Aufgabe B3

B 3.0

Die Parabel Formula: p verläuft durch die Punkte $Formula: P(6 \mid 6)$ $Formula: P(6 \mid 6)$ und $Formula: Q(8 \mid 3).$ $Formula: Q(8 \mid 3).$ Sie hat eine Gleichung der Form $Formula: y=-0,25 x^2+b x+c \quad (b, c, x, y \in \mathbb{R}).$ $Formula: y=-0,25 x^2+b x+c \quad (b, c, x, y \in \mathbb{R}).$

Die Gerade Formula: g hat die Gleichung $Formula: y=\frac{1}{5} x-1 \quad (x, y \in \mathbb{R}).$ $Formula: y=\frac{1}{5} x-1 \quad (x, y \in \mathbb{R}).$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 3.1

Zeige durch Berechnung der Werte für Formula: b und Formula: c, dass die Parabel die Gleichung

Formula: y=-0,25 x^2+2 x+3 hat.

Zeichne sodann die Parabel Formula: p und die Gerade Formula: g für $Formula: x \in[-2 ; 10]$ $Formula: x \in[-2 ; 10]$ in ein Koordinatensystem ein.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $Formula: 1 \;\text{cm};$ $Formula: 1 \;\text{cm};$ $Formula: -2 \leq x \leq 11 ;-2 \leq y \leq 7$ $Formula: -2 \leq x \leq 11 ;-2 \leq y \leq 7$

4 P

B 3.2

Punkte $Formula: A_n\left(x \left\lvert\, \frac{1}{5} x-1\right.\right)$ $Formula: A_n\left(x \left\lvert\, \frac{1}{5} x-1\right.\right)$ auf der Geraden Formula: g und Punkte $Formula: C_n\left(x \mid-0,25 x^2+2 x+3\right)$ $Formula: C_n\left(x \mid-0,25 x^2+2 x+3\right)$ auf der Parabel Formula: p haben dieselbe Abszisse Formula: x und sind zusammen mit Punkten Formula: B_n Eckpunkte von gleichseitigen Dreiecken Formula: A_nB_nC_n Es gilt: $Formula: y_{C_n}>y_{A_n}.$ $Formula: y_{C_n}>y_{A_n}.$

Zeichne die Dreiecke Formula: A_1B_1C_1 für Formula: x = 0 und Formula: A_2B_2C_2 für Formula: x = 5 in das Koordinatensystem zu B 3.1 ein.

2 P

B 3.3

Ermittle rechnerisch, für welche Belegungen von Formula: x es Dreiecke Formula: A_nB_nC_n gibt.

3 P

B 3.4

Zeige durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $Formula: \overline{A_n C_n}$ $Formula: \overline{A_n C_n}$ in Abhängigkeit von Formula: x gilt: $Formula: \left|\overline{A_n C_n}\right|(x)=\left(-0,25 x^2+1,8 x+4\right)\;\text{LE}.$ $Formula: \left|\overline{A_n C_n}\right|(x)=\left(-0,25 x^2+1,8 x+4\right)\;\text{LE}.$

1 P

B 3.5

Ermittle die maximale Streckenlänge $Formula: \left|\overline{A_0 C_0}\right|$ $Formula: \left|\overline{A_0 C_0}\right|$ sowie den zugehörigen Wert für Formula: x.

Berechne sodann den maximalen Flächeninhalt $Formula: A_{\text{max}}$ $Formula: A_{\text{max}}$ der Dreiecke Formula: A_nB_NC_N.

3 P

B 3.6

Die Winkel zwischen der Geraden g und den Strecken $Formula: \overline{A_nB_n}$ $Formula: \overline{A_nB_n}$ haben jeweils das gleiche Maß.

Berechne das zugehörige Maß $Formula: \varphi,$ $Formula: \varphi,$ für das gilt: $Formula: \varphi<90^{\circ}.$ $Formula: \varphi<90^{\circ}.$

2,5 P

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