ersten $20$ Minuten.

A 1.1

Ergänze die Wertetabelle auf Ganze gerundet und zeichne sodann den Graphen zu $f$ in das Koordinatensystem ein.

$x$	$90 \cdot 0,94^x$
$0$
$5$
$10$
$15$
$20$

Abb. 1: Koordinatensystem

(2 P)

A 1.2

Gib an, um wie viel Prozent das Getränk pro Minute kälter wird.

(1 P)

A 1.3

Ermittle mithilfe des Graphen zu $f$ , nach wie vielen Minuten die Temperatur des Getränks noch $40\,^\circ\text{C}$ beträgt.

(1 P)

A 1.4

Um wie viel Prozent ist die Temperatur des Getränks nach sechs Minuten insgesamt gesunken? Kreuze den zutreffenden Wert an.

	$31\,\%$
	$36\,\%$
	$41\,\%$
	$69\,\%$

(1 P)

A 2.0

Das Rechteck $ABCD$ mit $\overline{AB}=12\,\text{cm}$ und $\overline{BC}=7\,\text{cm}$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCDS$ (siehe Zeichnung). Die Spitze $S$ liegt senkrecht über dem Mittelpunkt $E$ der Strecke $[AD]$ mit $\overline{ES}=7\,\text{cm}.$ Der Punkt $F$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[BC].$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Abb. 2: Pyramide

A 2.1

Berechne das Maß $\phi$ des Winkels $SFE$ sowie die Länge der Strecke $[FS].$
$[$ Ergebnisse: $\phi=30,26^\circ$ ; $\overline{FS}=13,89 \,\text{cm}]$

(2 P)

A 2.2

Der Punkt $P$ liegt auf der Strecke $[EF]$ mit $\overline{EP}=5\,\text{cm}.$ Für Punkte $M_n$ auf der Strecke $[FS]$ gilt: $\overline{FM_n}(x)=x\,\text{cm}$ mit $x\lt 13,89$ und $x \in \mathbb{R}^+.$ Die Punkte $M_n$ sind die Mittelpunkte von Strecken $[Q_nR_n]$ mit $R_n \in [CS]$ , $Q_n \in [BS]$ und $[Q_nR_n] \mid\mid [BC].$

Die Punkte $P$ , $R_n$ und $Q_n$ sind die Eckpunkte von Dreiecken $PR_nQ_n.$
Zeichne das Dreieck $PR_1Q_1$ für $x=3$ in das Schrägbild zu A 2.0 ein.

(1 P)

A 2.3

Der Punkt $M_2$ auf der Strecke $[FS]$ liegt senkrecht über dem Punkt $P.$
Zeichne $M_2$ und das Dreieck $PR_2Q_2$ in das Schrägbild zu A 2.0 ein.
Bestimme sodann durch Rechnung den zugehörigen Wert für $x$ und die Länge der Strecke $[R_2Q_2].$
$[$ Ergebnis: $\overline{R_2Q_2}=2,92 \,\text{cm} ]$

(3 P)

A 2.4

Das Dreieck $PR_2Q_2$ ist die Grundfläche der Pyramide $PR_2Q_2F.$
Ermittle rechnerisch den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $PR_2Q_2F$ am Volumen der Pyramide $ABCDS.$

(3 P)

A 3.0

Die Figur $ABCD$ dient als Schnittvorlage für eine Glasscheibe (siehe Skizze).

Der Kreisbogen $\widetilde{CD}$ hat den Punkt $B$ als Mittelpunkt und den Radius $r=\overline{BC}.$

Es gilt: $\overline{AB}=50,0\,\text{cm}$ ; $\overline{BC}=60,0\,\text{cm}$ ; $\sphericalangle{CBA}=90^\circ$ ; $\sphericalangle{BAD}=120^\circ.$

Runde im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

Abb. 3: Figur

A 3.1

Berechne die Länge der Strecke $[DA].$
$[$ Teilergebnis: $\sphericalangle{DBA}=13,8^\circ$ ; Ergebnis: $\overline{DA}=16,5\,\text{cm}]$

(3 P)

A 3.2

Die Glasscheibe wird aus einer quadratischen Glasplatte herausgeschnitten. Dazu bewegt sich ein Laserschneider mit einer Geschwindigkeit von $30\,\text{cm}$ pro Sekunde entlang des Kreisbogens $\widetilde{CD}$ und der Strecke $[DA].$

Berechne die hierfür benötigte Zeit.

(3 P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

[3]

A 1.1

$\blacktriangleright$ Wertetabelle ergänzen und Graphen zeichnen

Für die vollständige Wertetabelle folgt durch Einsetzen der $x$ -Werte in die gegebene Funktionsgleichung:

$x$	$90 \cdot 0,94^x$
$0$	$90$
$5$	$66$
$10$	$48$
$15$	$36$
$20$	$26$

Somit folgt für den Graphen:

Abb. 1: Graph zu $f$

A 1.2

$\blacktriangleright$ Abkühlung angeben

Die Funktionsgleichung lautet $y=90 \cdot 0,94^x$ . Daran lässt sich erkennen, dass die Temperatur des Getränks nach einer Minute nur noch $94\,\%$ der vorherigen Temperatur entspricht.

Somit wird das Getränk pro Minute um $6\,\%$ kälter.

A 1.3

$\blacktriangleright$ Anzahl der Minuten ermitteln

Anhand des Graphen folgt, dass nach etwa $13$ Minuten der Funktionswert der Funktion $f$ ungefähr $40$ beträgt.

