Aufgabe B3

B 3.0

Die Parabel Formula: p verläuft durch die Punkte $Formula: P(6 \mid 6)$ $Formula: P(6 \mid 6)$ und $Formula: Q(8 \mid 3).$ $Formula: Q(8 \mid 3).$ Sie hat eine Gleichung der Form $Formula: y=-0{,}25 x^2+b x+c \quad (b, c, x, y \in \mathbb{R}).$ $Formula: y=-0{,}25 x^2+b x+c \quad (b, c, x, y \in \mathbb{R}).$

Die Gerade Formula: g hat die Gleichung $Formula: y=\frac{1}{5} x-1 \quad (x, y \in \mathbb{R}).$ $Formula: y=\frac{1}{5} x-1 \quad (x, y \in \mathbb{R}).$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 3.1

Zeige durch Berechnung der Werte für Formula: b und Formula: c, dass die Parabel die Gleichung

$Formula: y=-0{,}25 x^2+2 x+3$ $Formula: y=-0{,}25 x^2+2 x+3$ hat.

Zeichne sodann die Parabel Formula: p und die Gerade Formula: g für $Formula: x \in[-2 ; 10]$ $Formula: x \in[-2 ; 10]$ in ein Koordinatensystem ein.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $Formula: 1 \;\text{cm};$ $Formula: 1 \;\text{cm};$ $Formula: -2 \leq x \leq 11 ;-2 \leq y \leq 7$ $Formula: -2 \leq x \leq 11 ;-2 \leq y \leq 7$

4 P

B 3.2

Punkte $Formula: A_n\left(x \left\lvert\, \frac{1}{5} x-1\right.\right)$ $Formula: A_n\left(x \left\lvert\, \frac{1}{5} x-1\right.\right)$ auf der Geraden Formula: g und Punkte $Formula: C_n\left(x \mid-0{,}25 x^2+2 x+3\right)$ $Formula: C_n\left(x \mid-0{,}25 x^2+2 x+3\right)$ auf der Parabel Formula: p haben dieselbe Abszisse Formula: x und sind zusammen mit Punkten Formula: B_n Eckpunkte von gleichseitigen Dreiecken Formula: A_nB_nC_n Es gilt: $Formula: y_{C_n}>y_{A_n}.$ $Formula: y_{C_n}>y_{A_n}.$

Zeichne die Dreiecke Formula: A_1B_1C_1 für Formula: x = 0 und Formula: A_2B_2C_2 für Formula: x = 5 in das Koordinatensystem zu B 3.1 ein.

2 P

B 3.3

Ermittle rechnerisch, für welche Belegungen von Formula: x es Dreiecke Formula: A_nB_nC_n gibt.

3 P

B 3.4

Zeige durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $Formula: \overline{A_n C_n}$ $Formula: \overline{A_n C_n}$ in Abhängigkeit von Formula: x gilt: $Formula: \left|\overline{A_n C_n}\right|(x)=\left(-0{,}25 x^2+1{,}8 x+4\right)\;\text{LE}.$ $Formula: \left|\overline{A_n C_n}\right|(x)=\left(-0{,}25 x^2+1{,}8 x+4\right)\;\text{LE}.$

1 P

B 3.5

Ermittle die maximale Streckenlänge $Formula: \left|\overline{A_0 C_0}\right|$ $Formula: \left|\overline{A_0 C_0}\right|$ sowie den zugehörigen Wert für Formula: x.

Berechne sodann den maximalen Flächeninhalt $Formula: A_{\text{max}}$ $Formula: A_{\text{max}}$ der Dreiecke Formula: A_nB_nC_n.

3 P

B 3.6

Die Winkel zwischen der Geraden Formula: g und den Strecken $Formula: \overline{A_nB_n}$ $Formula: \overline{A_nB_n}$ haben jeweils das gleiche Maß.

Berechne das zugehörige Maß $Formula: \varphi,$ $Formula: \varphi,$ für das gilt: $Formula: \varphi<90^{\circ}.$ $Formula: \varphi<90^{\circ}.$

2,5 P

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B 3.1

Punkt $Formula: P(6 \mid 6)$ $Formula: P(6 \mid 6)$ in Parabelgleichung einsetzen:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 6&=&-0{,}25\cdot6^2+b\cdot 6+c \\[5pt] 6&=&-9+6b+c &\quad \mid +9\\[5pt] 15 &=& 6b+c\\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 6&=&-0{,}25\cdot6^2+b\cdot 6+c \\[5pt] 6&=&-9+6b+c &\quad \mid +9\\[5pt] 15 &=& 6b+c\\[5pt] \end{array}$

