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Teil A

Aufgaben
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A 1.0
Ein $90^°$ heißes Getränk wird zur Abkühlung ins Freie gestellt. Nach $x$ Minuten beträgt die Temperatur des Getränks $y \,^°\text{C}.$ Die Funktion $f$ mit der Gleichung $y=90 \cdot 0,94^x$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}^+$ beschreibt näherungsweise den Abkühlvorgang in den ersten $20$ Minuten.
A 1.1
Ergänze die Wertetabelle auf Ganze gerundet und zeichne sodann den Graphen zu $f$ in das Koordinatensystem ein.
$x$$0 $$5 $$10$$15$$20$
$90 \cdot 0,94^x$$ $$ $$ $$ $$ $
$x$$90 \cdot 0,94^x$
$0$$ $
$5$$ $
$10$$ $
$15$$ $
$20$$ $
Teil A
Abb. 1: Koordinatensystem
Teil A
Abb. 1: Koordinatensystem
(2 P)
A 1.2
Gib an, um wie viel Prozent das Getränk pro Minute kälter wird.
(1 P)
A 1.3
Ermittle mithilfe des Graphen zu $f$, nach wie vielen Minuten die Temperatur des Getränks noch $40^°\text{C}$ beträgt.
(1 P)
#graph
A 1.4
Um wie viel Prozent ist die Temperatur des Getränks nach sechs Minuten insgesamt gesunken? Kreuze den zutreffenden Wert an.
$31\,\%$
$36\,\%$$41\,\%$$69\,\%$
$31\,\%$
$36\,\%$
$41\,\%$
$69\,\%$
(1 P)
A 2.0
Das Rechteck $ABCD$ mit $\overline{AB}=12\,\text{cm}$ und $\overline{BC}=7\,\text{cm}$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCDS$ (siehe Zeichnung). Die Spitze $S$ liegt senkrecht über dem Mittelpunkt $E$ der Strecke $[AD]$ mit $\overline{ES}=7\,\text{cm}.$ Der Punkt $F$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[BC].$
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Teil A
Abb. 2: Pyramide
Teil A
Abb. 2: Pyramide
A 2.1
Berechne das Maß $\phi$ des Winkels $SFE$ sowie die Länge der Strecke $[FS].$
$[$Ergebnisse: $\phi=30,26^°$; $\overline{FS}=13,89 \,\text{cm}]$
(2 P)
#winkel
A 2.2
Der Punkt $P$ liegt auf der Strecke $[EF]$ mit $\overline{EP}=5\,\text{cm}.$ Für Punkte $M_n$ auf der Strecke $[FS]$ gilt: $\overline{FM_n}(x)=x\,\text{cm}$ mit $x< 13,89$ und $x \in \mathbb{R}^+.$ Die Punkte $M_n$ sind die Mittelpunkte von Strecken $[Q_nR_n]$ mit $R_n \in [CS]$, $Q_n \in [BS]$ und $[Q_nR_n] \mid\mid [BC].$
Die Punkte $P$, $R_n$ und $Q_n$ sind die Eckpunkte von Dreiecken $PR_nQ_n.$
Zeichne das Dreieck $PR_1Q_1$ für $x=3$ in das Schrägbild zu A 2.0 ein.
(1 P)
#dreieck
A 2.3
Der Punkt $M_2$ auf der Strecke $[FS]$ liegt senkrecht über dem Punkt $P.$
Zeichne $M_2$ und das Dreieck $PR_2Q_2$ in das Schrägbild zu A 2.0 ein.
Bestimme sodann durch Rechnung den zugehörigen Wert für $x$ und die Länge der Strecke $[R_2Q_2].$
$[$ Ergebnis: $\overline{R_2Q_2}=2,92 \,\text{cm} ]$
(3 P)
A 2.4
Das Dreieck $PR_2Q_2$ ist die Grundfläche der Pyramide $PR_2Q_2F.$
Ermittle rechnerisch den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $PR_2Q_2F$ am Volumen der Pyramide $ABCDS.$
(3 P)
#pyramide
A 3.0
Teil A
Abb. 3: Figur
Teil A
Abb. 3: Figur
A 3.1
Berechne die Länge der Strecke $[DA].$
$[$ Teilergebnis: $\sphericalangle{DBA}=13,8^°$; Ergebnis: $\overline{DA}=16,5\,\text{cm}]$
(3 P)
A 3.2
Die Glasscheibe wird aus einer quadratischen Glasplatte herausgeschnitten. Dazu bewegt sich ein Laserschneider mit einer Geschwindigkeit von $30\,\text{cm}$ pro Sekunde entlang des Kreisbogens $\widetilde{CD}$ und der Strecke $[DA].$
Berechne die hierfür benötigte Zeit.
