Teil A

Aufgabe A1

1.0

Am 22.02.2020 kaufte sich Claudia für $2000\,€$ Aktien. Sie geht davon aus, dass der Wert $y\,€$ ihrer Aktien nach $x$ Jahren durch die Funktion $f: y = 2000\cdot1,07^x$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+\times\,\mathbb{R}_0^+$ dargestellt werden kann.

1.1

Ergänze die Wertetabelle auf Ganze gerundet.

Zeichne sodann den Graphen zu $f$ in das Koordinatensystem ein.

$x$	$2000\cdot1,07^x$
$0$
$5$
$10$
$15$
$20$
$25$

(2 P)

1.2

Ergänze die folgende Aussage.

Claudia nimmt an, dass der Wert ihrer Aktien jährlich um Prozent zunimmt.

(1 P)

1.3

Ermittle mithilfe des Graphen, nach welcher Zeit sich das Anfangskapital verfünffacht hätte.

(1 P)

1.4

Claudia plant, am 22.02.2065 in den Ruhestand zu gehen.

Bestimme rechnerisch, wie viel ihre Aktien zu diesem Zeitpunkt nach der oben getroffenen Annahme wert wären. Runde auf ganze Euro.

(1 P)

Aufgabe A2

2.0

Das Schrägbild zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit dem gleichschenkligen Trapez $ABCD$ als Grundfläche und der Höhe $[QS].$ Der Punkt $P$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[AB]$ und der Punkt $Q$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[CD].$

Es gilt: $[AB] \,\bigg\vert\bigg\vert\, [CD]$ ; $\overline{AB} = 6 \,\text{cm}$ ; $\overline{CD} =10 \,\text{cm}$ ; $\overline{QS} = 8 \,\text{cm}$ ; $\overline{PQ} = 4 \,\text{cm}.$

Der Punkt $R$ liegt auf der Strecke $[PS]$ mit $\overline{PR} = 3 \,\text{cm}.$ Er ist der Mittelpunkt der Strecke $[EF]$ mit $E\in[AS], F\in[BS]$ und $[EF] \,\bigg\vert\bigg\vert\, [AB] .$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

2.1

Berechne die Längen der Strecken $[PS]$ und $[EF].$

[Ergebnis: $\overline{PS} = 8,94 \,\text{cm}\,\ ; \,\overline{EF} = 3,99 \,\text{cm}$ ]

(2 P)

2.2

Berechne den Flächeninhalt $A$ des Trapezes $CDEF.$

[Zwischenergebnis: $\sphericalangle QPS = 63,43^{\circ}$ ]

(3 P)

2.3

Der Punkt $T$ liegt auf der Strecke $[QS]$ mit $[RT]\,\bigg \vert \,\,\bigg \vert \, [PQ].$ Das Dreieck $EFT$ ist die Grundfläche der Pyramide $EFTS$ mit der Spitze $S.$

Zeichne die Pyramide $EFTS$ in das Schrägbild zu A 2.0 ein.

Berechne sodann das Volumen $V$ der Pyramide $EFTS.$

(4 P)

Aufgabe A3

3.0

Die nebenstehende Skizze zeigt das Dreieck $ABC$ mit $\overline{AB} = 7 \,\text{cm}$ , $\overline{BC} = 5 \,\text{cm}$ und $\sphericalangle ACB = 40^{\circ}.$ Die Strecke $[DE]$ wird durch die Punkte $D\in[AC]$ und $E\in[BC]$ festgelegt.

Es gilt: $[AB] \,\bigg \vert \bigg \vert \, [DE] ; \,\ DE = 3,6 \,\text{cm}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

3.1

Berechne die Länge der Strecke $[BE].$

[Ergebnis: $\overline{BE} = 2,43 \,\text{cm}$ ]

(2 P)

3.2

Berechne den Abstand $d$ der Strecken $[AB]$ und $[DE].$

(3 P)

Lösungen A1

1.1

$x$	$2000\cdot1,07^x$
$0$	$2000$
$5$	$2805$
$10$	$3934$
$15$	$5518$
$20$	$7739$
$25$	$10855$

1.2

Claudia nimmt an, dass der Wert ihrer Aktien jährlich um $7\,\%$ zunimmt, da gilt: $1,07=1+\dfrac{7}{100}$ .

