Aufgabe B4
Die nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck ABCDE sowie den Kreisbogen 
mit dem Mittelpunkt 
und dem Radius 
.
Es gilt: 
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichne das Fünfeck 
mit den Strecken 
und 
sowie den Kreisbogen 
Begründe, dass gilt: 
Berechne sodann die Maße der Winkel 
und 
sowie die Länge der Strecke 
Teilergebnisse: 
![Formula: \bigr]](https://www.schullv.de/resources/formulas/346467f2b4d2cba1c684a6bc6dd1570062b0c247b6f827a2a48303858fef61ea_light.svg)
![Formula: \bigr]](https://www.schullv.de/resources/formulas/346467f2b4d2cba1c684a6bc6dd1570062b0c247b6f827a2a48303858fef61ea_dark.svg)
Berechne den Umfang der Figur, die durch die Strecken 
sowie den Kreisbogen begrenzt wird.
Zwischenergebnis: ![Formula: \left|\overline{ED} \right| = 7{,}55\;\text{cm}\,\Bigr]](https://www.schullv.de/resources/formulas/f06d60d67791351735bf480fc8f57a477f6845c54f1ce697836c427e3b8f4bc6_light.svg)
![Formula: \left|\overline{ED} \right| = 7{,}55\;\text{cm}\,\Bigr]](https://www.schullv.de/resources/formulas/f06d60d67791351735bf480fc8f57a477f6845c54f1ce697836c427e3b8f4bc6_dark.svg)
Ein Kreis um Punkt 
berührt die Strecke 
im Punkt 
und schneidet die Strecke 
im Punkt 
sowie die Strecke 
im Punkt 
Ergänze die Zeichnung zu B 4.1 um die Strecke 
und den Kreisbogen 
mit dem Mittelpunkt 
Bestimme sodann rechnerisch die Länge der Strecke und den Flächeninhalt des Sektors, der durch die Strecken 
und 
sowie den Kreisbogen begrenzt wird.
Teilergebnisse: ![Formula: \left| \overline{CG}\right| = 3{,}69\;\text{cm}; A_\text{Sektor}= 11{,}29\;\text{cm}^2 \Bigr]](https://www.schullv.de/resources/formulas/fbcac3c7819584cfd632969a9abf154fcef42404a62f39de517788a0b693f2b2_light.svg)
![Formula: \left| \overline{CG}\right| = 3{,}69\;\text{cm}; A_\text{Sektor}= 11{,}29\;\text{cm}^2 \Bigr]](https://www.schullv.de/resources/formulas/fbcac3c7819584cfd632969a9abf154fcef42404a62f39de517788a0b693f2b2_dark.svg)
Bestimme rechnerisch den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus B 4.4 am Flächeninhalt des Dreiecks 
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Die Winkel und 
sind als Wechselwinkel an den Parallelen 
und 
maßgleich.
Mit dem Kosinussatz erhält man:
![Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overline{DA} \right|^2 &=& \left| \overline{DB} \right|^2 + \left| \overline{AB} \right|^2 - 2 \cdot \left| \overline{DB} \right| \cdot \left| \overline{AB} \right| \cdot \cos \left( \sphericalangle DBA \right) \\[5pt] \left( 11 \; \text{cm} \right)^2 &=& \left( 11 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 10 \; \text{cm} \right)^2 - 2 \cdot 11 \; \text{cm} \cdot 10 \; \text{cm} \cdot \cos \left( \sphericalangle DBA \right) \\[5pt] 121 \; \text{cm}^2 &=& 121 \; \text{cm}^2 + 100 \; \text{cm}^2 - 220 \; \text{cm}^2 \cdot \cos \left( \sphericalangle DBA \right) &\quad \mid -221 \; \text{cm}^2 \\[5pt] -100 \; \text{cm}^2 &=& -220 \; \text{cm}^2 \cdot \cos \left( \sphericalangle DBA \right) &\quad \mid : \left( -220 \; \text{cm}^2 \right) \\[5pt] \cos \left( \sphericalangle DBA \right) &=& \dfrac{100}{220} = \dfrac{5}{11} &\quad \mid \cos^{-1} \\[5pt] \sphericalangle DBA &=& \cos^{-1} \left( \dfrac{5}{11} \right) \\[5pt] &\approx& 62{,}96^\circ \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f4667695839a591fdbc672d340b2f1c59fac2ea1dbb2975cf5bb88215c995a3c_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overline{DA} \right|^2 &=& \left| \overline{DB} \right|^2 + \left| \overline{AB} \right|^2 - 2 \cdot \left| \overline{DB} \right| \cdot \left| \overline{AB} \right| \cdot \cos \left( \sphericalangle DBA \right) \\[5pt] \left( 11 \; \text{cm} \right)^2 &=& \left( 11 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 10 \; \text{cm} \right)^2 - 2 \cdot 11 \; \text{cm} \cdot 10 \; \text{cm} \cdot \cos \left( \sphericalangle DBA \right) \\[5pt] 121 \; \text{cm}^2 &=& 121 \; \text{cm}^2 + 100 \; \text{cm}^2 - 220 \; \text{cm}^2 \cdot \cos \left( \sphericalangle DBA \right) &\quad \mid -221 \; \text{cm}^2 \\[5pt] -100 \; \text{cm}^2 &=& -220 \; \text{cm}^2 \cdot \cos \left( \sphericalangle DBA \right) &\quad \mid : \left( -220 \; \text{cm}^2 \right) \\[5pt] \cos \left( \sphericalangle DBA \right) &=& \dfrac{100}{220} = \dfrac{5}{11} &\quad \mid \cos^{-1} \\[5pt] \sphericalangle DBA &=& \cos^{-1} \left( \dfrac{5}{11} \right) \\[5pt] &\approx& 62{,}96^\circ \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f4667695839a591fdbc672d340b2f1c59fac2ea1dbb2975cf5bb88215c995a3c_dark.svg)
Damit gilt auch: 
Für den Winkel gilt wegen 
Schließlich folgt für 
Im Dreieck 
gilt dann mit dem Sinussatz:
![Formula: \begin{array}{rcll} \dfrac{ \left| \overline{CD} \right| }{\sin\left(\sphericalangle CBD\right)} &=& \dfrac{ \left| \overline{BD} \right| }{\sin\left(\sphericalangle DCB\right)} \\[5pt] \dfrac{\left| \overline{CD} \right|}{\sin\left(22{,}04^\circ\right)} &=& \dfrac{11 \; \text{cm}}{\sin\left(95^\circ\right)} &\quad \mid \cdot \sin\left(22{,}04^\circ\right) \\[5pt] \overline{\left| CD \right|} &=& \dfrac{11 \; \text{cm} \cdot \sin\left(22{,}04^\circ\right)}{\sin\left(95^\circ\right)} \\[5pt] \overline{ \left| CD \right| } &\approx& 4{,}14 \; \text{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/d7e918315fa912784ff16fccfbdab1e11e783b110c7d9476cd0d51fb9e0317de_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll} \dfrac{ \left| \overline{CD} \right| }{\sin\left(\sphericalangle CBD\right)} &=& \dfrac{ \left| \overline{BD} \right| }{\sin\left(\sphericalangle DCB\right)} \\[5pt] \dfrac{\left| \overline{CD} \right|}{\sin\left(22{,}04^\circ\right)} &=& \dfrac{11 \; \text{cm}}{\sin\left(95^\circ\right)} &\quad \mid \cdot \sin\left(22{,}04^\circ\right) \\[5pt] \overline{\left| CD \right|} &=& \dfrac{11 \; \text{cm} \cdot \sin\left(22{,}04^\circ\right)}{\sin\left(95^\circ\right)} \\[5pt] \overline{ \left| CD \right| } &\approx& 4{,}14 \; \text{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/d7e918315fa912784ff16fccfbdab1e11e783b110c7d9476cd0d51fb9e0317de_dark.svg)
Da das Dreieck 
gleichschenklig ist 
gilt 
und somit 
In dem Dreieck 
gilt mit dem Kosinussatz:
![Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overline{ED} \right|^2 &=& \left| \overline{AE} \right|^2 + \left| \overline{DA} \right|^2 - 2 \cdot \left| \overline{AE} \right| \cdot \left| \overline{DA} \right| \cdot \cos \left( \sphericalangle EAD \right) \\[5pt] \left| \overline{ED} \right|^2 &=& \left( 6{,}5 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 11 \; \text{cm} \right)^2 - 2 \cdot 6{,}5 \; \text{cm} \cdot 11 \; \text{cm} \cdot \cos \left(42{,}04^{\circ} \right) &\quad \mid \sqrt{\phantom{x}} \\[5pt] \left| \overline{ED} \right| &=& \sqrt{ \left( 6{,}5 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 11 \; \text{cm} \right)^2 - 2 \cdot 6{,}5 \; \text{cm} \cdot 11 \; \text{cm} \cdot \cos \left(42{,}04^{\circ} \right) } \\[5pt] \left| \overline{ED} \right| &\approx& 7{,}55 \; \text{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/41a414827d83ff087a8d4abf66c5e51665ba3cd243d8699cba443bb05675f07b_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overline{ED} \right|^2 &=& \left| \overline{AE} \right|^2 + \left| \overline{DA} \right|^2 - 2 \cdot \left| \overline{AE} \right| \cdot \left| \overline{DA} \right| \cdot \cos \left( \sphericalangle EAD \right) \\[5pt] \left| \overline{ED} \right|^2 &=& \left( 6{,}5 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 11 \; \text{cm} \right)^2 - 2 \cdot 6{,}5 \; \text{cm} \cdot 11 \; \text{cm} \cdot \cos \left(42{,}04^{\circ} \right) &\quad \mid \sqrt{\phantom{x}} \\[5pt] \left| \overline{ED} \right| &=& \sqrt{ \left( 6{,}5 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 11 \; \text{cm} \right)^2 - 2 \cdot 6{,}5 \; \text{cm} \cdot 11 \; \text{cm} \cdot \cos \left(42{,}04^{\circ} \right) } \\[5pt] \left| \overline{ED} \right| &\approx& 7{,}55 \; \text{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/41a414827d83ff087a8d4abf66c5e51665ba3cd243d8699cba443bb05675f07b_dark.svg)
Des Weiteren gilt aufgrund nach dem Innenwinkelsummensatz für Dreiecke:
Schließlich beträgt der Umfang
Einzeichnen der Strecke und des Kreisbogens 
ist in eine Tangente an den Kreis um . Die Strecke vom Mittelpunkt eines Kreises zum Berührpunkt einer Tangente steht immer senkrecht auf der Tangente. Also gilt 
und damit auch 
Folglich ist das Dreieck 
rechtwinklig. Mit 
gilt in dem Dreieck:
![Formula: \begin{array}{rcll} \sin \left( \sphericalangle CDG \right) &=& \dfrac{\left| \overline{CG} \right|}{\left| \overline{CD} \right|} \\[5pt] \sin \left( 62{,}96^\circ \right) &=& \dfrac{\left| \overline{CG} \right|}{4{,}14 \; \text{cm}} &\quad \mid\, \cdot \,4{,}14 \; \text{cm} \\[5pt] \left| \overline{CG} \right| &=& 4{,}14 \; \text{cm} \cdot \sin \left( 62{,}96^\circ \right) \\[5pt] \left| \overline{CG} \right| &\approx& 3{,}69 \; \text{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/5451b7918a57ad9ddc9ff71af9f3d0054319fdeb9043a35aab9c9ba8187c1086_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll} \sin \left( \sphericalangle CDG \right) &=& \dfrac{\left| \overline{CG} \right|}{\left| \overline{CD} \right|} \\[5pt] \sin \left( 62{,}96^\circ \right) &=& \dfrac{\left| \overline{CG} \right|}{4{,}14 \; \text{cm}} &\quad \mid\, \cdot \,4{,}14 \; \text{cm} \\[5pt] \left| \overline{CG} \right| &=& 4{,}14 \; \text{cm} \cdot \sin \left( 62{,}96^\circ \right) \\[5pt] \left| \overline{CG} \right| &\approx& 3{,}69 \; \text{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/5451b7918a57ad9ddc9ff71af9f3d0054319fdeb9043a35aab9c9ba8187c1086_dark.svg)
Mit 
gilt schließlich für den Flächeninhalt des Kreissektors:
![Formula: \begin{array}{rcll} A_{\text{Sektor}} &=& \dfrac{\sphericalangle FCH}{360^\circ} \cdot \left| \overline{CG} \right|^2 \cdot \pi \\[5pt] &=& \dfrac{95^\circ}{360^\circ} \cdot \left( 3{,}69 \; \text{cm} \right)^2 \cdot \pi\ \\[5pt] &=& 11{,}29\ \text{cm}^2 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/010a070c42852832607505231107fb3c427c744054ff1ba571752a504ea91ca4_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll} A_{\text{Sektor}} &=& \dfrac{\sphericalangle FCH}{360^\circ} \cdot \left| \overline{CG} \right|^2 \cdot \pi \\[5pt] &=& \dfrac{95^\circ}{360^\circ} \cdot \left( 3{,}69 \; \text{cm} \right)^2 \cdot \pi\ \\[5pt] &=& 11{,}29\ \text{cm}^2 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/010a070c42852832607505231107fb3c427c744054ff1ba571752a504ea91ca4_dark.svg)
Die Länge der Strecke beträgt 
und der Flächeninhalt des Sektors beträgt 
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt:
Der prozentuale Anteil des Flächeninhalts des Sektors beträgt 