Punkt $Formula: Q(8 \mid 3)$ $Formula: Q(8 \mid 3)$ in Parabelgleichung einsetzen:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3&=&-0{,}25\cdot8^2+b\cdot 8+c \\[5pt] 3&=&-16+8b+c &\quad \mid +16 \\[5pt] 19 &=& 8b+c\\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3&=&-0{,}25\cdot8^2+b\cdot 8+c \\[5pt] 3&=&-16+8b+c &\quad \mid +16 \\[5pt] 19 &=& 8b+c\\[5pt] \end{array}$

LGS lösen:

Formula: (I) Formula: 15=6b+c

Formula: (II) Formula: 19=8b+c

Formula: (II)-(I) um Formula: c zu eleminieren:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} (8b+c)-(6b+c)&=&19-15 \\[5pt] 2b&=& 4 &\quad\mid\; : 2\\[5pt] b&=& 2 \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} (8b+c)-(6b+c)&=&19-15 \\[5pt] 2b&=& 4 &\quad\mid\; : 2\\[5pt] b&=& 2 \\[5pt] \end{array}$

Formula: b in Formula: (I) einsetzen:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 15&=&6 \cdot 2+c \\[5pt] 15&=& 12+c &\quad\mid\; - 12\\[5pt] c&=& 3 \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 15&=&6 \cdot 2+c \\[5pt] 15&=& 12+c &\quad\mid\; - 12\\[5pt] c&=& 3 \\[5pt] \end{array}$

Ergebnisse Formula: b = 2 und Formula: c=3 in die Parabelgleichung einsetzen:

$Formula: y = -0{,}25x^2 + 2x + 3$ $Formula: y = -0{,}25x^2 + 2x + 3$

Koordinatensystem mit Gitternetz, x- und y-Achse, nach unten geöffnete Parabel, ansteigende Gerade und markierte Punkte.

B 3.2

Koordinatensystem mit Parabel, markierten Punkten A1,A2,B1,B2,C1,C2 sowie Geraden und Dreiecken auf kariertem Gitter

B 3.3

Dreiecke existieren nur, wenn die Parabel über der Geraden liegt $Formula: (y_{C_n} > y_{A_n}).$ $Formula: (y_{C_n} > y_{A_n}).$

Um die Schnittpunkte der Parabel Formula: p und Gerade Formula: g zu ermitteln, setzen wir ihre Funktionsgleichungen gleich:

$Formula: \begin{array}[t]{rcll} -0{,}25x^2 + 2x + 3 &=& \dfrac{1}{5}x - 1 &\mid \; -\dfrac{1}{5}x + 1 \\[5pt] -0{,}25x^2 + 1{,}8x + 4 &=& 0 &\mid \div \left(-0{,}25 \right) \\[5pt] x^2 - 7{,}2 - 16 &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rcll} -0{,}25x^2 + 2x + 3 &=& \dfrac{1}{5}x - 1 &\mid \; -\dfrac{1}{5}x + 1 \\[5pt] -0{,}25x^2 + 1{,}8x + 4 &=& 0 &\mid \div \left(-0{,}25 \right) \\[5pt] x^2 - 7{,}2 - 16 &=& 0 \end{array}$

Mit der $Formula: pq\text{-}$ $Formula: pq\text{-}$ Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} x_{1,2} &=& - \dfrac{-7{,}2}{2} \pm \sqrt{ \left( \dfrac{-7{,}2}{2} \right)^2 - \left( -16 \right)} \\[5pt] &=& 3{,}6 \pm \sqrt{12{,}96 + 16} \\[5pt] &=& 3{,}6 \pm \sqrt{28{,}96} \\[5pt] x_{1} &=& 3{,}6 + \sqrt{28{,}96} \approx 8{,}98 \\[5pt] x_{2} &=& 3{,}6 - \sqrt{28{,}96} \approx -1{,}78 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} x_{1,2} &=& - \dfrac{-7{,}2}{2} \pm \sqrt{ \left( \dfrac{-7{,}2}{2} \right)^2 - \left( -16 \right)} \\[5pt] &=& 3{,}6 \pm \sqrt{12{,}96 + 16} \\[5pt] &=& 3{,}6 \pm \sqrt{28{,}96} \\[5pt] x_{1} &=& 3{,}6 + \sqrt{28{,}96} \approx 8{,}98 \\[5pt] x_{2} &=& 3{,}6 - \sqrt{28{,}96} \approx -1{,}78 \end{array}$

Für $Formula: {x \in \ ]-1{,}78; 8{,}98[}$ $Formula: {x \in \ ]-1{,}78; 8{,}98[}$ gibt es Dreiecke Formula: A_nB_nC_n.