Damit beträgt die Temperatur nach ungefähr $13$ Minuten noch $40\,^\circ\text{C}.$

A 1.4

$\blacktriangleright$ Prozentzahl ermitteln

Nach $6$ Minuten folgt für die Temperatur des Getränks mit der gegebenen Funktionsgleichung:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 90 \cdot 0,94^6 \\[5pt] &\approx& 62 \end{array}$

Somit beträgt die Temperatur des Getränks nach $6$ Minuten noch etwa $62^\circ\text{C}$ . Daraus folgt für die Prozentzahl $p$ :

$\begin{array}[t]{rll} p&=& 1- \dfrac{62\,^\circ\text{C}}{90\,^\circ\text{C}} \\[5pt] &\approx & 0,31 \\[5pt] &\approx & 31\,\% \end{array}$

Damit ist die Temperatur des Getränks nach sechs Minuten um etwa $31\,\%$ gesunken.

A 2.1

$\blacktriangleright$ Winkelmaß berechnen

In dem rechtwinkligen Dreieck $EFS$ gilt $\overline{EF}=12\,\text{cm}$ und $\overline{ES}=7\,\text{cm}$ . Mit dem Tangens folgt somit:

$\phi \approx 30,26\,^\circ\text{C}$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit beträgt der Winkel $SFE$ etwa $30,26\,^\circ.$

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke berechnen

Für die Länge der Strecke $\overline{FS}$ folgt mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $EFS$ :

$\overline{FS} \approx 13,89\,\text{cm}$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit beträgt die Länge der Strecke $[FS]$ etwa $13,89\,\text{cm}.$

A 2.2

$\blacktriangleright$ Dreieck einzeichnen

Mit $x=3$ folgt $\overline{FM_1}=3\,\text{cm}$ . Somit folgt für das Dreieck $PR_1Q_1$ :

Abb. 2: Dreieck

A 2.3

$\blacktriangleright$ Dreieck einzeichnen

Für das Dreieck $PR_2Q_2$ folgt:

Abb. 3: Dreieck

$\blacktriangleright$ Zugehörigen Wert berechnen

Im rechtwinkligen Dreieck $PFM_2$ folgt mit dem zuvor bestimmten Maß $\phi$ des Winkels $SFE$ und mit dem Kosinus:

$x \approx 8,10 \,\text{cm}$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit gilt $x\approx 8,10 \,\text{cm}.$

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke berechnen

Mit dem zweiten Strahlensatz folgt für die Länge der Strecke $[R_2Q_2]$ :

$\overline{R_2Q_2} \approx 2,92\,\text{cm}$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit beträgt die Länge der Strecke $[R_2Q_2]$ ungefähr $2,92\,\text{cm}.$

A 2.4

$\blacktriangleright$ Prozentualer Anteil ermitteln

Für das Volumen $V_1$ der Pyramide $ABCDS$ gilt folgende Formel:

$V_1=\frac{1}{3} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \overline{ES}$

Die Pyramide $PR_2Q_2F$ besitzt als Grundfläche das Dreieck $PR_2Q_2$ und als Höhe die Länge der Strecke $[PF]$ . Somit folgt für das Volumen $V_2$ der Pyramide $PR_2Q_2F$ :

$V_2=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \overline{R_2Q_2} \cdot \overline{PM_2} \cdot \overline{PF}$

Für die Länge der Strecke $[PM_2]$ folgt mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $PFM_2$ :

$\overline{PM_2} \approx 4,08\,\text{cm}$

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Damit folgt für den prozentualen Anteil $p$ des Volumens der Pyramide $PR_2Q_2F$ am Volumen der Pyramide $ABCDS$ mit den Ergebnissen aus den vorherigen Teilaufgaben:

$p \approx 7,09\,\%$

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Somit beträgt der prozentuale Anteil etwa $7,09\,\%.$

A 3.1

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke ermitteln

Im Dreieck $ABD$ folgt mit dem Sinussatz für den Winkel $ADB$ :

$\sphericalangle{ADB} \approx 46,2^°$

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Damit folgt mit der Winkelsumme im Dreieck $ABD$ :

$\sphericalangle{DBA} \approx 13,8^°$

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Hiermit folgt für die Länge der Strecke $\overline{DA}$ mit dem Kosinussatz:

$\overline{DA} \approx 16,5\,\text{cm}$

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Dadurch beträgt die Länge der Strecke $[DA]$ etwa $16,5\,\text{cm}.$

A 3.2

$\blacktriangleright$ Benötigte Zeit berechnen

Für die Länge $b$ des Kreisbogens $\widetilde{CD}$ folgt mit dem Winkel $\sphericalangle{CBA}$ :

$b= \dotsc$

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Somit folgt insgesamt für die Strecke $s$ , welche der Laserschneider herausschneidet:

$s \approx 96,3\,\text{cm}$

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Damit folgt für die Zeit $t$ , welche der Glasschneider benötigt, mit der Geschwindigkeit $v=30 \frac{\text{cm}}{s}$ :

$\begin{array}[t]{rll} t&=& \dfrac{s}{v}\\[5pt] &\approx& \dfrac{96,3\,\text{cm}}{30 \frac{\text{cm}}{s}}\\[5pt] &\approx& 3,2\,\text{s}\\[5pt] \end{array}$

Damit folgt, dass der Laserschneider etwa insgesamt $3,2\,\text{s}$ benötigt.

Bildnachweise [nach oben]

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