1.3

Das Anfangskapital hätte sich nach $24$ Jahren verfünffacht.

1.4

$\begin{array}[t]{rll} y&=&2000\cdot1,07^{2065-2020} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] y&=&42005 \end{array}$

Die Aktien wären zu diesem Zeitpunkt $42005\,€$ wert.

Lösungen A2

2.1

$\begin{array}[t]{rll} \overline{PS}^2&=&\overline{PQ}^2+\overline{QS}^2 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \overline{PS}&=&\sqrt{\overline{PQ}^2+\overline{QS}^2} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=&\sqrt{(4\,\text{cm})^2+(8\,\text{cm})^2} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=&\sqrt{16\,\text{cm}+64\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=&\sqrt{80\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \overline{PS}&=&8,94\,\text{cm} \end{array}$

Vierstreckensatz:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{EF}}{\overline{AB}}&=& \dfrac{\overline{PS}-\overline{PR}}{\overline{PS}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{\overline{EF}}{6\,\text{cm}}&=& \dfrac{8,94\,\text{cm}-3\,\text{cm}}{8,94\,\text{cm}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot\,6\,\text{cm} \\[5pt] \overline{EF}&=&3,99\,\text{cm} \end{array}$

2.2

$A=0,5\cdot(\overline{EF}+\overline{CD})\cdot\overline{QR}$

$\begin{array}[t]{rll} \text{tan}\sphericalangle QPS&=&\dfrac{8}{4} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \sphericalangle QPS&=&63,43^{\circ} \end{array}$

$\overline{QR}=3,78\,\text{cm}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} A&=&0,5\cdot(3,99 +10)\cdot3,78\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] A&=&26,44\,\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Trapezes $CDEF$ beträgt $26,44\,\text{cm}^2$ .

2.3

$V=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\overline{EF}\cdot\overline{RT}\cdot\overline{ST}$

$\begin{array}[t]{rll} \sphericalangle TRS&=&\sphericalangle QPS &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \sphericalangle TRS&=&63,43^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \text{cos}(63,43^{\circ})&=&\dfrac{\overline{RT}}{8,94\,\text{cm}-3\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot5,94\,\text{cm} \\[5pt] \overline{RT}&=&2,66\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \text{sin}(63,43^{\circ}) &=&\dfrac{\overline{ST}}{8,94\,\text{cm}-3\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot5,94\,\text{cm} \\[5pt] \overline{ST}&=&5,31\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot3,99\,\text{cm}\cdot2,66\,\text{cm}\cdot5,31\,\text{cm} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] V&=&9,39\,\text{cm}^3 \end{array}$

Lösungen A3

3.1

$\overline{BE}=\overline{BC}-\overline{EC}$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{EC}}{5\,\text{cm}}&=& \dfrac{3,6\,\text{cm}}{7\,\text{cm}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot5\,\text{cm} \\[5pt] \overline{EC}&=&2,57\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BE}&=&5\,\text{cm}-2,57\,\text{cm} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \overline{BE}&=&2,43\,\text{cm} \end{array}$

3.2

$\text{cos}(\sphericalangle CBA-90^{\circ})=\dfrac{d}{\overline{BE}}$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\text{sin}\sphericalangle BAC}{5\,\text{cm}}&=& \dfrac{\text{sin}(40^{\circ} )}{7\,\text{cm}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot5\,\text{cm} \\[5pt] \text{sin}\sphericalangle BAC&=&27,33^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \sphericalangle CBA&=&180^{\circ}-40^{\circ}-27,33^{\circ} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \sphericalangle CBA&=&112,67^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \text{cos}(112,67^{\circ}-90^{\circ})&=&\dfrac{d}{2,43\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot2,43\,\text{cm} \\[5pt] d&=&2,24\,\text{cm} \end{array}$