(3 P)
#quadrat
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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A 1.1
$\blacktriangleright$  Wertetabelle ergänzen und Graphen zeichnen
Für die vollständige Wertetabelle folgt durch Einsetzen der $x$-Werte in die gegebene Funktionsgleichung:
$x$$0 $$5 $$10$$15$$20$
$90 \cdot 0,94^x$$90$$66$$48$$36$$26$
$x$$90 \cdot 0,94^x$
$0$$90$
$5$$66$
$10$$48$
$15$$36$
$20$$26$
Somit folgt für den Graphen:
Teil A
Abb. 1: Graph zu $f$
Teil A
Abb. 1: Graph zu $f$
A 1.2
$\blacktriangleright$  Abkühlung angeben
Die Funktionsgleichung lautet $y=90 \cdot 0,94^x$. Daran lässt sich erkennen, dass die Temperatur des Getränks nach einer Minute nur noch $94\,\%$ der vorherigen Temperatur entspricht.
Somit wird das Getränk pro Minute um $6\,\%$ kälter.
#funktionsgleichung
A 1.3
$\blacktriangleright$  Anzahl der Minuten ermitteln
Anhand des Graphen folgt, dass nach etwa $13$ Minuten der Funktionswert der Funktion $f$ ungefähr $40$ beträgt.
Damit beträgt die Temperatur nach ungefähr $13$ Minuten noch $40^°\text{C}.$
#funktionswert
A 1.4
$\blacktriangleright$  Prozentzahl ermitteln
Nach $6$ Minuten folgt für die Temperatur des Getränks mit der gegebenen Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 90 \cdot 0,94^6 \\[5pt] &\approx& 62 \end{array}$
Somit beträgt die Temperatur des Getränks nach $6$ Minuten noch etwa $62^°\text{C}$. Daraus folgt für die Prozentzahl $p$:
$\begin{array}[t]{rll} p&=& 1- \dfrac{62^°\text{C}}{90^°\text{C}} \\[5pt] &\approx & 0,31 \\[5pt] &\approx & 31\,\% \end{array}$
Damit ist die Temperatur des Getränks nach sechs Minuten um etwa $31\,\%$ gesunken.
A 2.1
$\blacktriangleright$  Winkelmaß berechnen
In dem rechtwinkligen Dreieck $EFS$ gilt $\overline{EF}=12\,\text{cm}$ und $\overline{ES}=7\,\text{cm}$. Mit dem Tangens folgt somit:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \phi&=& \dfrac{\overline{ES}}{\overline{EF}} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}(\,) \\[5pt] \phi&=& \tan^{-1}\left(\dfrac{\overline{ES}}{\overline{EF}} \right) \\[5pt] &=& \tan^{-1}\left(\dfrac{7\,\text{cm}}{12\,\text{cm}} \right) \\[5pt] &=& \tan^{-1}\left(\dfrac{7}{12} \right) \\[5pt]\\[5pt] &\approx& 30,26^°\text{C} \end{array}$
$\phi \approx 30,26^°\text{C} $
Somit beträgt der Winkel $SFE$ etwa $30,26^°.$
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke berechnen
Für die Länge der Strecke $\overline{FS}$ folgt mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $EFS$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{FS}^2&=&\overline{EF}^2+ \overline{ES}^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \overline{FS}&=&\sqrt{\overline{EF}^2+ \overline{ES}^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(12\,\text{cm})^2+ (7\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=&\sqrt{144\,\text{cm}^2+ 49\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 13,89\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$\overline{FS} \approx 13,89\,\text{cm}$
Somit beträgt die Länge der Strecke $[FS]$ etwa $13,89\,\text{cm}.$
#tangens#satzdespythagoras
A 2.2
$\blacktriangleright$  Dreieck einzeichnen
Mit $x=3$ folgt $\overline{FM_1}=3\,\text{cm}$. Somit folgt für das Dreieck $PR_1Q_1$:
Teil A
Abb. 2: Dreieck
Teil A
Abb. 2: Dreieck
A 2.3
$\blacktriangleright$  Dreieck einzeichnen
Für das Dreieck $PR_2Q_2$ folgt:
Teil A
Abb. 3: Dreieck
Teil A
Abb. 3: Dreieck
$\blacktriangleright$  Zugehörigen Wert berechnen