B 3.4

Die Länge der senkrechten Strecke $Formula: \left|\overline{A_nC_n}\right|$ $Formula: \left|\overline{A_nC_n}\right|$ ist $Formula: y_{C_n} - y_{A_n}$ $Formula: y_{C_n} - y_{A_n}$ . Folglich:

$Formula: \begin{array}{rcll} \left|\overline{A_nC_n}\right|(x) &=& y_{C_n} - y_{A_n} \\[5pt] &=& -0{,}25x^2 + 2x + 3 - (0{,}2x - 1) \; \text{LE} \\[5pt] &=& \left(-0{,}25x^2 + 1{,}8x + 4 \right) \; \text{LE} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left|\overline{A_nC_n}\right|(x) &=& y_{C_n} - y_{A_n} \\[5pt] &=& -0{,}25x^2 + 2x + 3 - (0{,}2x - 1) \; \text{LE} \\[5pt] &=& \left(-0{,}25x^2 + 1{,}8x + 4 \right) \; \text{LE} \end{array}$

B 3.5

$Formula: \left| A_nC_n \right| (x)$ $Formula: \left| A_nC_n \right| (x)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Somit liegt ihr Maximum im Scheitelpunkt.

Berechnung der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Koordinate des Scheitelpunkts:

$Formula: x_s = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-1{,}8}{2 \cdot (-0{,}25)} = 3{,}6$ $Formula: x_s = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-1{,}8}{2 \cdot (-0{,}25)} = 3{,}6$

Berechnung der maximalen Streckenlänge durch Einsetzen von $Formula: x_s = 3{,}6:$ $Formula: x_s = 3{,}6:$

$Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overline{A_0C_0} \right| &=& \left( -0{,}25 \cdot 3{,}6^2 + 1{,}8 \cdot 3{,}6 + 4 \right) \,\text{LE} \\[5pt] &=& {7{,}24 \,\text{LE}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overline{A_0C_0} \right| &=& \left( -0{,}25 \cdot 3{,}6^2 + 1{,}8 \cdot 3{,}6 + 4 \right) \,\text{LE} \\[5pt] &=& {7{,}24 \,\text{LE}} \end{array}$

Berechnung des maximalen Flächeninhalts:

Für den Flächeninhalt Formula: A eines gleichseitigen Dreiecks gilt $Formula: A = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2.$ $Formula: A = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2.$ Folglich:

$Formula: A_{\text{max}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(7{,}24 \; \text{LE} \right)^2 \approx 22{,}70 \; \text{FE}$ $Formula: A_{\text{max}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(7{,}24 \; \text{LE} \right)^2 \approx 22{,}70 \; \text{FE}$

B 3.6

Die Gerade Formula: g hat die Steigung $Formula: m = \dfrac{1}{5}.$ $Formula: m = \dfrac{1}{5}.$ Damit gilt für den Winkel $Formula: \alpha,$ $Formula: \alpha,$ den die Gerade mit der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse einschließt:

$Formula: \begin{array}{rcll} \tan (\alpha) &=& \dfrac{1}{5} &\quad \mid \, \tan{-1} \\[5pt] \alpha &=& \tan^{-1} \left( \dfrac{1}{5} \right) \\[5pt] \alpha &\approx& 11{,}31^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \tan (\alpha) &=& \dfrac{1}{5} &\quad \mid \, \tan{-1} \\[5pt] \alpha &=& \tan^{-1} \left( \dfrac{1}{5} \right) \\[5pt] \alpha &\approx& 11{,}31^{\circ} \end{array}$

Da die Punkte Formula: A_n und Formula: C_n dieselbe Abszisse Formula: x haben, verläuft die Strecke Formula: A_nC_n senkrecht zur $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse. Somit beträgt der Winkel zwischen und der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse $Formula: 90^{\circ}.$ $Formula: 90^{\circ}.$ Außerdem ist Formula: A_nB_nC_n ein gleichschenkliges Dreieck, also gilt $Formula: \sphericalangle B_nA_nC_n=60^\circ.$ $Formula: \sphericalangle B_nA_nC_n=60^\circ.$

Damit folgt für den Winkel $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ zwischen der Geraden Formula: g und der Strecke Formula: A_nB_n:

$Formula: \varphi = 90^\circ - \alpha - \sphericalangle B_nA_nC_n = 90^{\circ} - 11{,}31^\circ - 60^\circ = 18{,}69^\circ$ $Formula: \varphi = 90^\circ - \alpha - \sphericalangle B_nA_nC_n = 90^{\circ} - 11{,}31^\circ - 60^\circ = 18{,}69^\circ$

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