Im rechtwinkligen Dreieck $PFM_2$ folgt mit dem zuvor bestimmten Maß $\phi$ des Winkels $SFE$ und mit dem Kosinus:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \phi&=&\dfrac{\overline{PF}}{\overline{FM_2}} \\[5pt] \cos \phi&=&\dfrac{\overline{EF}-\overline{EP}}{\overline{FM_2}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{FM_2}\\[5pt] \overline{FM_2} \cdot \cos \phi&=&\overline{EF}-\overline{EP}&\quad \scriptsize \mid\; :\cos \phi \\[5pt] \overline{FM_2}&=&\dfrac{\overline{EF}-\overline{EP}}{\cos \phi} \\[5pt] x&\approx&\dfrac{12 \,\text{cm}-5 \,\text{cm}}{\cos 30,26^°} \\[5pt] &\approx&\dfrac{7 \,\text{cm}}{\cos 30,26^°} \\[5pt] &\approx& 8,10 \,\text{cm} \end{array}$
$ x \approx 8,10 \,\text{cm} $
Somit gilt $x\approx 8,10 \,\text{cm}.$
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke berechnen
Mit dem zweiten Strahlensatz folgt für die Länge der Strecke $[R_2Q_2]$:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{R_2Q_2}}{\overline{BC}}&=&\dfrac{\overline{M_2S}}{\overline{FS}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{BC}\\[5pt] \overline{R_2Q_2}&=&\dfrac{\overline{FS}-\overline{FM_2}}{\overline{FS}} \cdot \overline{BC} \\[5pt] &\approx&\dfrac{13,89\,\text{cm}-8,10 \,\text{cm}}{13,89\,\text{cm}} \cdot 7\,\text{cm}\\[5pt] &\approx& 2,92\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$\overline{R_2Q_2} \approx 2,92\,\text{cm}$
Somit beträgt die Länge der Strecke $[R_2Q_2]$ ungefähr $2,92\,\text{cm}.$
#strahlensatz#kosinus
A 2.4
$\blacktriangleright$  Prozentualer Anteil ermitteln
Für das Volumen $V_1$ der Pyramide $ABCDS$ gilt folgende Formel:
$V_1=\frac{1}{3} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \overline{ES}$
Die Pyramide $PR_2Q_2F$ besitzt als Grundfläche das Dreieck $PR_2Q_2$ und als Höhe die Länge der Strecke $[PF]$. Somit folgt für das Volumen $V_2$ der Pyramide $PR_2Q_2F$:
$V_2=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \overline{R_2Q_2} \cdot \overline{PM_2} \cdot \overline{PF}$
Für die Länge der Strecke $[PM_2]$ folgt mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $PFM_2$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{FM_2}^2&=&\overline{PF}^2 +\overline{PM_2}^2 &\quad \scriptsize \mid\; -\overline{PF}^2\\[5pt] \overline{FM_2}^2-\overline{PF}^2&=&\overline{PM_2}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \sqrt{\overline{FM_2}^2-\overline{PF}^2}&=&\overline{PM_2}\\[5pt] \sqrt{(8,10 \,\text{cm})^2-(7\,\text{cm})^2}&\approx&\overline{PM_2}\\[5pt] \sqrt{(8,10 \,\text{cm})^2-(7\,\text{cm})^2}&\approx&\overline{PM_2}\\[5pt] 4,08\,\text{cm}&\approx&\overline{PM_2}\\[5pt] \end{array}$
$\overline{PM_2} \approx 4,08\,\text{cm}$
Damit folgt für den prozentualen Anteil $p$ des Volumens der Pyramide $PR_2Q_2F$ am Volumen der Pyramide $ABCDS$ mit den Ergebnissen aus den vorherigen Teilaufgaben:
$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{V_2}{V_1} \\[5pt] &=&\dfrac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \overline{R_2Q_2} \cdot \overline{PM_2} \cdot \overline{PF}}{\frac{1}{3} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \overline{ES}} \\[5pt] &=&\dfrac{\frac{1}{2} \cdot \overline{R_2Q_2} \cdot \overline{PM_2} \cdot \overline{PF}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \overline{ES}} \\[5pt] &\approx&\dfrac{\frac{1}{2} \cdot 2,92\,\text{cm} \cdot 4,08\,\text{cm} \cdot 7\,\text{cm}}{12\,\text{cm} \cdot 7\,\text{cm} \cdot 7\,\text{cm}} \\[5pt] &\approx& 0,0709 \\[5pt] &\approx& 7,09\,\% \\[5pt] \end{array}$
$p \approx 7,09\,\%$
Somit beträgt der prozentuale Anteil etwa $7,09\,\%.$
#satzdespythagoras
A 3.1
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke ermitteln
Im Dreieck $ABD$ folgt mit dem Sinussatz für den Winkel $ADB$:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AB}}{\sin \sphericalangle{ADB}} &=& \dfrac{\overline{BD}}{\sin \sphericalangle{BAD}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin \sphericalangle{ADB} \\[5pt] \overline{AB}&=& \dfrac{\overline{BD}}{\sin \sphericalangle{BAD}} \cdot \sin \sphericalangle{ADB} &\quad \scriptsize \mid\; : \dfrac{\overline{BD}}{\sin \sphericalangle{BAD}} \\[5pt] \dfrac{\sin \sphericalangle{BAD}}{\overline{BD}} \cdot \overline{AB}&=& \sin \sphericalangle{ADB} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}(\,) \\[5pt] \sin^{-1} \left(\dfrac{\sin \sphericalangle{BAD}}{\overline{BD}} \cdot \overline{AB}\right)&=& \sphericalangle{ADB} \\[5pt] \sin^{-1} \left(\dfrac{\sin 120^°}{60\,\text{cm}} \cdot 50\,\text{cm}\right)&=& \sphericalangle{ADB} \\[5pt] 46,2^°&\approx& \sphericalangle{ADB} \\[5pt] \end{array}$
$\sphericalangle{ADB} \approx 46,2^° $
Damit folgt mit der Winkelsumme im Dreieck $ABD$:
$\begin{array}[t]{rll} 180^°&=& \sphericalangle{ADB} + \sphericalangle{BAD} + \sphericalangle{DBA} &\quad \scriptsize \mid\; - \sphericalangle{BAD} \\[5pt] 180^°- \sphericalangle{BAD} &=& \sphericalangle{ADB}+ \sphericalangle{DBA} &\quad \scriptsize \mid\; - \sphericalangle{ADB} \\[5pt] 180^°- \sphericalangle{BAD} - \sphericalangle{ADB}&=& \sphericalangle{DBA} \\[5pt] 180^°- 120^° - 46,2^°&\approx& \sphericalangle{DBA} \\[5pt] 13,8^°&\approx& \sphericalangle{DBA} \\[5pt] \end{array}$
$\sphericalangle{DBA} \approx 13,8^°$
Hiermit folgt für die Länge der Strecke $\overline{DA}$ mit dem Kosinussatz:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{DA}^2&=&\overline{AB}^2 + \overline{BD}^2 -2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BD} \cdot \cos \sphericalangle{DBA} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{DA}&=&\sqrt{\overline{AB}^2 + \overline{BD}^2 -2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BD} \cdot \cos \sphericalangle{DBA}} \\[5pt] &\approx&\sqrt{(50\,\text{cm})^2 + (60\,\text{cm})^2 -2 \cdot 50\,\text{cm} \cdot 60\,\text{cm} \cdot \cos 13,8^° }\\[5pt] &\approx& 16,5\,\text{cm} \end{array}$
$\overline{DA} \approx 16,5\,\text{cm} $
Dadurch beträgt die Länge der Strecke $[DA]$ etwa $ 16,5\,\text{cm}.$
#kosinussatz#sinussatz
A 3.2
$\blacktriangleright$  Benötigte Zeit berechnen
Für die Länge $b$ des Kreisbogens $\widetilde{CD}$ folgt mit dem Winkel $\sphericalangle{CBA}$:
$\begin{array}[t]{rll} b&=& 2 \cdot \pi \cdot \dfrac{\sphericalangle{CBA}}{360^°} \cdot r \\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot \dfrac{90-\sphericalangle{DBA}}{360^°} \cdot \overline{BC} \\[5pt] \end{array}$
$b= \dotsc $
Somit folgt insgesamt für die Strecke $s$, welche der Laserschneider herausschneidet:
$\begin{array}[t]{rll} s&=& b + \overline{DA}\\[5pt] &\approx& 2 \cdot \pi \cdot \dfrac{90-13,8^°}{360^°} \cdot 60\,\text{cm}+ 16,5\,\text{cm}\\[5pt] &\approx& 96,3\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$s \approx 96,3\,\text{cm} $
Damit folgt für die Zeit $t$, welche der Glasschneider benötigt, mit der Geschwindigkeit $v=30 \frac{\text{cm}}{s}$:
$\begin{array}[t]{rll} t&=& \dfrac{s}{v}\\[5pt] &\approx& \dfrac{96,3\,\text{cm}}{30 \frac{\text{cm}}{s}}\\[5pt] &\approx& 3,2\,\text{s}\\[5pt] \end{array}$
Damit folgt, dass der Laserschneider etwa insgesamt $3,2\,\text{s}$ benötigt.
#kreisbogen
Bildnachweise [nach oben]
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